Имя материала: Эконометрика

Автор: В.С. Мхитарян

1.7.   тренировочный пример

Деятельность n = 8 карьеров характеризуется себестоимостью 1т. песка (X1), сменной добычей песка (X2) и фондоотдачей (X3). Значения показателей представлены в таблице.

 

X1 (тыс.руб)

30

20

40

35

45

25

50

30

Х2 (тыс.руб)

20

30

50

70

80

20

90

25

Хз

20

25

20

15

10

30

10

20

Требуется:

Оценить параметры генеральной совокупности, которая предполагается нормально распределенной.

При а = 0.05 проверить значимость частных коэффициентов корреляции р 12/3, Р13/2 и р 23/1 и при у = 0.95 построить интервальную оценку для р 13/2 .

Найти точечную оценку множественного коэффициента корреляции р 1/23 и при

а =0.05 проверить его значимость. Решение:

1. Найдем значения средних арифметических ( x j ) и средних квадратических от-

 

клонений (S j ), где j =1, 2, 3, а также парных коэффициентов корреляции r12, r13 и r23 по формулам:

_    30 + 20 + 40 + 35 + 45 + 25 + 50 + 30   „„„„г г

x1 =     = 34.375 тыс. руб.

8

х2 = 48.125 х3 =18.75

Si=9,49

S 2 = S3 = 26,68 . 6,48

'12

1875 - 34.375 x 48,125 9.49 x 26,68

220.70 9.49 x 26.68

 

0.871,

 

где X1 X2

~Z XnX,2 = 1 (30 x 20 + 20 x 30 + 40 x 50 +... + 30 x 25) = 1875

n i=1 8

Подпись: 0.871
v-0.874
В результате расчетов получим:

26.68 6.48

f34.38Л        ( 9.49 Л        f 1

X

; R=

48.12 ; S= v 18.75у

 

0.871 1

-0.879

 

-0.874Л

0.879 1

2. Предварительно найдем точечные оценки частных коэффициентов корреляции

из выражения

r =

1 12/3

R

- 12

yJRu x R

R12 =

1

-0.879 1

-0.874 1

0.445

где R12 - алгебраическое дополнение элемента r12 корреляционной матрицы R, а R11 и R22 алгебраические дополнения 1-го и 2-го диагонального элемента этой матрицы 0.871    - 0.879І

-0.103

0.227

R11 =

-0.874 1

0.236

R22 =

-0.879 1

'12/3

-0.874 0.103

V0.227 x 0.236

Аналогично находим: r13/2=-0.462 и r23/1 =-0.494.

Для проверки значимости частных коэффициентов корреляции найдем гкр. (а = 0.05, v = n-l-2 = 5) = 0.754, где l - порядок коэффициента корреляции (число фиксированных признаков). В нашем примере l = 1.

Так как |r| <гкр.=0.754, то гипотезы Н0: р=0 не отвергаются, т. е. предположение о

равенстве его нулю не противоречит наблюдениям, но n = 8 мало.

Определим интервальную оценку для р 13/2 при у =0.95. Для этого используем Z-преобразование Фишера и предварительно найдем интервальную оценку для Z из условия:

Z є

 

L

1

-l-3

По таблице Z-преобразования Фишера для r13/2= -0.462, учитывая, что Z'(-r) = -Z'(r), будем иметь Z'(-0,462) = -0.497. По таблице нормального закона из условия Ф(і) = 0.95 найдем t = 1.96.

Тогда

Z є

і          

1

0.497 ± 1.96

8 - 4

откуда Z є[-1.477,0.483].

 

По таблице Z-преобразования для Zm;n= -1,477 и Zmax= 0.483 найдем интервальную оценку для р 13/2:

Р1з/2є[- 0.9,0.45].

 

Полученная интервальная оценка подтверждает вывод о незначимости частного коэффициента корреляции р 13/2, т. к. ноль находится внутри доверительного интервала.

