Имя материала: Эконометрика

Автор: Кремер Н.Ш.

11.10. матричное дифференцирование

Производной скалярной функции ц>(х) от векторного аргумента

(вектора-столбца) х = (х, Х2,...,хп)' называется вектор (вектор-строка)

<)<p(jc) _ ( ckp(x) дф(х) дф^)^

дх'

дх„

(11.42)

дх, дх-у

М        ил2 J

Производной векторной (т х 1) функции f(x) от векторного (ях1) аргумента х = (jq, д^,..., хп)' называется тп-матрица:

df(x) дх'

(11.43)

ҐдМх)    dfx(x) дМхУ дхх        дх2 дхп

dfm(x)   dfm(x) dfm(x)

Подпись: дх,дх

дх?

п J

{матрица Якоби, или якобиан).

Определение (11.42) является частным случаем (11.43) при m= 1.

Частные случаи:

Если ф(х)=а'х, где а = (ah а2> апУ их = (хь х2,...5 *„)' — векторы-столбцы, то

д(р(х) _ д(а'х) _ , дх' " дх'

Если ср(х) = дг04дг, где А — симметрическая квадратная матрица л-го порядка, то

дд>(х) = д{х'Ах) = 2х,л дх' дх'

Если f(x)=Ax, где А — яш-матрица, то

д/(х) _ д(Ах) = л дх' дх'

 

Упражнения

342 1 0 5

1 3Л 04,

, в=

А =

, с=

11.9. Вычислить матрицу D=(AB)'-С2, где f2 Ъ

1 3

v0 5,

11.10. Вычислить произведение и найти след матриц АВ и ВА, если:

ґ4)

А =(2 -3 0), В =

1          1 1

2          -З 1 4  -1 -5

 

11.11. Вычислить определители матриц: 0  12 3

а)

10 12

10 1

2 10

7 -1 5 1

-4

-3

11.12. Найти матрицу, обратную данной: '4-8 -5^

; б)

а)

5 -4 -8 6

Подпись: f 1  2 ЗЛ
Подпись: 11.13. Найти ранг матрицы
' 1  2 14^ 0 5-14 13   4 6

; б)

а)

V

4 5 6 7  8 9 10 11 12, 11.14. Решить систему уравнений:

Подпись: Ґ2 Г		'1  0 7Л
		
,1 1		^8  1 2,
а)

— 2дг, +Злг2 -Злг3 =-5, б)

Здг, -4x2+5;t3 = 10;

2 ЗЛ

В-

С =

11.15. Решить матричное уравнение АХВ = С, если (5 4 1Л

0 1 1

1     1 0

А =

1   1 7

5 8

.6 5 9,

11.16. Являются ли линейно зависимыми векторы fl]=(2; а2=(1;4; -1), а3=(0; -9;5)?

 

1;3),

11.17. Найти собственные значения и собственные векторы ґ 2 -2Л

б)

2 4

а)

-1 -3

1 0 3

J 3 оу

11.18. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

A = (l-a)E„+aSS',

где 5= (1,1,...,1)'—ях1-вектор.

Известно, что матрица А идемпотентная. Убедиться в том, что матрица В—Е —А также идемпотентная и ВА=0.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 |