Имя материала: Эконометрика

Автор: А.И. Новиков

5.2. метод взвешенных наименьших квадратов

При наличии гетероскедастичности используют обобщенный (взвешенный) МНК.

Суть метода заключается в уменьшении вклада данных наблюдений, имеющих большую дисперсию в результате расчета. Пусть в исходной модели регрессии

у, - а + рх, + є,

случайные члены гетероскедастичны, т.е. М(е,) = 0, D(e,) = а2 (/ = 1, я).

Допустим, что дисперсии а2 в каждом наблюдении известны. Разделив каждое наблюдение на соответствующее ему значение а„ получим преобразованную модель

 

с,    а,     а, а,' для которой выполнены условия гомоскедастичности, так как

М

= 0, D

Vе7- J

= 1  (/ = 1, АО-

Оценка параметров преобразованного уравнения обычным МНК приводит к оценке параметров исходного уравнения взвешенным МНК. Для каждого из этих методов необходимо минимизировать сумму квадратов отклонений вида

2

а,

а о",

При минимизации этой суммы квадратов отдельные ее слагаемые взвешиваются: наблюдениям с большей дисперсией придается меньший вес 1/а,2. Оценки МНК коэффициентов преобразованной модели дают непосредственно оценки исходной модели.

На практике дисперсии о2 неизвестны, поэтому их заменяют оценками s,2, т.е. оценивается обычным МНК преобразованная модель

у       1    „X є

S          S        S S

в которой отсутствует постоянный член.

Для экономических данных а, часто пропорциональны значениям объясняющей переменной х. При этом оценивается обычным МНК преобразованная модель

У      1   о є - = (Х- + Р + -.

XX X

Коэффициент при 1/х будет эффективной оценкой ос, а постоянный член — эффективной оценкой р

Замечание. Коэффициент детерминации не может служить удовлетворительной мерой качества подгонки при использовании взвешенного МНК.

При применении взвешенного МНК оценки параметров будут несмещенными, кроме того, они имеют меньшую дисперсию, чем невзвешенные оценки.

Пример 5.4. По данным примера 5.1 обычным МНК получена регрессионная зависимость (5.1) и с помощью различных тестов установлена гетероскедастичность случайного члена. Проведем коррекцию на гетероскедастичность путем использования взвешенного МНК.

Регрессионные зависимости, полученные взвешенным МНК в двух вариантах, следующие:

а)         ^ = 8,64-+ 3,11—,  сс = 8,64,  (3 = 3,11;

s           s s

(1,12) (0,34)

Л 1

б)         Z = 7,78-+ 3,19,  а = 7,78,  0 = 3,19.

Х     (3,47)Х (0,37)

Здесь вариант «а» — с делением на s, где s определяется выражением (5.3), а вариант «б» — с делением нах.

Можно показать, что колебания остатков полученных регрессионных зависимостей имеют неупорядоченный характер, и рассмотренные тесты не обнаруживают гетероскедастичности, т.е. коррекция на гетероскедастичность прошла успешно.

Полученные зависимости дают более эффективные оценки коэффициентов регрессии, чем уравнение (5.1) с использованием обычного МНК.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 |