Имя материала: Эконометрика

Автор: А.И. Новиков

5.3. обнаружение автокорреляции обнаружение автокорреляции первого порядка

Одной из предпосылок регрессионного анализа является независимость случайного члена в любом наблюдении от его значений во всех других наблюдениях, т.е. М(г,г^ = 0  (іф j).

Если данное условие не выполняется, то говорят, что случайный член подвержен автокорреляции. В этом случае коэффициенты регрессии, получаемые по МНК, оказываются неэффективными, хотя и несмещенными, а их стандартные ошибки рассчитываются некорректно (занижаются).

Причиной автокорреляции может быть либо неверная спецификация модели, либо наличие неучтенных факторов. Устранение этих причин не всегда дает нужные результаты. Автокорреляция имеет собственные внутренние причины, связанные с автокорреляционной зависимостью.

Автокорреляция обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временного ряда. В силу этого в дальнейшем вместо символа / (порядковый номер наблюдения) будем использовать символ / (момент наблюдения).

Необходимым условием независимости случайных членов является их некоррелированность для каждых двух соседних значений.

Пусть р — коэффициент корреляции между двумя соседними случайными членами є, и єм:

если р > 0, то автокорреляция положительная;

если р < 0, то автокорреляция отрицательная;

если р = 0, то автокорреляция отсутствует и третье условие Гаусса — Маркова удовлетворяется.

Поскольку значения случайных членов є, неизвестны, то проверяется статистическая некоррелированность остатков ег и е,_х с использованием обычного МНК.

Соответствующей оценкой коэффициента корреляции р является коэффициент автокорреляции остатков первого порядка, который при достаточно большом числе наблюдений имеет вид

г =    соу(е„е,_,)    = Хе/е/-і ^var^varte,,,) ^ef

Считается, что et = <?,_, = О,  ]Г е2 = ^ej_v

Выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии корреляции первого порядка, т.е. Н0: р = 0. В качестве альтернативной гипотезы может выступать либо Нх: р > 0, либо В2: р < 0.

Для проверки нулевой гипотезы используют статистику Дарби-на — Уотсона, рассчитываемую по формуле

DW =      '    '~]   « 2(1-г), 0<DW<4.

 

Если автокорреляция остатков отсутствует (г = 0), то DW~2.

При положительной автокорреляции (г > 0) имеем 0 < DW< 2, а при отрицательной (г < 0) — соответственно, 2<DW< 4.

По таблице определяются критические значения критерия Дар-бина —- Уотсона dx и d2 для заданного числа наблюдений, числа объясняющих переменных и уровня значимости. По этим значениям отрезок [0; 4] разбивается на пять зон (рис. 16). В зависимости от того, в какую зону попадает расчетное значение критерия, принимают или отвергают соответствующую гипотезу.

Рис. 16

Наличие зоны неопределенности связано с тем, что распределение £)И/-статистики зависит не только от числа наблюдений и числа объясняющих переменных, но и от значений объясняющих переменных.

Пример 5.5. Имеются данные об объеме предложения товара у, его цены X! и зарплаты сотрудников х2 за 10 месяцев. Выявим на уровне значимости 0,05 наличие автокорреляции остатков в модели регрессии

У = Ро + Рі*1 + р2*2 + Є.

Исходные данные и результаты промежуточных расчетов (усл. ед.) представлены в следующей таблице:

 

/

 

*2

У

е,

е,-

1

10

12

20

8,30

2

15

10

35

4,26

8,30

3

20

9

30

-12,46

4,26

4

25

9

45

-1,86

-12,46

5

40

8

60

-7,38

-1,86

6

37

8

70

5,26

-7,38

7

43

6

75

-9,66

5,26

8

35

4

90

-2,26

-9,66

9

40

4

105

8,34

-2,26

10

55

5

ПО

7,46

8,34

Выборочная регрессия для этой модели: у = 90,72 +0,88^ -7,32х2.

Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка г = -0,02512, следовательно, значение критерия Дарбина — Уотсо-на для этой модели составляет DW= 2,05. По таблице распределения Дарбина — Уотсона (см. Приложение) находим d = 0,70 и d2 = 1,64. Поскольку d2 < DW< 4 - d2, то нет оснований отклонять гипотезу #о об отсутствии автокорреляции в остатках.

Замечание. ТестДарбина — Уотсона построен в предположении, что объясняющие переменные некоррелированы со случайным членом. Поэтому этот тест неприменим к моделям, включающим в качестве объясняющих переменных лаговые значения зависимой переменной у.

 

ОБНАРУЖЕНИЕ АВТОКОРРЕЛЯЦИИ В МОДЕЛИ С ЛАГОВОЙ ЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

В случае когда уравнение регрессии включает лаговую зависимую переменную, например^!, можно использовать А-статистику Дарбина, которая также вычисляется на основе остатков:

Подпись:
где DW— значение статистики Дарбина — Уотсона, и — число наблюдений в выборке, var(Z>) — оцененная дисперсия коэффициента при лаговой зависимой переменной.

Значение h можно вычислить на основе обычных результатов оценивания регрессии. Этот тест предназначен только для проверки на наличие автокорреляции первого порядка.

При больших выборках h распределена как N(0; 1) по нулевой гипотезе об отсутствии автокорреляции. Следовательно, при применении двустороннего критерия и большой выборке гипотеза об отсутствии автокорреляции может быть отклонена:

если h > 1,96 при уровне значимости 5\%;

если h > 2,58 при уровне значимости 1\%. ТестДарбина неприменим, если «var(Z>) > 1.

