Имя материала: Базовый курс по рынку ценных бумаг

Автор: Ломтатидзе О.В

12.1. основные понятия теории вероятностей и математической статистики

К основным понятиям теории вероятностей относятся понятия эксперимента, случайного события, множества элементарных исходов эксперимента и классическое определение вероятности. Последовательно познакомимся с каждым из них.

Экспериментом называется выполнение определенного комплекса условий, в которых наблюдается то или иное явление.

Необходимо отметить, что классическая теория вероятностей имеет дело с идеальными объектами, однако выводы вероятностного анализа применимы и к реальным экспериментам.

Приведем примеры классических экспериментов в области вероятностей:

подбрасывание монетки;

подбрасывание игральной кости (кубика с шестью гранями);

извлечение наугад из коробки с белыми и черными шарами одного шара.

Классическая теория вероятностей требует потенциальной повторяемости эксперимента. Только в этом случае возможно нахождение определенных закономерностей.

В самом деле если идеальная монетка подбрасывается один раз, то невозможно предсказать, выпадет «орел» или «решка». Если же монетка подбрасывается 100 раз, то скорее всего выпадет 50 «орлов» и 50 «решек».

Случайным событием называется исход эксперимента, осуществление которого зависит от множества случайных факторов (может произойти или не произойти).

Прикладной задачей теории вероятностей является количественная оценка шансов на осуществление того или иного случайного события в будущем. Обозначать события принято заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С.

Приведем примеры случайных событий.

Пример 12.1. В эксперименте с подбрасыванием монетки можно рассмотреть следующие события: А — выпал «орел»; В — выпала «решка».

Пример 12.2. Эксперимент — подбрасывание кубика. События: А — выпало два очка; В — выпала пятерка; С — выпало нечетное число; D — количество выпавших очков не превосходит числа 3.

Пример 12.3. В коробке белые и черные шары. Эксперимент — наудачу достаем один шар. События: А — достали белый шар; В — достали черный шар.

В реальной жизни мы постоянно сталкиваемся со случайными событиями и даже принимаем решение на основе эмпирической (опытной) вероятности.

Пример 12.4. Эксперимент на остановке общественного транспорта.

Случайное событие: А — автобус нужного маршрута придет в течение ближайших пяти минут.

Очевидно, что осуществление этого события зависит от множества случайных факторов: «пробок» на дороге, технического состояния автобуса и даже настроения водителя.

На финансовых рынках также можно найти примеры случайных событий.

Пример 12.5. А — курс акций РАО «Газпром» превысит отметку в 300 руб. за акцию на определенную дату. В — курс доллара США к рублю упадет ниже 25 руб. на некоторую дату в будущем.

12.1.1. Классификация случайных событий

Предположим, что проводится некоторый эксперимент и изучаются два случайных события В.

Случайные события А и В называются несовместными, если наступление одного из них исключает наступление другого.

В противном случае события называются совместными.

Пример 12.6. Бросается кубик. Случайные события А — выпало два очка и В — количество выпавших очков нечетно, очевидно, несовместны, так как они не могут произойти одновременно. Напротив, события А — выпало два очка и С — количество выпавших очков не превосходит числа 4 совместны, так как потенциально могут произойти одновременно.

События называются равновозможными, если в результате испытания по условиям симметрии ни одно из событий не выглядит предпочтительным.

Пример 12.7. Бросается кубик. Случайные события А — выпало два очка и В — выпала «пятерка» являются равновозможными.

Несколько событий образуют полную группу (являются дополнительными), если в результате эксперимента обязательно должно произойти хотя бы одно из этих событий.

Пример 12.8. Кубик подбрасывается один раз. А — выпало четное число

очков. В — выпало нечетное число очков. События А и В образуют полную группу.

Множество событий образует множество элементарных исходов эксперимента, если они:

несовместны;

равновозможны;

образуют полную группу.

Расчет вероятности случайного события невозможен без нахождения множества элементарных исходов эксперимента.

