Имя материала: Бизнес-планирование: Задачи и решения

Автор: Просветов Г. И.

Глава 5 модели финансовых потоков

 

§ 5.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Аннуитет (финансовая рента) — это ряд последовательных платежей через одинаковые промежутки времени.

Пример 21. Регулярные взносы в пенсионный фонд — это пример аннуитета.

Задача 21. Привести пример аннуитета.

Rj — это величина отдельного платежа ренты. Срок ренты t — это время от начала реализации ренты до момента последнего платежа. Интервал ренты — это время между двумя последовательными платежами. Если все платежи равны между собой, то это постоянная рента, иначе — переменная рента.

Существуют ренты постнумерандо (все платежи осуществляются в конце интервалов ренты) и пренумерандо (все платежи осуществляются в начале интервалов ренты). Иногда ренты пренумерандо называют приведенными.

Для расчета наращения или дисконтирования платежей используется сложная процентная ставка і.

Наращенная (будущая) сумма ренты S — это все платежи вместе с процентами на дату последней выплаты.

Современная (приведенная) стоимость ренты А — это все платежи вместе с процентами, пересчитанные на начальный момент времени ренты с помощью операции математического дисконтирования (см. § 3.1).

Существуют ренты верные (выплата не ограничена никакими условиями) и условные (выплата обусловлена наступлением какого-то события). Страховые взносы — это пример условной ренты. Срок реализации отложенных рент откладывается на некоторое время.

Пусть р — число рентных платежей в году, а число т показывает, сколько раз в году начисляются проценты. Ренты, для которых р = т, называются простыми. Ренты, для которых р ф т, называются общими.

§ 5.2. НАХОЖДЕНИЕ НАРАЩЕННОЙ СУММЫ ДЛЯ ПРОСТОЙ РЕНТЫ ПОСТНУМЕРАНДО

Пусть R — ежегодные платежи, на которые начисляются проценты в конце каждого года по сложной процентной ставке і, п — срок ренты.

R     R     R ...  R     R R

ОООО ООО

0          1      2      3 ... п-2 п-1 п

Платеж в конце 1-го года даст наращенную сумму Л(1 + i)n~l. Платеж в конце 2-го года даст наращенную сумму Л(1 + i)n~2. Платеж в конце 3-го года даст наращенную сумму Л(1 + i)n~z. И т. д.

Наращенная (будущая) сумма ренты S = Л(1 + i)n~l + + Л(1 + і)п~2 + Д(1 + 0Л_3 + ... + #(1 + i) + R- Мы получили сумму п первых членов геометрической прогрессии С Ь = R и знаменателем q = 1 + і.

Тогда s - »,C=jL . Д'1/'»--1 . «А*?-'.

q -1     (1 + 0-1 і

Пример 22. Вкладчик в течение п = 5 лет вносит в банк R = 1000 руб. Проценты на вклад начисляются по сложной процентной ставке і = 15\% годовых.

Тогда наращенная (будущая) сумма ренты:

5 = ДС1 + 0"- 1 = 1000 а + °'15>5 - 1 - 6742,38 руб.

1          0,15

Задача 22. Вкладчик в течение п = 3 лет вносит в банк R = 1200 руб. Проценты на вклад начисляются по сложной процентной ставке і = 14\% годовых. Найти наращенную (будущую) сумму ренты.

Замечание. Мастер функций fx пакета Excel содержит финансовую функцию БС, которая возвращает наращенную (будущую) сумму ренты S на основе периодических постоянных (равных по величине) платежей R и постоянной процентной ставки і.

fx -» финансовые -» БС -» ОК. Появляется диалоговое окно, которое нужно заполнить. Ставка — это процентная ставка за период (у нас это і). Кпер — это общее число платежей по аннуитету. Плт — это выплата в каждый период (у нас это Л, берем со знаком «—»). Пс — это приведенная стоимость А ренты (если не указана, то по умолчанию полагается равной нулю). Тип равен 0 (для ренты постнумеран-до) или 1 (для ренты пренумерандо). Если Тип не указан, то по умолчанию полагается равным 0. ОК. В примере 22 3 = БС(0,15; 5; -1000) * 6742,38 руб.

