Имя материала: Исследование систем управления

Автор: А. С. Малин

7.4  метод анализа иерархий

 

¨ сущность и содержание анализа иерархий

¨ пример применения метода анализа иерархий

 

Сущность и содержание анализа иерархий

 

Метод анализа иерархий (МАИ) является системной процедурой для иерархического представления элементов, определяющих суть любой проблемы.

Метод состоит в декомпозиции проблемы на все более простые составляющие части и дальнейшей обработке последовательности суждений лица, принимающего решение (ЛПР), по парным сравнениям.

В результате может быть выражена относительная степень (интенсивность) взаимодействия элементов в иерархии. Эти суждения затем выражаются численно.

Метод анализа иерархии включает процедуры синтеза множественных суждений, получения приоритетности факторов (критериев, характеристик, свойств и др.) и нахождения альтернативных решений. Полученные таким образом значения являются оценками в шкале отношений и соответствуют так называемым жестким оценкам.

Решение проблемы есть процесс поэтапного установления приоритетов и включает:

определение и выделение проблемы (что вы хотите знать?);

декомпозицию проблемы в иерархию;

построение матриц парных сравнений;

вычисление приоритетов, наибольшего собственного значения матриц суждений, индекса согласованности и отношения согласованности;

вычисление глобальных приоритетов.

 

Определение и выделение проблемы

 

Результат оценки альтернативы, а следовательно, принятия решения, сильно зависит от начального этапа определения цели проблемы, выделения ее из среды. При определении и выделении проблемы необходимо руководствоваться следующими принципами:

¨ изучить состояние данной проблемы;

¨ определить общую цель — какую задачу вы стараетесь решить? Цели должны отражать предположения относительно причины возникновения проблемы в системе, а не просто ее проявление (например, низкий уровень морали служащих - причина низкой производительности. Низкая производительность не проблема, а ее проявление);

¨ выделить проблему из среды, установить внутренние и внешние факторы, которые влияют на решение проблемы;

¨ определить альтернативы решения проблемы;

¨ установить, на кого будет влиять ваше определение проблемы;

¨ выяснить, как определяют проблему те, на кого будет влиять определение проблемы, — можете ли вы предоставить им возможность участвовать в построении иерархии?

¨ определите, нет ли других определений проблемы, более жизнеспособных, чем ваше;

¨ рассмотрите выделенную проблему как часть нескольких проблем любой общей цели.

 

Декомпозиция проблемы в иерархию

 

Иерархия возникает, когда системы, которые функционируют как целое на одном уровне, функционируют как части системы более высокого уровня, становясь подсистемами этой системы.

Иерархия считается полной, если каждый элемент заданного уровня функционирует как фактор (критерий) для всех элементов нижестоящего уровня (рис. 7.6).

 

 

После определения (выделения) проблемы ее декомпозируют в иерархию.

Для этого:

¨ разрабатывают структуру проблемы и усовершенствуют ее, чтобы "приспособить" к проблеме;

¨ проводят "мозговой штурм" (экспертную оценку) любого возможного аспекта проблемы. Здесь определяют перечень всех факторов (критериев), располагая их в положительном или отрицательном направлении, в виде иерархии, группируя факторы в сравнимых классах;

¨ обосновывают важность каждого элемента уровня относительно примыкающего сверху уровня;

¨ для каждого уровня формулируют письменные вопросы, на которые надо ответить.

На практике встречаются два общих типа доминантных иерархий проблем [7.10].

Иерархия прямого процесса. Она проецирует существующее состояние проблемы на наиболее вероятное или логическое будущее (или на следствие).

Иерархия обратного процесса. Она определяет средства достижения

цели, чтобы помочь достижению желаемого будущего (или следствия).

 

Построение матриц парных сравнений

 

После иерархического воспроизведения проблемы возникает вопрос: как установить приоритеты факторов (критериев) и оценить каждую из альтернатив по факторам (критериям), выявив самую важную их них.

В МАИ факторы (критерии, элементы) сравниваются попарно по отношению к их воздействию ("весу" или "интенсивности") на общую для них характеристику.

Результаты парных сравнений представляются в виде квадратной матрицы. Квадратная матрица имеет равное число строк и столбцов и представляется в виде

                                              

Очевидно, что эта матрица имеет свойства обратной симметричности, т.е.

                                                    аij =1/aij,

где индексы i и j относятся к строке и столбцу соответственно.

Квадратная матрица имеет также такие характеристики, как собственные векторы и собственные значения.

