Имя материала: Эконометрика Автор: А.И. Новиков 3.5. нелинейные регрессииНелинейность регрессии проявляется как по переменным, так и по параметрам. Нелинейность по переменным устраняется путем замены переменной. Например, нелинейное уравнение у = а + pVx + є после замены переменной z = л/х становится линейным: у = ос + pz + є, и для оценки его параметров используется МНК. Пример 3.8. Имеются данные о зависимости между ежегодным потреблением бананов у и годовым доходом х 10 американских семей (усл. ед.):
Рассмотрим различные варианты уравнения регрессии. 1. Оценка линейного уравнения ^ = а + рх + епо выборочным наблюдениям (х, у) приводит к уравнению у = 5,13 + 0,88х, R2 = 0,64, 5 = 2,10. Если рассмотрим нелинейное уравнение у = а + pVx + є и определим z = yfx, то уравнение примет линейный вид у - а + + е. Оценив регрессию между у и z, получим у = 0,774 + 4,106z, Л2 = 0,762, S = 1,72. Подставив z = у[х, имеем у - 0,774 + 4,106\%/х. Если рассмотрим нелинейное уравнение у = а + р/х + є и определим z = то уравнение примет линейный вид у = а + Pz + є. Оценив регрессию между у и г, получим j) = 13,42-11,67г, і?2 = 0,942, 5 = 0,85. Подставив z = l/х, имеем у = 13,42 -—-. х Качество оценивания последнего варианта уравнения выше, чем у других. В таблице представлены исходные данные для построения рассмотренных уравнений регрессии с помощью пакета анализа Excel (программа «Регрессия»):
Нелинейность по параметру часто устраняется путем логарифмического преобразования уравнения. Например, следующие нелинейные уравнения после логарифмирования сводятся к линейным- степенная функция у - ах^е ~ Ыу = In а + (iln.x + In є; экспоненциальная функция у - ае^хе~ пу = lna-ь flx + Ine. Использование МНК для нахождения оценок параметров этих уравнений требует, чтобы Ine имел нормальное распределение. Однако уравнение у - ах$ + є, в котором случайный член є является аддитивным, уже никакими преобразованиями не приводится к линейному. В этом случае используют специальные итерационные методы оценивания нелинейной регрессии. В экономике применяются функции вида: у - ах^е при моделировании кривых спроса; у = осе^'е при моделировании временных трендов, при этом вместо х используется время ґ, а вместо р — постоянный темп прироста г, т.е. у = ае"е. Пример 3.9. По данным примера 2.5 построим зависимость расходов на питание от доходов в виде степенной функции и экспоненциальный временной тренд. В таблице представлены исходные данные (усл. ед.) для построения указанных уравнений с помощью пакета анализа Excel (программа «Регрессия»).
Уравнение у - ссс^е после логарифмирования приводится к линейному виду 1пу = ІПСС + (ЗІПХ + ІПЄ. Оценив регрессию между пу и lnx, получим преобразованное выражение пу = -1,049+ 1Д83ІПХ. Выполнив обратные преобразования, получим j) = e-1'O4V-183 = 0,350x1'183. Уравнение у = ае"є после логарифмирования приводится к линейному виду пу -па +rt + Іпє. Оценив регрессию между пу и /, получим преобразованное выражение lnj> = -0,61 + 0,667/. Выполнив обратные преобразования, получим у = е-0'61е0'667' = 0,543е0'667'. В экономическом анализе часто используется эластичность функции. Эластичность функции у = /(х) рассчитывается как относительное изменение у к относительному изменению х, т.е. э = rdy) У j Щ=-л*). х J у Эластичность показывает, на сколько процентов изменяется функция у = /(х) при изменении независимой переменной на 1\%. Для степенной функции у = ахь эластичность представляет собой постоянную величину, равную Ъ. Например, для зависимости расходов на питание от дохода у = 0,350х''183 эластичность спроса на продукты питания по доходу составляет 1,183. Это означает, что увеличение личного дохода на 1\% приведет к увеличению расходов на питание на 1,183\%. Коэффициент 0,350 не имеет экономического смысла. Он помогает прогнозировать значение у при заданных значениях х, приводя их к единому масштабу. Для экспоненциального временного тренда у - 0,543е0'667' постоянный темп роста г - 0,667. Это означает, что расходы на продукты питания в течение выборочного периода росли с темпом 66,7\% в год. Постоянный множитель 0,543 показывает, что в момент / = 0 общие расходы на питание составили 0,543 усл. ед. В силу того что эластичность линейной функции у = а + Ьх не является постоянной величиной, а зависит отх, т.е. Э = Ь-, У обычно вычисляется средний показатель эластичности по формуле Э = Ь=, У где х, у — средние значения переменных х, у в выборке. Например, для зависимости расходов на питание от доходов у = -1,75 + 0,775х (х = 10, у = 6) средний показатель эластичности равен 1,29 и показывает, что с увеличением дохода на 1\% расходы на питание возрастут в среднем на 1,29\%.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ Каковы предпосылки регрессионного анализа? Что является мерой разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии? Какие существуют критерии проверки гипотез, относящихся к коэффициентам регрессии? В чем отличие стандартной ошибки положения линии регрессии от средней ошибки прогнозирования индивидуального результативного признака при заданном значении фактора? Какие существуют виды моделей, нелинейных относительно включаемых переменных и оцениваемых параметров? Как определяются коэффициенты эластичности по разным видам регрессионных моделей? Какова взаимозависимость различных критериев в парном регрессионном анализе? Обобщением линейной регрессионной модели с одной объясняющей переменной является линейная регрессионная модель с к объясняющими переменными (модель множественной регрессии): >' = Ро + Рі*і + ... + Рал* + є, где ро, Pi,... Pi — параметры модели, а є — случайный член. Как и в модели с парной регрессией, случайный член є удовлетворяет условиям Гаусса — Маркова: Математическое ожидание случайного члена в любом наблюдении должно быть равно нулю, т.е. Л/(є/) = 0 (і = йп). Дисперсия случайного члена должна быть постоянной для всех наблюдений, т.е. D(e,) = M(ej) = с2 (і = їп). Случайные члены должны быть статистически независимы (некоррелированы) между собой, т.е. М(е,с;) = 0 (/*/). Случайные члены в любом наблюдении должны быть статистически независимы от объясняющих переменных. При выполнении условий Гаусса — Маркова модель называется классической нормальной линейной регрессионной моделью. Предполагается, что объясняющие переменные некоррелированы друг с другом. На основе п наблюдений оценивается выборочное уравнение регрессии где b(), b, bk — оценки параметров Р0, Pi, P,t. |