Имя материала: Эконометрика

Автор: Кремер Н.Ш.

11.1. матрицы

Матрицей размера (т х п) или тп-матрицей называется таблица чисел, содержащая т строк и п столбцов. Матрицы обозначаются прописными латинскими буквами, например,

ап ап ...aj ...aln а2{ а22 ...a2j...a2n

(11.1)

ап а,

ат ат2 —Я/и/ —атп

или Атхп = (\%), где ау — элемент матрицы. Нараду с круглыми скобками используются и другие обозначения: [ ], II II. Виды матриц

Если т =1,то

Ахп = (а\а2 ••• ап)~

матрица (или вектор) -строка размера п.

Если п — 1, то

 

а2Х

 

— матрица (или век-

 

ат J

тор)-столбец размера т.

Если т = п, то Апхп=Ап — квадратная матрица п-то порядка.

Если я7у = 0 при щ, то ^=/) — диагональная матрица:

Если (а9 = 0 при / ф j;

ау = 1 при / = j,

то Ап=Еп (или £), единичная матрица п-го порядка:

Если ад = О (/= 1,..., щ j= 1,..., п), то у4дахл = 0WX« (или 0) — нулевая матрица, или нуль-матрица:

 

Подпись: 0Л
о

22

Ч о

О а

 

О о

 

о

( О О 1

 

О О ... 1

Го о о о

 

о о

0^

о о

= diagtoi Я22-О. Равенство матриц

Матрицы АтХп—(ау) и 5mX« =       равны, т. е. А = Д если ад= by, / = 1,..., /и;у'= 1,..., я. Операции над матрицами

Произведение матрицы АтХп=(ау) на число X есть матрица Bmxn=(bij):

В = АХ, если by = ay X, і = 1,..., m; у = 1,..., п. (11.2) В частности, А • 0=0.

Сулшя двух матриц АтХп= (ау) и ВтХп= (by) есть матрица

 

С = А+В, если с7у= ау+by,     /'= 1,..., m;j= 1,..., я. (11.3) В частности, Л+0=А

Произведение матрицы АтХп =(\%) «л матрицу Вп*р=(Ьф есть матрица СтХр—{ау):

п

С= АВ, если Cy = Y,aikbkj, і= І,-,     у = 1,..., л. (11.4)

*=i

Из определения следует, что для умножения матрицы А и В должны быть согласованными: число п столбцов матрицы А должно быть равно числу строк п матрицы В.

 

► Пример 11.1. Даны матрицы:

(Ъ ^

А =

1 2 5 6

 

 

(2 1 9 2 0

Найти АВ и ВА.

Решение. Размер матрицы произведения А-$Х2 ' J&2x3=Qx3;

 

 

'3-2 + 4-9

3-7 + 4-2

3-8 + 4-0^

 

'42

29

241

СМ = АВ =

1-2 + 2-9

1-7 + 2-2

1-8 + 2-0

=

20

11

8

 

,5-2 + 6-9

5-7 + 6-2

5-8 + 6-0,

 

,64

47

 

Аналогично 2?2хз'^зхт^^хь

С2х2=ВА =

f2-3 + 7-1 + 8-5 2.4+7.2 + 8-6 Ї к9«3 + 2-1 + 0-5   9 4+2 2 + 0 6

 

Ґ53 70Л 29 40

Получили, что произведения матриц АВ и ВА существуют, но являются матрицами разных размеров (порядков). ►

 

В частном случае

АЕ = ЕА = А.

(П.5)

4. Целая положительная степень Ат (т>1) квадратной матрицы есть Ат = А А...А.

т раз

По определению,

А°=Е, А' = А, Ат - Ак = Ат+к, (Amf =Атк.

 

 

(И.6)

 

Особенности операций над матрицами.

В общем случае АВ * ВА, т. е. умножение матриц некоммутативно. Если Ат=0 или АВ =0, то это еще не означает, что А = 0 или 5=0.

Транспонирование матрицы — переход от матрицы А к матрице А1 (или АТ), в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением их порядка.

Если Атх„ =(ау), то А'„хт = (о,-,). Например, если

А =

, то А =

3 2 ч4 0,

'2 5^

2 3 4 5 2 0

Свойства операций транспонирования:

1.         (А')'=А.           3. (Л + Я)' =/ + 5'.

2.         (АЛУ=АЛ'.     4. (АВ)'=В'А (11.7)

Заметим, если ^4тхл = Ц,), то АА и Л'Л есть квадратные мат-

рицы соответственно т-то и я-го порядков.

В частности, если А = (ді Я2 •.• ««)' есть матрица (вектор)-

столбец, то  А'А = ^а} — квадратная матрица 1-го порядка,

 

т. е. число; а ЛЛ' =

( ах2    аха2   ... ахап^ а2ах    а    ... а2ап

 

— квадратная матрица

апах апа2

п J

л-го порядка.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 |