 

5.4. АВТОРЕГРЕССИОННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Пусть исходное уравнение регрессии У/ = а + рх, + є,

 

 

(5.4)

содержит автокорреляцию случайных членов.

Допустим, что автокорреляция подчиняется авторегрессионной схеме первого порядка: є,= рєм + и„

где р — коэффициент авторегрессии, а и,— случайный член, удовлетворяющий предпосылкам МНК.

Данная схема оказывается авторегрессионной, поскольку є определяется значениями этой же величины с запаздыванием, и схемой первого порядка, потому что в этом случае запаздывание равно единице.

Величина р есть коэффициент корреляции между двумя соседними ошибками. Пусть р известно.

Обратимся к исходной модели (5.4). Для момента времени t- 1 эта модель примет вид

ум = <х + рхм + ем. (5.5)

Вычтем из обеих частей исходного уравнения (5.4) умноженное на р соотношение (5.5):

Уі ~ РУї-і = (1 - р)а + р(х, - рхм) + (є, - рем). Обозначим:

 

у;

= Уі

-РУї-и

*;

= х,

-Р*м>

а'

= (1

-р)а.

Это преобразование переменных называется авторегрессионным (АК), или преобразованием Бокса — Дженкинса.

Тогда преобразованное уравнение

У, =а' + рх/ + и„

где t> 2, не содержит автокорреляцию, и для оценки его параметров (а', Р) используется обычный МНК.

Оценка коэффициента Р из этой зависимости непосредственно используется и для исходного уравнения, а коэффициент а рассчитывается по формуле а = а'/(1 - р).

На практике величина р неизвестна, ее оценка получается одновременно с оценками (а, Р) в результате следующих итеративных процедур.

Процедура Кохрейна — Оркатта. Процедура включает следующие этапы:

1) применяя МНК к исходному уравнению регрессии, получают первоначальные оценки параметров а, Р;

вычисляют остатки е ив качестве оценки р используют коэффициент автокорреляции остатков первого порядка, т.е. полагают р = г,;

применяя МНК к преобразованному уравнению, получают новые оценки параметров а, р.

Процесс обычно заканчивается, когда очередное приближение р мало отличается от предыдущего. Процедура Кохрейна — Оркатта реализована в большинстве эконометрических компьютерных программ.

Процедура Хильдрата — Лу. Эта процедура, также широко применяемая в регрессионных пакетах, основана на тех же самых принципах, но использует другой алгоритм вычислений:

преобразованное уравнение оценивают для каждого значения р из интервала (-1, 1) с заданным шагом внутри его;

выбирают то значение р, для которого сумма квадратов остатков в преобразованном уравнении минимальна, а коэффициенты регрессии определяют при оценивании преобразованного уравнения с использованием этого значения.

Пример 5.6. Пусть изучается зависимость среднедушевых расходов на конечное потребление у от среднедушевого дохода х по данным некоторой страны за 16 лет.

Исходные (у,, xt) и расчетные (е„ x't) данные (усл. ед.) представлены в следующей таблице:

 

t

Уг

х,

е,

 

х

1

70

73

0,18

2

73

76

0,76

37,51

38,99

3

78

83

0,12

40,99

44,47

4

83

89

0,28

43,45

46,92

5

86

95

-1,55

43,92

49,88

6

89

100

-2,58

45,40

51,83

7

96

107

-1,22

50,88

56,30

8

96

108

-2,03

47,33

53,75

9

103

113

0,94

54,33

58,24

10

109

119

2,10

56,78

61,71

11

112

121

3,49

56,74

60,66

12

114

122

4,69

57,22

60,65

13

115

131

-1,56

57,20

69,14

14

118

135

-1,79

59,70

68,58

15

122

139

-1,01

62,17

70,55

16

123

140

-0,82

61,15

69.53

Пусть исходная модель имеет вид у, = а + рх, + г,. По исходным данным с использованием МН К получено следующее оцененное уравнение регрессии:

у, = 11,0+ 0,80х,,  R2 =0,986

(2,8) (0,025)

(в скобках указаны стандартные ошибки).

Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка составляет г = 0,507, следовательно, DW= 2(1 - г) = 0,986. При уровне значимости 5\% табличное значение dx = 1,10 и d2 = 1,37. Поскольку 0 < DW< dx, то имеется положительная автокорреляция остатков.

Применяя МНК к преобразованным данным

/, = }>,-0,507у,_ь х', = х,-0,507хм (t>2), получим оценку преобразованного уравнения (j>,)' = 6,2 + 0,79 х'„   Я2 =0,95

(3,0) (0,05)

(в скобках указаны стандартные ошибки).

Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка составляет г= 0,145, следовательно, DW- 2(1 - г) = 1,71. Поскольку d2 < DW< 4 - d2, то автокорреляция остатков отсутствует.

Пересчитывая оценку а = 6,2/(1 - 0,507) = 12,62, получим следующую оценку исходной модели:

у, = 12,62+ 0,79хг,   Л2 = 0,993.

Это уравнение отличается от полученного ранее уравнения, оцененного обычным МНК.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Как можно проверить наличие гомо- или гетероскедастичности остатков?

Какова суть взвешенного МНК?

Что такое критерий Дарбина — Уотсона? Каков алгоритм его применения для тестирования модели регрессии на автокорреляцию в остатках?

Какие преобразования переменных используются при наличии автокорреляции в остатках?

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 |