Раскроем сущность парных сравнений. Пусть А1, А2, А3, ..., Ап — множество из п элементов матрицы и  w1, w2, w3, ..., wп — соответственно их веса, или интенсивности.

С использованием МАИ сравним вес, или интенсивность, каждого элемента с весом, или интенсивностью, любого другого элемента множества по отношению к общему для них свойству или цели. Сравнение весов можно представить следующим образом.

               

Для проведения субъективных парных сравнений разработана шкала, описанная в табл. 7.16.

Таблица 7.16.

Шкала относительной важности

 

Интенсивность относительной важности

Определение

Объяснение

1

Равная важность

Равный вклад двух видов деятельности в цель

3

Умеренное превосходство одного над другим

Опыт и суждения дают легкое превосходство одного вида деятельности над другим

5

Существенное или сильное превосходство

Опыт и суждения дают сильное превосходство одного вида деятелы юсти над другим

7

Значительное превосходство

Очевидное превосходство одного вида деятельности над другим подтверждается наиболее сильно

2, 4, 6, 8

Промежуточное решение между двумя соседними суждениями

Применяются в компромиссном случае

Обратные величины приведенных выше чисел

Если при сравнении одного вида деятельности с другим получено одно из вышеуказанных чисел (например, 3), то при сравнении второго вида деятельности с первым получим обратную величину (т.е. 1/3)

 

 

Относительная важность любого элемента, сравниваемого с самим собой, равна 1; поэтому диагональ матрицы (элементы от левого верхнего угла до нижнего правого) содержит только единицы.

Если w1, w2, w3, ..., wп  неизвестны заранее, то попарные сравнения элементов производятся с использованием субъективных суждений, численно оцениваемых по шкале (табл. 7.16), а затем решается проблема нахождения компонента.

Когда проблемы представлены иерархически, матрица составляется для сравнения относительной важности критериев на втором уровне, по отношению к общей цели на первом уровне. Подобные матрицы должны быть построены для парных сравнений каждой альтернативы на третьем уровне, по отношению к факторам (критериям) второго уровня.

Матрицы попарных сравнений для уровня 2 и 3 показаны в табл. 7.17 и табл. 7.18 (ограничимся четырьмя элементами).

Таблица 7.17.

Матрица попарных сравнений для уровня 2

 

 

A1

A2

A3

A4

A1

 

 

 

 

A2

 

 

 

 

A3

 

 

 

 

A4

 

 

 

 

 

Таблица 7.18.

Матрица попарных сравнений для уровня 3

 

A1

К

L

М

A2

К

L

М

K

 

 

 

К

 

 

 

L

 

 

 

L

 

 

 

М

 

 

 

М

 

 

 

А3

K

L

М

A4

K

L

М

К

 

 

 

K

 

 

 

L

 

 

 

L

 

 

 

М

 

 

 

М

 

 

 

 

При сравнении элементов К и L задают вопросы:

какой из них важнее или имеет большее воздействие?

какой из них более вероятен?

какой из них предпочтительнее?

Отметим, что клетки этих матриц не заполнены, они оставлены для оценок или суждений об относительной важности сравниваемых отдельных предметов, по отношению к цели, или критерию (фактору). Если существует шкала сравнений, т.е. имеется некоторый способ измерения, то данные могут использоваться для проведения сравнений, иначе клетки заполняются оценками, полученными в результате субъективных, но продуманных суждений индивидуума или группы, решающей проблему.

 

Синтез приоритетов

 

Из группы матриц парных сравнений формируется набор локальных приоритетов, которые выражают относительное влияние множества элементов на элемент примыкающего сверху уровня.

Порядок формирования локальных приоритетов следующий.

Вычисляем собственные вектора:

Таким образом, компонента собственно вектора первой строки равна

             

 компонента собственного вектора третьей строки равна

            

После того как компоненты собственного вектора получены для всех п строк, их возможно использовать для дальнейших вычислений:

 

Когда матрица имеет такой вид, получается, что в действительности х1, х2, х3 и x4 есть не что иное, как w1, w2, w3, ..., wп  соответственно. Из отношений wi/wj определим каждую компоненту w. Важно отметить, что в матрице суждений нет отношений в виде wi/wj, а имеются только целые числа или их обратные величины из шкалы.

 

Синтез глобальных приоритетов

 

Приоритеты синтезируются, начиная со второго уровня вниз. Порядок синтеза состоит в следующем. Локальные приоритеты перемножаются на приоритеты соответствующего фактора (критерия) на вышестоящем уровне и суммируются по каждому элементу в соответствии с факторами (критериями), на которые воздействует этот элемент.

