Имя материала: Эконометрика

Автор: А.И. Новиков

4.8. понятие о временных рядах

Временной ряд — это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов времени.

Каждый уровень y(t) временного ряда формируется под совместным влиянием длительных, кратковременных и случайных факторов.

Длительные, постоянно действующие факторы оказывают на изучаемое явление определяющее влияние и формируют основную тенденцию ряда — тренд T(t). Кратковременные, периодические факторы формируют сезонные колебания ряда S(t). Случайные факторы отражаются случайными изменениями уровней ряда e(t).

Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, т.е. y(t) = T(t) + S(t) + є(ґ), называется аддитивной.

Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, т.е. y(t) = T(t)S(t)e(t), называется мультипликативной.

Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний.

Если амплитуда сезонных колебаний приближенно постоянная, используют аддитивную модель. Если амплитуда возрастает или уменьшается, используют мультипликативную модель.

Основная задача эконометрического исследования временного ряда — выявить каждую из перечисленных компонент ряда.

 

ВЫЯВЛЕНИЕ ОСНОВНОЙ ТЕНДЕНЦИИ РАЗВИТИЯ

Основной тенденцией развития (трендом) называется плавное и устойчивое изменение уровня явления во времени, свободное от случайных колебаний.

Задача выявления основной тенденции развития в статистике называется выравниванием временного ряда.

Методами выявления тренда являются:

метод укрупнения интервалов;

метод скользящей средней;

аналитическое выравнивание.

Метод укрупнения интервалов основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда. При суммировании уровней по укрупненным интервалам колебания в уровнях, обусловленные случайными причинами, взаимопогашаются и более четко обнаруживается общая тенденция.

Метод скользящей средней заключается в том, что рассматривается средний уровень из определенного числа первых по счету уровней ряда, затем — из такого же числа уровней, но начиная со второго по счету и т.д. Таким образом, средняя как бы «скользит» по ряду динамики, продвигаясь на один срок.

Пример 4.5. Рассчитаем скользящую среднюю по данным об урожайности зерновых культур (ц/га) за 10 лет.

Исходные данные и расчетные показатели представим в следующей таблице:

 

 

 

 

Год

Фактический уровень

Скользящая средняя

Центрированная скользящая средняя

трехлетняя

четырехлетняя

1996

15

1997

13

14,33

14,75

1998

15

14,67

15,50

15,125

1999

16

16,33

16,50

16

2000

18

17,00

16,75

16,625

2001

17

17,00

17,50

17,125

2002

16

17,33

17,25

17,375

2003

19

17,33

18

17,625

2004

17

18,67

2005

20

-

-

-

Период скольжения может быть четным и нечетным. Для нечетного периода (трехлетнего) первое значение скользящей средней есть (15 + 13 + 15)/3 = 14,33, второе — (13 + 15 + 16)/3 = = 14,67 и т.д., причем полученные результаты скользящей средней отнесены к середине периода скольжения.

Для четного периода (четырехлетнего) первое значение скользящей средней есть (15 + 13 + 15 + 16)/4 - 14,75, второе — (13 + 15 + 16 + 18)/4 = 15,50 и т.д. Однако рассчитанные усредненные значения нельзя сопоставить каким-либо определенным значениям /, поэтому применяют процедуру центрирования (вычисляют среднее значение из двух последовательных скользящих средних). Первое значение центрированной скользящей средней есть (14,75 + 15,50)/2 = 15,125, второе - (15,50 + 16,50)/2 = 16 и т.д., причем первая центрированная средняя будет отнесена к третьему году, т.е. к 1998-му.

Замечание. Используя пакет анализа Excel (программа «Скользящее среднее»), можно также получить результаты сглаживания.

Метод аналитического выравнивания: фактические уровни ряда заменяются плавно изменяющимися уровнями, полученными из уравнения регрессии у, = f(t) + є. При аналитическом выравнивании используются различные виды трендовых моделей.