12.1.2. Множество элементарных исходов эксперимента

В этом параграфе рассмотрим ряд классических экспериментов и построим для них множество элементарных исходов.

Пример 12.9. Монетка подбрасывается один раз. А — выпал «орел», В — выпала «решка».

Случайные события Л и В, очевидно, образуют множество элементарных исходов. Обозначим количество элементарных исходов через и. Очевидно, п = 2 = 21.

Пример 12.10. Монетка подбрасывается дважды.

Обозначим элементарные исходы следующим образом: ОО, РР, РО и ОР (О — выпадение «орла», Р — выпадение «решки»). Очевидно, события несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Таким образом, количество элементарных исходов п = 4 = 22.

Пример 12.11. Монетка подбрасывается три раза.

Перечислим элементарные исходы: ООО, OOP, ОРО, POO, ОРР, POP, РРО и РРР. Количество элементарных исходов п = 8 = 23.

Обобщим найденную закономерность: если монетка подбрасывается k раз, то количество элементарных исходов п -= 2*.

Пример 12.12. Кубик подбрасывается один раз. В результате может выпасть любая грань. Количество элементарных исходов п = 6.

Пример 12.13. Кубик подбрасывается дважды. Рассмотрим следующие события:

1:1— при первом подбрасывании выпала цифра 1, при втором — аналогичный результат.

1:2 — при первом подбрасывании выпала цифра 1, при втором — 2.

6:6 — выпали обе шестерки.

Очевидно, события образуют множество элементарных исходов п = б2 = 36.

Нетрудно показать, что при тройном подбрасывании кубика количество элементарных исходов составляет я = б3 = 216.

Пример 12.14. В коробке 10 белых и 15 черных шаров. Наудачу достают один шар. Белым шарам присваиваются номера от 1 до 10, а черным от 11 до 25. Рассмотрим события:

Л, — вынут шар с№1,^2- вынут шар с № 2, .... А25 — вынут шар с Ма 25.

Эта система событий является множеством элементарных исходов, п = 25, по количеству шаров в коробке.

12.1.3. Классическое определение вероятности

Вероятность случайного события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу элементарных исходов:

 

Р<А) = ~- (12.1)

где Р(А) — вероятность случайного события А;

т — число элементарных исходов, благоприятствующих появлению

события А; п — общее число элементарных исходов.

Пример 12.15. При бросании кубика возможны шесть элементарных исходов — выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Найти вероятность следующих событий:

А — выпало четное число очков;

В — количество выпавших очков не менее 3.

По формуле (12.1) получаем Р(А) = 3/е= Х/ъ        - 4/б = 7з-

Пример 12.16. Монетка подбрасывается трижды. Найти вероятность следующих событий:

А — выпал ровно один «орел»;

В — в выпавшей комбинации присутствуют как «орлы», так и «решки*-.

По формуле (12.1) получаем Р(А) = 3Д; Р(В) = \% = 3/А. Пример 12.17. Кубик подбрасывается дважды. Считают сумму выпавших очков. На какое число сделать ставку: на 8 или на 9?

Сформулируем случайные события:

А — в сумме выпало восемь очков;

В — в сумме выпало девять очков.

Рассчитаем вероятность. Количество элементарных исходов при двойном подбрасывании кубика — 36. Благоприятствуют событию А следующие: 5:3; 3 : 5; 6 :2; 2 :6; 4 :4. Аналогично благоприятствуют событию В: 5:4; 4:5; 6:3; 3: 6. Таким образом, по формуле (12.1) получаем Р(А) = 5/ж; НВ) = */Ж=1/,.

Вероятность события А больше, чем у В. Делаем ставку на восьмерку.

Отметим свойства вероятности случайного события. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е. 0<Р(Л)<1.

Рассмотрим достоверное событие Е (событие, которое всегда происходит, чем бы ни закончился эксперимент). Например, при подбрасывании кубика достоверным событием Е является выпадение не более шести очков. Тогда Р(Е) = 1.

