Имя материала: Эконометрика

Автор: Кремер Н.Ш.

11.8. симметрические, положительно определенные, ортогональные и идемпотентные матрицы

Квадратная матрица А называется симметрической (симметричной), если А' = А, т. е. ау = я,/, / = 1,..., п j = 1,..., п.

Симметрическая матрица А п-го порядка называется положительно (неотрицательно) определенной, если для любого ненулевого вектора х = (х, Х2,..., хп)' выполняется неравенство

х'Ах > 0 (х'Ах>0). (11.32)

Например, матрица А'А неотрицательно определена, так как для любого вектора хх' (А'А)х = (х!А) Ах = (Ах)'Ах = у'у > О, ибо у'у представляет скалярный квадрат вектора у = Ах.

Понятие положительно (неотрицательно) определенной симметрической матрицы А тесно связано с понятием положительно определенной (полуопределенной) квадратичной формы.

п п

L(xx,х2хп) = хАх =    Xayxixj> О или L>0). 1=1 y=i

Для положительно (неотрицательно) определенных матриц используется запись А > 0(А > 0).

Соотношение А >В (А > В) означает, что матрица А—В положительно (неотрицательно) определена.

Свойства положительно (неотрицательно) определенных матриц.

Если А >Д то ац >/>//, /= 1,..., я, т. е. диагональные элементы матрицы А не менее соответствующих диагональных элементов матрицы В.

Если А > Д С > 0, то А +ОВ.

Если А > В, где А и В — невырожденные матрицы, то В~х > А~1.

Если А > 0 (>4 > 0), то все собственные значения матрицы А положительны (неотрицательны), т. е. А,, >0 (А,, >0), / = 1,..., п.

Свойства симметрической положительно определенной матрицы А я-го порядка.

Если я > /я, rang (Впхт) = т, то В'АВ — положительно определенная матрица.

Матрица А~х, обратная к А, также симметрическая и положительно определенная.

Определитель А > 0, а значит, и все главные миноры матрицы А (получаемые для подматриц, образованных из матрицы А вычеркиванием строк и столбцов с одинаковыми номерами) положительны.

4.         След матрицы А равен сумме ее собственных значений:

іт(А)=Х{ + 2 +... + Хя =]>>/ - (11.33)

/=і

Квадратная матрица С называется ортогональной, если

СГ!=С. (11.34)

Свойства ортогональной матрицы С:

С'С=Е.

Определитель |С| = 1 или |С| = -1.

В ортогональной матрице как строки, так и столбцы образуют ортонормированную систему векторов (§ 11.6).

С помощью ортогональной матрицы С симметричная матрица А может быть приведена к диагональному виду

С'АС= Л, (11.35)

где A=diag (А,ЬА,2,..., К)

A,bA,2,..., кп — собственные значения матрицы А.

Симметричная матрица А может быть представлена через ортогональную и диагональную матрицу в виде

А = СЛС; (11.36)

где Л = diag (А,ЬА,2,...Д„);

A,bA,2,...,A,„ — собственные значения матрицы А.

Симметрическая матрица А называется идемпотентной, если она совпадает со своим квадратом, т. е.

А = А. (11.37)

Свойства идемпотентных матриц:

Ак =А, где к — натуральное число.

Собственные значения идемпотентной матрицы А равны либо нулю, либо единице: А= 0 или X = 1.

Все идемпотентные матрицы неотрицательно определены.

Ранг идемпотентной матрицы равен ее следу, т. е. числу ненулевых собственных значений.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 |