Имя материала: Эконометрика

Автор: В.С. Мхитарян

1.2.  двумерный нормальный закон распределения

 

Рассмотрим генеральную совокупность с двумя признаками x и у, совместное распределение которых задано плотностью двумерного нормального закона

f (x,У) =          ^Г^ехр{Q2(x,У)} , (1.5)

2ПОхоyV1 - р

            —)2 -2р           —        - + (     -)2], определяемого пятью параметрами:

-1

где Q2(x, У) =            [(

2(1-р2)     0x   0x       0У оу

M(x) = / , D(x) = a2

2 r ,

xx

M(у) = и , D(y) = a2 , y У

m [x       y  ik ] = р, о о

x у р2 * 1.

Имея эти параметры, можно получить уравнения линий регрессии, показывающих изменение условных математических ожиданий в зависимости от изменения соответствующих значений случайных аргументов:

M(y / x) - My = вyx (x ~ Mx) - линейное уравнение регрессии y на x; M(y / x) - Mx = вxy (y - My) - линейное уравнение регрессии x на y; о

в    = p—y~ - коэффициент регрессии y на x; yx о

x

о

в    = р—^ - коэффициент регрессии x на y. xy о

y

Полезно вспомнить, что квадрат коэффициента корреляции р, т.е. коэффициент детерминации, в рассматриваемой модели указывает долю дисперсии одной случайной величины, обусловленную вариацией другой. Коэффициент регрессии Pyx показывает, на сколько единиц своего измерения увеличится (в>0) или уменьшится (в<0) в среднем y (M(y/x)), если xувеличить на единицу своего измерения.

Задача двумерного корреляционного анализа состоит, прежде всего, в оценке пяти параметров, определяющих генеральную совокупность.

В качестве точечных оценок неизвестных начальных моментов первого и второго порядка генеральной совокупности берутся соответствующие выборочные моменты.

Точечные же оценки неизвестных других параметров получают с помощью формул, аналогичных формулам вычисления самих параметров через генеральные начальные моменты. Таким образом, будем иметь:

2

xy

Откуда

 

x - оценка для /jx, y - оценка для /jy,

x - оценка для M(x2), у2 - оценка для M(y2), оценка для M(xy).

sx = x2 - (x )2 - оценка для о2 ,

sУ = У2 - (У)2 - оценка для о2 .

xy - x ■ У

r = —   — оценка для р.

S S

x y

 

Оценки генеральных коэффициентов регрессии eyx и exy получаются соответственно по формулам:

S s

b    = r—,        b    = r —,

yx     S xy s

x y откуда оценки уравнений регрессии имеют вид:

y / x - y = b (x - xl      x / y - x = b (y - y).

yx xy

При этом y / x и x / y - обозначения оценок для условных математических ожиданий M(y/x) и M(x/y) генеральной совокупности.

Следует отметить, что вышеприведенные точечные оценки являются состоятельными, а x и y несмещенными и эффективными. Кроме того, распределение выборочных средних ( x , y ) не зависит от распределения (sx, sy, r). Наконец, выборочный коэффициент корреляции r по абсолютной величине не превосходит единицы.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 |