Имя материала: Эконометрика

Автор: Кремер Н.Ш.

11.7. собственные векторы и собственные значения квадратной матрицы

Вектор х^О называется собственным вектором квадратной

матрицы А9 если найдется такое число Х9 что

Ах = Хх. (11.29)

Число X называется собственным значением (или собственным числом) матрицы А9 соответствующим вектору х.

Собственный вектор х определен с точностью до коэффициента пропорциональности.

Для существования ненулевого решения (х*0) уравнения (11.29) или равносильного ему уравнения

{А-ХЕ)х = 0 (11.30) необходимо и достаточно, чтобы определитель системы (11.30)

А-ХЕ = 0. (11.31) Определитель |i4-AJ?| называется характеристическим многочленом матрицы А9 а уравнение (11.31) — ее характеристическим уравнением.

► Пример 11.7.

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

( АЛ

А =

[? 1)

Решение. Составим характеристическое уравнение (11.31)

= 0,

1-х 4

а-хе =

9   1 -X

или xі - 2Х - 35 = 0, откуда собственные значения матрицы а: х= 5, Я-2=7.

При Х.]=—5 уравнение (11.30) примет вид:

(а-ххе)

х

=0,

 

или

'б 4Л Г*Л Г<Л

9 6

, откуда х2 = —l,5xi. Положив х=с, получим,

при

что векторы jcU) = (с;—1,5с) при любом с ф 0 являются собствен ными векторами матрицы А с собственным значением Xi=—5.

Аналогично можно показать, что векторы х^ =

— С\С

любом с * 0 являются собственными векторами матрицы А с собственным значением X-f^l. ►

 

Разным собственным значениям матрицы соответствуют линейно независимые собственные векторы.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 |