Рассмотрим невозможное событие 0 (событие, которое никогда не происходит, чем бы ни закончился эксперимент). Например, при подбрасывании кубика невозможным событием В является выпадение семи очков. Тогда Р(9) = 0.

 

Свойства очевидны, так как Р( Л) = —, число т благоприятных ис-

п

ходов для любого события удовлетворяет неравенству 0 < т < п, для достоверного события т = п, а для невозможного события т = 0.

І2.2. ОПЕРАЦИИ НАД СЛУЧАЙНЫМИ СОБЫТИЯМИ

Суммой событий (А + б) называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из данных событий.

Произведением событий (А х В) называется событие, состоящее в одновременном наступлении обоих событий.

Понятие противоположного события (Л) разберем на примере. Пример 12.18. Рассмотрим эксперимент по подбрасыванию кубика и следующие случайные события:

А — выпало нечетное число очков;

В — количество выпавших очков не менее 4.

Тогда А + В = {1, 2, 3, 4, 5} или выпало не менее 5 очков, А х В = {1, 3|, А — выпало четное число очков и В — выпало более 4 очков.

Теоретико-множественнаяинтерпретация:

сумма событий — объединение множеств элементарных исходов;

произведение событий — пересечение множеств элементарных исходов;

■             нахождения противоположного события — дополнение. Остановимся на вычислении вероятностей от операций над событиями. Верны следующие формулы:

Если события А и В несовместны, то вероятность суммы событий равна сумме их вероятностей Р(А + В) = Р(А) + Р(В).

Если события А п В совместны, то вероятность суммы событий равна сумме их вероятностей минус вероятность произведения Р(А + + В) = Р(Л) + Р(В) -Р(Ах В).

Если события Ли В независимы, то вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей Р(Л х В) = Р(Л) х Р(В).

А. Если события Л и В зависимы, то Р(А х В) = Р(Л) х Р(В : Л), где Р(В: Л) — условная вероятность события В при условии, что событие А уже осуществилось и внесло коррективы в проведение эксперимента.

5. Для любого события Л справедливо Р(А) + Р(Л) = 1.

 

12.2.1. Анализ случайных величин

Случайной величиной называется числовая функция, конкретное значение которой зависит от множества случайных факторов.

Пример 12.19. Эксперимент заключается в подбрасывании кубика.

Событие А состоит в том, что выпадет 1, событие В — выпадет нечетное число. Случайная величина X — количество выпавших очков.

Пример 12.20. Эксперимент состоит в четырехкратном подбрасывании монеты.

Случайная величина X — количество выпавших «решек*. Пример 12.21. Случайная величина X — цена на акцию в будущем. Случайная величина У - курс доллара к рублю на 25 декабря 2007 г.

Случайные величины бывают дискретными (точечными) и непрерывными.

Дискретная случайная величина характеризуется тем, что ее возможные значения разделены промежутками, как в примере 12.19, где X — количество выпавших очков.

Непрерывная случайная величина характеризуется тем. что ее возможные значения заполняют некоторый промежуток полностью. В качестве непрерывной случайной величины можно рассматривать рост человека.

12.2.2. Закон распределения дискретной случайной величины

Законом распределения дискретной случайной величины называется таблица, в первой строке которой указаны возможные значения случайной величины, а во второй — соответствующие вероятности.

 

Л'

*1

Х2

 

хп

р

Pi

?2

 

Р.

Пример 12.22. Кубик подбрасывается шесть раз. Составить закон распределения случайной величины X — количества выпавших очков.

 

X

1

2

3

4

5

6

р

Ув

 

Ув

12.2.3. Числовые характеристики дискретной случайной величины

Пусть задан закон распределения дискретной случайной величины.

 

X

х,

х2

 

К

р

р,

?2

 

 

Математическим ожиданием случайной величины называется сумма попарных произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие вероятности:

ЩХ] = ±Ріх,.

Математическое ожидание представляет наиболее ожидаемое значение случайной величины.

Пример 12.25. Найти математическое ожидание для следующего закона распределения:

/ХХ-1)-...-^Х-6)-Ув.

