Имя материала: Эконометрика

Автор: А.И. Новиков

3.4. прогнозирование в регрессионных моделях

Под прогнозированием в эконометрике понимается построение оценки зависимой переменной для некоторого набора независимых переменных, которых нет в исходных наблюдениях.

Различают точечное и интервальное прогнозирование. В первом случае оценка — некоторое число, во втором — интервал, в котором находится истинное значение зависимой переменной с заданным уровнем значимости.

Рассмотрим регрессионную модель

y = a + px + e.

Действительное значение зависимой переменной при х = хр

ур = а + $хр + гр,

где М(ер) = 0,  В(ер) = а2. Значения а, Р, гр неизвестны.

Предсказанным значением является оценка ур (точечный прогноз):

УР =а + Ьхр.

Ошибка предсказания равна разности между предсказанным и действительным значениями:

ар = Ур~Ур-

Ошибка предсказания имеет нулевое математическое ожидание:

Л/(Д„) = 0.

Действительно,

М(Ар) = М(ур) - М(ур) = М(а + Ьхр) - М(а + $хр + гр) = 0.

Вычислим дисперсию прогноза. Учитывая, что в случае парной регрессии

а2 , yp=y + b(xp-x),  D{y) = ^,  D{yp) = D{zp) = a

для дисперсии прогноза получим

 

а2.

п nvar(x)

Из формулы следует, что чем больше хр отклоняется от выборочного среднего х, тем больше дисперсия ошибки предсказания, и чем больше объем выборки я, тем меньше дисперсия.

Заменяя в дисперсии прогноза а2 на ее оценку S2 и извлекая квадратный корень, получим стандартную ошибку предсказания

1   (х- х)2

S= SA + - + -^           -.

    п wvar(x)

Доверительный интервал для действительного значения ур определяется выражением

Ур-'хрЯр <Ур< yP+tKpSp,

где tKp — критическое значение /-статистики при заданном уровне значимости и числе степеней свободы.

На рис. 11 в общем виде показано соотношение между доверительным интервалом предсказания и значением объясняющей переменной. Отрезок, отмеченный на рисунке стрелками, определяет доверительный интервал предсказания в точке хр.

X

 

Рис. 11

Пример 3.7. По данным о зависимости объема продажу фирмы от затрат на рекламу х оценить объем продаж при затратах на рекламу, равных 5,5 усл. ед. Найти стандартную ошибку предсказания и 99\%-ный доверительный интервал для полученной оценки.

Исходные данные (усл. ед.):

 

X

5

8

6

5

3

9

12

4

3

10

У

72

76

78

70

68

80

82

65

62

90

Объем продаж фирмы Ур = 71,87 при затратах на рекламу хр = 5,5 можно определить с помощью статистической функции Excel

Ур = ПРЕДСКАЗ(хр; массив х; массив у).

Значения х - 6,5, var(x) = 9,61, S- 4,24, tKp = 3,35 можно получить с помощью функций:

х = СРЗНАЧ(массив х);

var(x)  = ДИСПР(массив к);

S = СТОШУХ(массив у; массив х);

tKp = СТЬЮДРАСПОВР (1 - а; V),

гдея = 10,  v = «-2 = 8,  а= 1-0,99 = 0,01.

Вычисляем стандартную ошибку предсказания и доверительный интервал для полученной оценки: ,     І    І    (5,5-6,5)2    „ лп

S„ = 4,24. /1 + — + —           ~ = 4,47,

"           V    10 10-9,61

71,87 - 3,35 ■ 4,47 <yp < 71,87 + 3,35 • 4,47, или

56.9 <yp< 86,84.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 |