§ 5.3. НАХОЖДЕНИЕ НАРАЩЕННОЙ СУММЫ ДЛЯ ПРОСТОЙ РЕНТЫ ПРЕНУМЕРАНДО

Пусть R — ежегодные платежи, на которые начисляются проценты в начале каждого года по сложной процентной ставке і, п — срок ренты.

R     R     R     R ...   R R

0          0          0          0 ООО

О      1      2      3 ... п-2 п-1 п Платеж в начале 1-го года даст наращенную сумму Л(1 + i)n. Платеж в начале 2-го года даст наращенную сумму Л(1 + ї)п~1. Платеж в начале 3-го года даст наращенную сумму Л(1 + і)п~2. И т. д.

Наращенная (будущая) сумма ренты S = Л(1 + і)п + + Л(1 + 0я"1 + Д(1 + О"-2 + ... + Д(1 + О2 + Д(1 + О- Мы получили сумму п первых членов геометрической прогрессии с Ьі = Л(1 + і) и знаменателем q = 1 + і.

 

q-1      (1 + 0-1 і

Пример 23. Определим наращенную (будущую) сумму в примере 22 для ренты пренумерандо.

S = R(l +       +           = 1000(1 + ОДб/1*0'16»'"1 -

і 0,15

* 7753,74 руб.

Задача 23. Определить наращенную (будущую) сумму в задаче 22 для ренты пренумерандо.

Замечание. При решении примера 23 можно воспользоваться финансовой функцией БС мастера функций fx пакета Excel. S - БС (0,15; 5; -1000; ; 1) - 7753,74 руб.

Из сравнения рент постнумерандо и пренумерандо ясно, что все формулы для ренты пренумерандо получаются из формул для ренты постнумерандо подстановкой вместо R величины Л(1 + і). Поэтому в дальнейшем будем работать в основном с рентой постнумерандо.

 

§ 5.4. НАХОЖДЕНИЕ СОВРЕМЕННОЙ СТОИМОСТИ ДЛЯ ПРОСТОЙ РЕНТЫ

Пусть R — ежегодные платежи, на которые начисляются проценты в конце каждого года по сложной процентной ставке і, п — срок ренты. Определим современную стоимость ренты, то есть используем операцию математического дисконтирования (см. § 3.1).

О         О         О         О ООО

О      1      2      3 ... п-2 п-1 п

Платеж в конце 1-го года даст современную стоимость Л/(1 + і). Платеж в конце 2-го года даст наращенную сумму Л/(1 + і)2. Платеж в конце 3-го года даст наращенную сумму Л/(1 + О3. И т. д.

Современная стоимость ренты А = Л/(1 + і) + Л/(1 + і)2 + Л/(1 + О3 + ... + + О""1 + + 0Л- Мы получили сумму /г первых членов геометрической прогрессии с bi = Л/(1 + 0 и знаменателем g = 1/(1 + і)-

Тп.п» A-h*"-1 -     R      1/(1 + 0"-! - о 1-1/(1 + 0"

Тогда А - bl —г - — ЗТ^ПГТ " Л            Ї          •

Это современная стоимость простой ренты постнумеран-до. Подставив в эту формулу вместо R величину Л(1 + і), мы получим современную стоимость простой ренты пренуме-

рандо: А = Л(1 + 01"1/(1 + 0л<

і

Пример 24. Определим современную стоимость простой ренты из примера 22.

а=ді-і/а+о" - 10о0і-і/(і+од5)5 .3352Д6руб.

і 0,15

Задача 24. Определить современную стоимость простой ренты из задачи 22.

Пример 25. Определим современную стоимость простой ренты из примера 23.

а=д(і+olzlAl±£t - юоо(1+0,15)1       од 5>5

і 0,15 * 3854,98 руб.

Задача 25. Определить современную стоимость простой ренты из задачи 23.