Сумма всех вероятностей должна равняться 1 : 2^р, =1. ь 1

Действительно,

i.l о

Пример 12.23. Монета подбрасывается два раза, требуется составить закон распределения случайной величины X — количества «орлов».

 

X

0

1

2

р

'/2

 

РХХ

■0)-

 

 

у* І

д=1.

 

 

 

 

Пример 12.24. Подбрасывается два кубика. Составить закон распределения случайной величины X — суммы выпавших очков.

X

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Р

Уз,

Узе

Узе

Узе

Уз,

Уз,

Vs.

Уз,

Узе

Уз*

Уз,

 

Р(Х

= 2) =

У36, Рхх-З)

= 2/зе,

12

... 2д=і.

 

 

 

 

Пример 12.26. Найти математическое ожидание для следующего закона распределения:

 

А'

0

1

2

Р

 

\%

У,

МШ = 0х!+1х! + 2х- = 1. 1  '      4      2 4

Пример 12.27. Найти математическое ожидание для следующего закона распределения:

 

Л'

2

3

4

5

6

7

8

9

10

и

12

р

Узе

Узе

3/

/36

Узе

V*

/36

Уз,

Уи

Уз,

Узе

Уз,

М[Х] = 2х— + 3х— + 4х— + 5хА + бх— + 7х—+ 36      36      36      36      36 36

+ 8х— + 9х— + 10х— + 11х— + 12х — = 1. 36      36       36       36 36

12.2.4. Свойства математического ожидания случайной величины

Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: ЩС] = С.

Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М[СХ] = СМХ].

Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: ЩХ + У] = М[Х] + M[Y.

Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: JU[XF] = -ЩХЩУ.

В качестве характеристики разброса случайной величины относительно ее математического ожидания рассматривают показатель дисперсии.

Дисперсией DX] случайной величины X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания: 0Х] = Щ(Х - M[Xf).

При решении прикладных задач используют более простую формулу

D[X] - ЩХ2] - ЩХ]2.

Легко заметить, что дисперсия D[X] имеет размерность квадрата случайной величины. Поэтому часто в качестве показателя разброса случайной величины используют среднее квадратичне кое отклонение

 

Пример 12.28. Найдем показатели дисперсии и среднего квадратическо-го отклонения для случайной величины X — количества «орлов» при двойном подбрасывании монеты. Случайная величина X задана законом распределения:

Пример 12.29. Предположим, сделаны инвестиции в некоторый актив. Рассмотрим показатель годовой доходности инвестиций X. Так как финансовый результат зависит от множества факторов, то считаем эту величину случайной. Тогда математическое ожидание ЩХ] трактуем как ожидаемую доходность инвестиций, а показатели дисперсии и среднего квадратического отклонения характеризуют риск инвестиций.

12.2.5. Свойства дисперсии случайной величины

Дисперсия постоянной величины равна нулю: D[C] = 0.

Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат: D[CX] = C?2D[X].

Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий: D[X + У] - DX] + D[Y.

В общем случае дисперсия суммы случайных величин представляется в следующем виде: D[X + Y = DX + D[ V] + 2Coe[X, У].

Здесь CovX.}~] - показатель коваршщии случайных величин А" л )'.

Ковариация служит мерой взаимосвязи случайных величин:

Если Cov[X, }1 > 0, то случайные величины X и F связаны напрямую: с ростом величины X величина У также растет с высокой вероятностью.

Если Cov[X, У] < 0, то случайные величины Хк У связаны обратно: с ростом величины X величина У убывает с высокой вероятностью.

3.            Если Сои[Х, У] = 0, то случайные величины .V и Кнезависимы.

Для характернзации силы взаимосвязи случайных величин А" и У

Cov[X,Y

применяется коэффициент корреляции гх,у         • Этот коэффи-

ахОу

циент колеблется в пределах от -1 до 1, причем предельные значения свидетельствуют о сильной прямой или обратной взаимосвязи.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 |