Имя материала: Эконометрика

Автор: Кремер Н.Ш.

11.5. система линейных уравнений

Система т линейных уравнений с п переменными имеет вид:

ахххх  +          я12х2 +

а2Ххх +          я22л:2            +

 

aiXxx  +          а/2лс2            +

 

ат*     +          ат2х2  +

+ aXjXj + +  a2jXj +

 

+   aoxj +

 

+   ClmjXj +

.. + aXnxn

 

+ <WC„  = bm,

 

(11.21)

или в краткой записи с помощью знаков суммирования:

л

ЛауАу =bt, i= 1,..., т.

В матричной форме система (11.21) имеет вид:

= В,

где

(11.22) (11.23)

 

 

 

аХ2 .

 

 

fx }

хх

 

 

 

а2Х

 

.. Я2„

 

х2

 

 

 

 

Ят2 •

••    атп)

 

Хп)

 

А»

Если число уравнений равно числу переменных, т.е. т = я, и квадратная матрица А — невырожденная (|>4|*0), /wo система (11.21) имеет единственное решение.

Х=А~*В. (11.24) Это же решение, т. е. переменные *ь *2v, xj,..., хп при /я = я, могут быть найдены по формулам Крамера

(11.25)

где а — определитель матрицы Л, т. е. Д=|Л|;

ау — определитель матрицы Ар получаемой из матрицы А заменой у-го столбца столбцом свободных членов, т. е. аНЛ/і .

► Пример 11.6. Решить методом обратной матрицы систему уравнений

4хх +3х2 +6х3 =12; < - хх       - Зх3 = 0; З*] - х2 +2х3 = 5.

Решение. Пусть

 

 

Г 4

3

6^

 

V

 

 

А =

-1

0

-3

; х =

х2

; в =

0

 

ч 3

-1

У

 

Из J

 

<5>

Уравнение в матричной форме примет вид АХ=В. Найдем обратную матрицу:

ґ-3 -12 -9Л

 

27

-7 -10 6 1   13 3

(см. пример 11.4).

Подпись: Л гп\
о

Подпись: v5,

х = -

27

По формуле (11.22)

 

-3 -12

-9

-7 -10

6

1 13

3

 

27

 

Г-8П

{ ?

-54 =

--   2 ,

, 27j

1-І J

т. е. xj=3, Х2=2, хз=—!.►

Система линейных однородных уравнений, т. е. система АХ = 0 с нулевыми свободными членами, имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда матрица А — вырожденная, т. е. |Л| = 0.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 |