Замечание. Мастер функций fx пакета Excel содержит финансовую функцию ПС, которая возвращает приведенную (к текущему моменту) стоимость инвестиций А.

fx ~~* финансовые -» ПС -» ОК. Появляется диалоговое окно, которое нужно заполнить. В графе Бс (необязательный аргумент) указывается требуемое значение будущей стоимости или остатка средств после последней выплаты (если не указано, то по умолчанию полагается равным нулю). ОК.

В примере 24 ПС(0,15; 5; -1000) * 3352,16 руб. В примере 25 ПС(0,15; 5; -1000; ; 1) * 3854,98 руб.

§ 5.5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ОТДЕЛЬНОГО ПЛАТЕЖА ПРОСТОЙ РЕНТЫ

Зная процентную ставку і, количество выплат п и наращенную сумму S (или современную стоимость А) простой ренты, можно определить величину отдельного платежа R. Для простой ренты постнумерандо наращенная (будущая)

сумма ренты S = R-           . Отсюда R =

(1 + i)n - 1

Пример 26. Определим размер ежегодных платежей в конце года по сложной процентной ставке і = 12\% годовых для накопления через п = 3 года суммы S = 50000 руб.

R =      *          50000X0,12 я 1481745 руб

(1 + *)п-1 (1+0,12)3-1

Задача 26. Определить размер ежегодных платежей в конце года по сложной процентной ставке і = 14\% годовых для накопления через п = 4 года суммы S = 70000 руб.

Для простой ренты пренумерандо наращенная (будущая)

сумма ренты S = Л(1 + г) .

і

Отсюда R = ^

(1 + 0((1 + 0»-1)

Пример 27. Пусть в примере 26 платежи осуществляются в начале года.

Si        _ 50000X0,12

Тогда R =

(1 + #К(1 + 0я " 1)    (1 + 0,12)((1 + 0,12)3 -1)

* 13229,87 руб.

Задача 27. Решить задачу 26 при условии, что платежи осуществляются в начале года.

Для простой ренты постнумерандо современная стоимость

А       ту 1 ~ 1/(1 + 0"     П   U АІ

А = R  —. Отсюда R =        .

і           1-1/(1 + 0"

Пример 28. Взят кредит на сумму А = 50000 руб. сроком на л — З года под 14\% годовых.

Тогда размер ежегодных погасительных платежей в кон-

„          Ai             50000X0,14      оіколкіу *

це года R =   =                      * 21536,57 руб.

1-1/(1 +0я     1-1/(1 + 0,14)3

Задача 28. Взят кредит на сумму А = 60000 руб. сроком на п = 4 года под 15\% годовых. Найти размер ежегодных погасительных платежей в конце года.

Для простой ренты пренумерандо современная стоимость

А = д(1 + і) 1-1/(1 + 0" 0тсю   д _  Ai_     

і           (1 + 0(1-1/(1 + 0")

Пример 29. Пусть в примере 28 платежи осуществляются в начале каждого года. Тогда

R =      М                    =          50000 X 0,14 s

(1 + 0(1-1/(1+0я)     (1 + 0,14X1-1/(1+ 0Д4)3) ~

* 18891,73 руб.

Задача 29. Решить задачу 28 при условии, что платежи осуществляются в начале каждого года.

Замечание. Мастер функций fx пакета Excel содержит финансовую функцию ПЛТ, которая возвращает сумму периодического платежа для аннуитета на основе постоянства сумм платежей и постоянства процентной ставки.

fx ~* финансовые -» ПЛТ -* ОК. Появляется диалоговое окно, которое нужно заполнить. ОК.

В примере 26 ПЛТ(0,12; 3; ; 50000) * -14817,45 руб. В примере 27 ПЛТ(0,12; 3; ; 50000; 1) * -13229,87 руб. В примере 28 ПЛТ(0,14; 3; 50000) * -21536,57 руб. В примере 29 ПЛТ(0,14; 3; 50000; ; 1) * -18891,73 руб.

 

§ 5.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРОКА ПРОСТОЙ РЕНТЫ

Зная величину отдельного платежа R, процентную ставку і и наращенную сумму S (или современную стоимость А) простой ренты, можно определить количество выплат п.