 

3. Найдем точечную оценку множественного коэффициента корреляции р 1/23 и при а=0.05 проверим его значимость.

 

Точечная оценка определяется по формуле:

 

r1/23 = 11        , где Щ - определитель корреляционной матрицы.

 

Щ = 1+0.871(-0.879)(-0.874)+0.871(-0.879)(-0.874) - (0.874)2 - 0.8712 - (-0.879)2

=0.043.

м   0.043 nnn

r1/23 = , 1        = 0.90.

1/23    V 0.227

 

Проверим гипотезу Н0: р 1/23 = 0

1   2 1

r12/23   1 0.81

Бнабл =     k-1            = -|       = 10.66,

 

где /=2.

Критическое значение по таблице F-распределения Бкр (а=0.05, v1 =2, v 2 =5) = 5.79

Т. к. Енабл>Бкр, то гипотеза Н0 отвергается, т. е. множественный коэффициент корреляции не равен нулю (р 1/23 ^ 0).

1.8.  Задание для самостоятельного решения

 

По данным n=10 машиностроительных предприятий методами корреляционного анализа исследуется взаимосвязь между следующими показателями: х1 - рентабельность (\%); х2 - премии и вознаграждения на одного работника (млн.руб.); х3 - фондоотдача.

N п/п

Х

Х

Х

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

13,26

10,16

13,72

12,82

10,63

9,12

25,83

23,39 14,68 10,05 1,23

1,04

1,80 0,43 0,88 0,57 1,72 1,70 0,84 0,60 1,45

1,30 1,37 1,65

1,91

1,68 1,94 1,89 1,94 2,06

 

Требуется:

а)         рассчитать вектора средних и среднеквадратических отклонений, матрицу пар-

ных коэффициентов корреляции (х,   S,   R);

б)         проверить при а=0,05 значимость парного коэффициента корреляции р12 и найти

его интервальную оценку с доверительной вероятностью у=0,95;

в)         по корреляционной матрице  R рассчитать частный коэффициент корреляции

r12/3;

г)         проверить при а=0,05 значимость частного коэффициента корреляции р12/3 и оп-

ределить его интервальную оценку при у=0,95;

д)         по корреляционной матрице R вычислить оценку множественного коэффициента

корреляции r1(23) и при а=0,05 проверить гипотезу H0: гц2;3)=0.

Задание выполняется по вариантам. Каждый должен вычеркнуть объект №, соответствующий последней цифре зачетной книжки. Так, например, если последняя цифра номера вашей зачетной книжки равна 2, то вы вычеркиваете второй объект.

2. Регрессионный анализ 2.1. Основы регрессионного анализа

Регрессионный анализ - это статистический метод исследования зависимости случайной величины Y от переменных Xj (j = 1, 2, k), рассматриваемых в регрессионном анализе как неслучайные величины независимо от истинного закона распределения Xj.

Обычно предполагается, что случайная величина Y имеет нормальный закон распределения с условным математическим ожиданием Y = (x1,..., Xk), являющимся функцией от аргументов xj, и с постоянной, не зависящей от аргументов дисперсией а2 .

Для проведения регрессионного анализа из (k+1) -мерной генеральной совокупности (Y,X1,X2,...,Xj,...,Xk) берется выборка объемом n и каждое i-ое наблюдение (объект)

характеризуется значениями переменных (y i , xi1, xi2x ij     x ,k ), где x j - значение

j-ой переменной для i-го наблюдения (i=1,2,...,n), y; - значение результативного признака для i-го наблюдения.

Наиболее часто используемая множественная линейная модель регрессионного анализа имеет вид:

y = р0 +Р1ХІ1 +..+pjXij+..+pkXik+Si, (2.1)

где - случайные ошибки наблюдения, независимые между собой, имеют нулевую среднюю и дисперсию а2 .

Отметим, что модель (2.1) справедлива для всех i = 1,2,.., n , линейна относительно неизвестных параметров р0, р1,..., Pj,..., Pk и аргументов.

