Имя материала: Информационное обеспечение управленческой деятельности

Автор: Годин Владимир Викторович

3.5.1. дискретно-детерминированные модели

 

Дискретно-детерминированные модели используются для описания объектов, среди свойств которых доминирующее значение имеют два:

отсутствие случайностей (их либо нет в реальности, либо ими пренебрегают из-за их несущественности с позиции цели исследования);

явления в объектах моделирования рассматривают как изменяющиеся во времени процессы, которые представительно описываются временными рядами.

Шаг изменения времени принимается постоянным, равным единице, при этом сколько реального времени работы объекта подразумевается в одном шаге изменения времени в модели (секунда, 2 дня, месяц и т.п.), решает разработчик модели. Примерами подобных объектов моделирования могут служить производственно-складские системы, финансово-хозяйственные механизмы функционирования экономических систем и т.п.

Для построения дискретно-детерминированных моделей в качестве теоретических схем формализации обычно используют два математических аппарата: конечно-разностные уравнения и теорию конечных автоматов.

 Пример построения и использования дискретно-детерминированных моделей. Этот пример показывает, как используется аппарат конечно-разностных уравнений для построения дискретно-детерминированной модели. Причем эта модель строится в виде математических уравнений, для которых возможно нахождение аналитического решения.

Пусть имеется следующая ситуация: есть некоторый товар, цена Pt на который формируется на основе спроса на него и предложения товара на рынке. Допустим, что спрос D, на товар обратно пропорционален цене:

Dt= K1-k1P1

где K1— коэффициент; k1 — коэффициент пропорциональности. Предложение товара St (его производство, так как полагаем здесь, что все что произведено, сразу предлагается к продаже) также ориентировано на цену с запаздыванием на один временной шаг (т. е. ориентируется на «вчерашнюю» цену):

St = K2 + k2Pt-1

где K2 — коэффициент; k2 — коэффициент пропорциональности. Условие локального равновесия на рынке товара определяется равенством спроса и предложения:

Dt=St, т.е.

 

K1-k1P1= K2 + k2Pt-1

 

или

k1P1+ k2Pt-1= K1 - K2     (2)

 

Решим уравнение (2), для чего сначала найдем решение однородного уравнения:

k1Pt + k2Pt-1= 0;  (3)

 

Pt  =µ t

 

k1µt+ k2µt-1= 0;

µt-1(k1µ+ k2)=0, µt-1≠0

µ = - k2 / k1

 Общее решение однородного уравнения (3):P t  =  R(- k2 / k1) t

где R — произвольная константа.

Найдем частное решение уравнения (2). Правая его часть — константа

К1-К2, поэтому и частное решение мы будем искать в виде константы ŷ.

 

k1 ŷ+ k2 ŷ= K1 - K2

 

K1 - K2

ŷ= ---------------

k1+ k2

 

Общее решение уравнения (2):

 

Pt=R(-k2 / k1) t      + K1 - K2

                              --------------- .

                            k1+ k2

 

Положив Pt =P0, при t=0, найдем значение для R:

 

P0 = R(- k2 / k1) 0       +    K1 - K2

_______________________     _________

 

                                        k1+ k2

 Окончательная формула для общего решения уравнения (2):

 

                                                    K1 - K2

_____________________ Pt =__ P0  -     _________ (- k2 / k1) t  K1 - K2       (4)

 

                                                   k1+ k2                                                            k1+ k2

                                                                                              

 

Это решение показывает динамику цены. Например, для случая К1 = 200, k1 = 0,4, К2 = 100, k2 = 0,3 график ее изменения показан на рис. 3.3. Частное решение Pt = 143 соответствует равновесному состоянию.

 

 

Рис. 3.3. Динамика цены

Свойства решения уравнения (4) определяются соотношением между коэффициентами k2и k1. При k2 < k1 колебания цены вокруг равновесного значения имеют затухающую амплитуду (рис. 3.4) и значение цены сходится к значению равновесной цены; при k2 = k1 колебания цены происходят с постоянной амплитудой (рис. 3.5), а при k2 > k1 — с увеличивающейся, т. е. мы имеем дело с расходящимися колебаниями (рис. 3.6).

Усложним условия только что рассмотренной ситуации. Пусть локальное равновесие рынка пытаются поддержать не только за счет производства, но и за счет запасов продукции Zt.

 

 

Рис. 3.5. Колебания цены с постоянной амплитудой                колебания цены

 

 Рис.3.6.Расходящиеся       колебания цены

 

Уравнения, описывающие ситуацию:

Dt=K1-k1Pt;

St=K2+DP t-1

ΔZ t =Z t –Z t-1= S t-D t ;

Pt =Pt-1 – λΔZt-1, λ ∩(0,1)                        (5)

 

 

Здесь цена ориентируется на уровень запасов товара в системе. Если этот уровень растет, то цена уменьшается, и наоборот. Коэффициент Я показывает долю величины изменения запасов, на которую будет скорректирована цена. Приведенные уравнения позволяют исключить все переменные и построить обобщенное уравнение для описания динамики цены:

Pt =Pt-1 – λΔZt-1 =Pt-1- λ(S t-1-D t-1)

Pt =Pt-1 – λ(К2+DP t-2  - K1       +    k1Pt-1)

 

Pt–(1- λ k1) Pt-1+ λDP t-2= λ(K1 - K2)

                (6)

Полученное уравнение (6) можно решить так, как это показано выше. Мы не будем этого делать. Обсудим характер данного уравнения. По своей сути — это модель описанной выше ситуации. Но и система уравнений (5) также есть модель. Разница между ними состоит в степени детализации описания ситуации. Модель (6) относится к типу «вход—выход», т.е. мы стремились все соотношения в модели свести к уравнению динамики вида (4), когда слева от знака равенства находятся значения переменной или переменных, описывающих выходные характеристики системы, а справа — входные.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 |