Упражнение 4.3. Имеются данные о розничном товарообороте региона (усл. ед.) за 10 лет:

 

Год

1

2

3

4

5

6

7   |   8  J 9

10

Товарооборот

11

13

22

18,5

20

19

25 | 23

24,5

35

Постройте следующие трендовые модели товарооборота и выберите из них наиболее подходящую:

 

Вид уравнения

Уравнение

R2

Линейное

>-= 1.94г+ 10,43

0,767

Полином второго

у = 0,074?2+ 1,127?+ 12,06

0,774

порядка

 

 

Полином третьего

у = 0,121/3- 1,921/2+ 10,33? + 1,68

0,886

порядка

 

 

Логарифмическое

у = 7,70 In t +9,46

0,709

Степенное

у=10,88Л407

0,815

Экспоненциальное

j;=ll,84e0-096'

0,781

Замечание. Для нахождения наиболее адекватного уравнения тренда в Excel используется инструмент «Подбор линии тренда» из Мастера диаграмм.

АНАЛИЗ АДДИТИВНОЙ МОДЕЛИ

Общий вид аддитивной модели таков: У= T+S+є.

Построение модели включает в себя следующие шаги:

выравнивание исходного ряда методом скользящей средней;

расчет значений сезонной компоненты S;

устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда (У- S) и получение выравненных данных (7+ є);

аналитическое выравнивание уровней (7 + є) и расчет значений Г с использованием полученного уравнения тренда;

расчет полученных по модели значений (7+ S);

расчет абсолютных ошибок.

Пример 4.6. Имеются поквартальные данные об объеме потребления электроэнергии у в некотором районе за четыре года (усл. ед.):

 

Год

Квартал~\^

1

2

3

4

I

6,0

7,2

8,0

9,0

II

4,4

4,8

5,6

6,6

III

5,0

6,0

6,4

7,0

IV

9,0

10,0

11,0

10,8

В качестве зависимой переменной при анализе временного ряда выступают фактические уровни ряда у,, а в качестве независимой переменной — время (сквозной номер квартала) t= 1,2,16.

По графику ряда можно установить наличие приблизительно линейного тренда и сезонных колебаний (период равен 4) одинаковой амплитуды, поэтому используется аддитивная модель. Определим ее компоненты, сезонную и трендовую.

Для исключения влияния сезонной компоненты проведем выравнивание исходного ряда методом скользящей средней за четыре квартала и процедуру центрирования. Результаты расчетов представлены в таблице:

 

 

 

 

 

Сквозной

Потребление

Скользящая

Центриро-

Оценка сезонной вариации

номер квартала

электро-

средняя

ванная

энергии

за четыре

скользящая

Уі

квартала

средняя

1

6,0

2

4,4

6,10

3

5,0

6,40

6,250

-1,250

4

9,0

6,50

6,450

2,550

5

7,2

6,75

6,625

0,575

6

4,8

7,00

6,875

-2,075

7

6,0

7,20

7,100

-1,100

8

10,0

7,40

7,300

2,700

9

8,0

7,50

7,450

0,550

10

5,6

7,75

7,625

-2,025

11

6,4

8,00

7,875

-1,475

12

11,0

8,25

8,125

2,875

13

9,0

8,40

8,325

0,675

14

6,6

8,35

8,375

-1,775

15

7,0

16

10,8

-

-

-

На рис. 13 представлены графики фактических уровней ряда и центрированной скользящей средней (сглаженные уровни).

Сглаженные уровни ряда (тренд)

ю о

&  2 ■

о

С

о -I      ,           ,           ,           ,           ,           ,           ,           ,           1          ,           ,           1          1          ,           1            ,

1    2    3    4    5    6    7    8    9   10   И   12   13   14   15 16 Время (сквозной номер квартала)

Рис. 13

Оценки сезонной вариации определяются как разность между фактическими уровнями ряда у, и центрированными скользящими средними.

Расчет сезонной компоненты выполним в следующей расчетной таблице, в которой оценки сезонной вариации записываются под соответствующим номером квартала в году:

 

 

 

 

 

 

 

 

Показатели

Год

Номер квартала в году

 

I

II

III

IV

 

1

-

-

-1,250

2,550

2

0,575

-2,075

-1,100

2,700

3

0,550

-2,025

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 |