Как следует из (2.1) коэффициент регрессии Pj показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак Y, если переменную Xj увеличить на единицу измерения, т. е. является нормативным коэффициентом.

В матричной форме регрессионная модель имеет вид:

Y = Xp + s (2.2)

где Y - случайный вектор - столбец размерности (n x 1) наблюдаемых значений результативного признака (y1, y2,..., yn); X - матрица размерности [n x (k+1)] наблюдаемых

значений аргументов. Элемент матрицы xj рассматривается как неслучайная величина

(i =1,2,...,n; j=0,1,2,...k); P - вектор - столбец размерности [(k+1) x 1] неизвестных, подлежащих оценке параметров (коэффициентов регрессии) модели; s - случайный вектор -столбец размерности (n x 1) ошибок наблюдений (остатков). Компоненты вектора si независимы между собой, имеют нормальный закон распределения с нулевым математическим ожиданием (Ms/ = 0) и неизвестной дисперсией а2 (Ds/ = а2 ).

На практике рекомендуется, чтобы n превышало k не менее, чем в три раза. В модели (2.2)

 

 

 

x11

 

 

 

 

 

 

X=

Г

 

 

 

 

 

 

; P

 

 

Xn1

 

 

Xnk J

 

VУп J

 

 

 

Единицы в первом столбце матрицы призваны обеспечить наличие свободного члена в модели (2.1). Здесь предполагается, что существует переменная х0, которая во всех наблюдениях принимает значения, равные 1.

 

Основная задача регрессионного анализа заключается в нахождении по выборке объемом n оценки неизвестных коэффициентов регрессии Ро, в1,..., Pk модели (2.1) или вектора Р в (2.2).

 

Так как в регрессионном анализе Xj рассматриваются как неслучайные величины, а Ms, = 0, то согласно (2.1) уравнение регрессии имеет вид:

~ = Ро +    + -+ejxj + -+Ра , (2.3)

для всех /'= 1,2,...,n, или в матричной форме:

~          ~ = XP, (2.4)

где Y - вектор-столбец с элементами ~1v..,~.,...,j~n.

 

Для оценки вектора Р наиболее часто используют метод наименьших квадратов (МНК), согласно которому в качестве оценки принимают вектор b, который минимизирует сумму квадратов отклонения наблюдаемых значений yt от модельных значений уг-, т. е. квадратичную форму:

Q=(Y - XP) T (Y - XP) = £ (y - ~ )2 ^ min .

 

Наблюдаемые и м одельные значения показаны на рис. 2.1.

 

Дифференцируя с учетом (2.4) и (2.3) квадратичную форму Q по р0,р1,...,рк и приравнивая производные нулю, получим систему нормальных уравнений:

dpk

0

для всехj = 0,1,..., k,

 

решая которую и получаем вектор оценок b, где b=(b0 b1...bk)T.

Согласно методу наименьших квадратов, вектор оценок коэффициентов регрессии получается по формуле:

b = (XTX)- XTY, (2.5)

(b0

 

b

 

V bk J

где X - транспортированная матрица X; (XTX)-1 - матрица, обратная матрице XTX.

Зная вектор оценок коэффициентов регрессии b, найдем оценку у€г уравнения регрессии:

Уг = Ь0 + Ь1Хг1 + Ь2Хг2 + ... + bk . (2.6)

Или в матричном виде: y = Xp*,

где У   Av- У n J .

Оценка ковариационной матрицы коэффициентов регрессии вектора b определяется из выражения:

S (b) = S2(XTX)-1, (2.7)

где

S2

1

n - k -1

(Y - Xb)T (Y - Xb).

(2.8)

(2.9)

 

Учитывая, что на главной диагонали ковариационной матрицы находятся дисперсии коэффициентов регрессии, имеем:

S2b<j-„ =    [(XTX)-1 [j дляj=1,2,...,k,k+1

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 |