Глобальные приоритеты позволяют путем сравнения принять решение.

Для выполнения условий согласованности в матрицах попарных сравнений используются обратные величины aij = 1/аij вместо традиционно используемых при построении интервальных шкал величин aij = - аij.

Индекс согласованности (ИС) может быть получен следующим образом. Сначала суммируется каждый столбец суждений, затем сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты нормализованного вектора приоритетов, сумма второго столбца умножается на величину первой компоненты нормализованного вектора приоритетов, сумма второго столбца — на вторую компоненту и т.д. Затем полученные числа суммируются. Таким образом можно получить величину, обозначаемую lmax. Для индекса согласованности имеем:

ИС = (lmax - n)/(n - 1),

где          п — число сравниваемых элементов.

Для обратносимметричной матрицы всегда lтах ³ п. В табл. 7.19 даны средние согласованности для матриц разного порядка.

Таблица 7.19.

Средние согласованности матриц

 

Размер матриц

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Случайная

согласоанность

0

0

0,58

0,9

1,12

1,24

1,32

1,41

1,45

1,49

 

Если разделить ИС на число, соответствующее случайной согласованности матрицы того же порядка, получим отношение согласованности (ОС). ОС должно быть в пределах 10—20\%.

 

Пример применения метода анализа иерархий

 

Семья среднего достатка решила купить дом. В результате обсуждения удалось определить восемь критериев (показателей, характеристик, факторов), которым должен удовлетворять дом.

У членов семьи были следующие критерии:

размеры дома: размеры комнат; число комнат; общая площадь

дома;

удобное автобусное сообщение: близкая автобусная остановка;

окрестности: интенсивность движения транспорта; безопасность;

хороший вид; ухоженные окрестности;

когда построен дом: не нуждается в объяснении;

двор: включает пространство перед домом, сзади, сбоку, а также

расстояние до соседей;

современное оборудование: посудомоечная машина; мусоропровод;

кондиционирование воздуха; система сигнализации и другие подобные

устройства в доме;

общее состояние: потребность в ремонте; стены; ковер; драпировка,

чистота; электропроводка; крыша; водопроводная система;

финансовые условия: допускается закладная; условия продажи и банковский кредит; низкие налоги.

В семье имеются варианты домов А, Б, В.

Задача заключается в выборе одного из трех домов-кандидатов.

Порядок решения проблемы следующий.

Шаг 1 состоит в декомпозиции и представлении задачи в иерархической форме (рис. 7.7).

 

На первом (высшем) уровне находится общая цель — "Дом". На втором уровне находятся восемь факторов, или критериев, уточняющих цель, и на третьем (нижнем) уровне находятся три дома-кандидата, которые должны быть оценены по отношению к факторам (критериям) второго уровня.

Шаг 2 состоит в заполнении матриц попарных сравнений для уровня 2.

Клетки матрицы заполнены в соответствии с субъективными суждениями членов семьи, на основании их предпочтений, восприятия ограничений, возможностей, с использованием шкалы относительной важности от 1 до 9 (табл. 7.16).

Например, на вопрос: какова важность размеров дома относительно удобного автобусного сообщения по отношению к общей цели "выбрать и купить дом"? Члены семьи пришли к соглашению, что размеры существенно важнее и поэтому они внесли 5 в соответствующую клетку матрицы; 1/ 5 автоматически заносится в симметричную относительно диагонали клетку, что соответствует противоположному сравнению. Для большей ясности эти оценки помечены кружками (см. табл. 7.20).

Шаг 3 состоит в заполнении матриц попарных сравнений для уровня 3.

Сравнимые попарно элементы - это возможные варианты выбора дома. Сравнивается, насколько более желателен или хорош тот или иной дом для удовлетворения каждого критерия второго уровня. Получаем восемь матриц суждений размерностью 3x3, поскольку имеется восемь факторов (критериев) на втором уровне и три дома, которые попарно сравниваются по каждому из факторов (критериев). Матрицы вновь содержат суждения членов семьи. Для того чтобы понять суждения, дадим краткое описание домов.

 Таблица 7.20.

Покупка дома: матрица попарных сравнений для уровня 2

 

Общее удовлетворение домом

Размеры дома

Удобное автобусное сообщение

Окрестности

Когда построен дом

Двор

Современное оборудование

Общее состояние

Финансовое состояние

Размеры дома

1

(5)

3

7

6

6

1/3

1/4

Удобное автобусное сообщение

(1/5)

1

1/3

5

3

3

1/5

1/7

Окрестности

1/3

3

1

6

3

4

6