Имя материала: Бизнес-планирование: Задачи и решения

Автор: Просветов Г. И.

Глава 31 временные ряды

 

В этой главе мы рассмотрим возможность использования данных за прошлые периоды для прогнозирования.

Множество данных, где время является независимой переменной, называется временным рядом. Будут рассмотрены аддитивные и мультипликативные модели.

Общее изменение со временем значений результативного признака называется трендом. Мы рассмотрим модели линейного тренда, то есть параметры тренда можно рассчитать с помощью модели линейной регрессии.

Сезонная вариация — это повторение данных через небольшой промежуток времени. Под «сезоном» можно понимать и день, и неделю, и месяц, и квартал. Если же промежуток времени будет длительным, то это — циклическая вариация. Мы остановимся на изучении данных для небольших интервалов времени, поэтому циклическую вариацию исключим из рассмотрения.

Сначала на основании прошлых данных определяется сезонная вариация. Исключив сезонную вариацию (проведя так называемую десезонализацию данных), с помощью модели линейной регрессии находим уравнение тренда. По уравнению тренда и прошлым данным вычисляем величины ошибок. Это среднее абсолютное отклонение MAD = 2к*1/Л и среднеквадратическая ошибка MSE — ^et2/n, где et — это разность фактического и прогнозного значений в момент времени t, п — число наблюдений.

 

§ 31.1. АНАЛИЗ АДДИТИВНОЙ МОДЕЛИ

Для аддитивной модели фактическое значение А = трендо-вое значение Т + сезонная вариация S + ошибка Е.

Пример 109. В таблице указан объем продаж (тыс. руб.) за последние 11 кварталов. Дадим на основании этих данных прогноз объема продаж на следующие два квартала.

Квартал

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Объем продаж

4

6

4

5

10

8

7

9

12

14

15

На первом шаге нужно исключить влияние сезонной вариации. Воспользуемся методом скользящей средней. Заполним таблицу.

 

Номер квартала

Объем продаж

Скользящая средняя за 4 квартала

Центрированная скользящая средняя

Оценка сезонной вариации

1

4

 

 

 

2

6

 

 

 

3

4

4,75

5.5

-1.5

4

5

6.25

6.5

-1.5

5

10

6.75

7.125

2.875

6

8

7.5

8

0

7

7

8.5

8.75

-1.75

8

9

9

9.75

-0,75

9

12

10.5

11.5

0.5

10

14

12.5

 

 

11

15

 

 

 

1 год = 4 квартала. Поэтому найдем среднее значение объема продаж за 4 последовательных квартала.

Для этого нужно сложить 4 последовательных числа из 2-го столбца, эту сумму разделить на 4 (количество слагаемых) и результат записать в 3-й столбец напротив третьего слагаемого.

(4 + 6 + 4 + 5)/4 = 4,75 (пишем напротив 4).

(6 + 4 + 5 + 10)/4 - 6,25 (пишем напротив 5). И т. д.

Полусумму двух соседних чисел из 3-го столбца запишем в 4-й столбец напротив верхнего из них. Если при заполнении 3-го столбца скользящая средняя вычислялась для нечетного числа сезонов, то результат записывается напротив среднего слагаемого и данные не надо центрировать (то есть не надо заполнять 4-й столбец). 5-й столбец — это разность 2-го и 4-го столбцов (2-го и 3-го столбцов, если скользящая средняя вычислялась для нечетного числа сезонов).

Заполним следующую таблицу. Оценки сезонной вариации запишем под соответствующим номером квартала в году. В каждом столбце вычисляем среднее - (сумма чисел в столбце)/(количество чисел в столбце). Результат пишем в строке «Среднее», (округления до одной цифры после запятой). Сумма чисел в строке «Среднее» равна -1.

Скорректируем значения в строке «Среднее», чтобы общая сумма была равна 0. Это необходимо, чтобы усреднить значения сезонной вариации в целом за год. Корректирующий фактор вычисляется следующим образом: сумма оценок сезонных вариаций (-1) делится на число кварталов в году (4). Поэтому из каждого числа этой строки надо вычесть -1/4 - -0,25. Так как у нас округления до одной цифры после запятой, то из нечетных столбцов вычтем -0,3, а из четных столбцов вычтем -0,2. В последней строке получены значения сезонной вариации для соответствующего квартала года.

 

 

 

 

 

 

 

Номер квартала в году

 

 

1

2

3

4

 

 

 

 

-1.6

-1.5

 

 

2,875

0

-1,75

-0,75

 

 

0.5

 

 

 

Сумма

Среднее

1.7

0.0

-1.6

-1.1

-1

Скорректированная

2,0

0,2

-1,3

-0,9

0,0

сезонная вариация

Исключим сезонную вариацию из фактических данных. Проведем десезонализацию данных.

 

Номер квартала

Объем продаж

А

Сезонная вариация

S

Десезонализированный объем продаж

A-S=T+E

1

4

2

2

2

6

0.2

5,8

3

4

-1.3

5,3

4

5

-0.9

5,9

5

10

2

8

6

8

0,2

7.8

7

7

-1.3

8,3

8

9

-0,9

9.9

9

12

2

10

10

14

0.2

13.8

11

15

-1,3

16,3

Из чисел 2-го столбца вычитаем числа 3-го столбца и результат пишем в 4-м столбце.

Уравнение линии тренда Т — а + Ъх.

Найдем коэффициенты а и Ь по данным первого и последнего столбцов (см. таблицу на следующей странице).

Подпись: 11x684,5-66x93,1
Ь =

і=1      1-1 і=1

 

*«і       ч-і

П П

2»!

1,1.

 

Номер

X

У

X2

ху

1

1

2

1

2

2

2

5,8

4

11,6

3

3

5,3

9

15,9

4

4

5,9

16

23,6

5

5

8

25

40

6

6

7,8

36

46,8

7

7

8,3

49

58,1

8

8

9,9

64

79,2

9

9

10

81

90

10

10

13,8

100

138

11

11

16,3

121

179,3

Сумма

66

93,1

506

684,5

Замечание. Вместо вычисления коэффициентов а и ft по формулам можно воспользоваться статистическими функциями ОТРЕЗОК (изв_знач_і/; изв_знач_лг) и НАКЛОН (изв_знач_і/; изв_знач_лг) мастера функций fx пакета Excel. Здесь изв_знач_і/ и изв_знач_лг — это ссылки на ячейки, содержащие значения переменных у и х соответственно.

Трендовое значение объема продаж = 1,9 + 1,1*(номер квартала).

Теперь займемся расчетом ошибок.

Из чисел 3-го столбца вычитаем числа 4-го столбца и

результат пишем в 5-м столбце. Среднее абсолютное откло-

нение MAD =          = 11 «6/11 s 1,1, среднеквадратичес-

кая ошибка MSE = ^et2/n = 16,58/11 * 1,5. Мы видим,

что ошибки достаточно велики. Это скажется на качестве

прогноза.

 

Номер квартала

Объем продаж

А

Десеэонализированный объем продаж

A-S=T+E

Трендовое значение

Ошибка

*t

М

е

1

4

2

3

-1

1

1

2

6

5,8

4,1

1,7