Для простой ренты постнумерандо наращенная (будущая) (1 + І)п + 1

сумма ренты S = R-           . Отсюда (1 + і)п - 1 = Si/R =>

і

(1 + 0й - 1 + Si/R => ftln(l + 0 = ln(l + Si/R) =>n= ln(1 + Sl^R).

ln(l + 0

Подставив в последнюю формулу вместо R выражение Л(1 + і), мы получим срок ренты пренумерандо:

п = lnfl +       —        Vln(l + О-

І    л(і + о'

Пример 30. Размер ежегодных платежей R = 5000 руб., процентная ставка і = 12\% годовых, наращенная сумма S = 30000 руб. Определим сроки простых рент постнумерандо и пренумерандо.

Для ренты постнумерандо п = ln(l + Si/R)/ (l + 0 = = 1п(1 + 30000 Х0,12/5000)/1п(1 + 0,12) * 4,8 лет.

Si

Для ренты пренумерандо п = 1п(1 +    ^ ^ .^)ЛП(1 + 0 =

, м ,   30000X0,12 wwi , п 10ч    . л

= 1п(1 +         )/1п(1 + 0,12) * 4,4 лет.

5000(1 + 0,12)

Задача 30- Размер ежегодных платежей R = 8000 руб., процентная ставка і = 14\% годовых, наращенная сумма S = 40000 руб. Определить сроки простых рент постнуме-рандо и пренумерандо.

Для простой ренты постнумерандо современная стоимость

А = дІ-1/g + O". Отсюда п = - ^ " M/R).

і           ln(l + 0

Подставив в последнюю формулу вместо R выражение Л(1 + і), мы получим срок ренты пренумерандо:

п = -lnfl          —        )/1п(1 + і).

Пример 31. Определим сроки погашения кредита А = 30000 руб. при ежегодных платежах R = 9000 руб. и процентной ставке і = 15\% годовых для рент постнумерандо и пренумерандо.

Для ренты постнумерандо п = -ln(l - Ai/R)/1п(1 + і) = = -1п(1 - 30000 Х0,15/9000)/1п(1 + 0,15) * 5 лет.

Для ренты пренумерандо п = -1п(1 - ———)/ln(l + i) =

i?(l + i)

, ,л      30000X0,15 v/i /і j_ п ік лл

= -1п(1           )/1п(1 + 0,15) * 4,1 лет.

9000(1 + 0,15)

Задача 31. Определить сроки погашения кредита А = 45000 руб. при ежегодных платежах R = 12000 руб. и процентной ставке і = 11\% годовых для рент постнумерандо и пренумерандо.

Замечание. Мастер функций fx пакета Excel содержит финансовую функцию КПЕР, которая возвращает общее количество периодов выплаты п для аннуитета на основе периодических постоянных выплат и постоянной процентной ставки.

fx ~* финансовые -» КПЕР -* ОК. Появляется диалоговое окно, которое нужно заполнить. ОК.

В примере 30 КПЕР(0,12; -5000; ;30000) * 4,8 и КПЕР(0,12; -5000; ; 30000; 1) * 4,4. В примере 31 КПЕР(0,15; -9000; 30000) * 5 и КПЕР(0,15; -9000; 30000; ; 1) • 4,1.

§ 5.7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ПРОСТОЙ РЕНТЫ

Зная величину отдельного платежа R, количество выплат п и наращенную сумму S (или современную стоимость А) простой ренты, можно попытаться найти процентную ставку. Но получается нелинейное уравнение.

Мастер функций fx пакета Excel содержит финансовую функцию СТАВКА, которая возвращает процентную ставку по аннуитету за один период. Значение функции вычисляется путем итерации и может давать нулевое значение или несколько значений. Если последовательные результаты функции СТАВКА не сходятся с точностью 0,0000001 после 20 итераций, то СТАВКА возвращает сообщение об ошибке #число!.

fx ~* финансовые -» СТАВКА -» ОК. Появляется диалоговое окно, которое нужно заполнить. В графе Предположение указывается предполагаемая величина процентной ставки (если значение не указано, то по умолчанию оно равно 10\%). ОК.

Пример 32. Определим, под какую процентную ставку нужно вносить каждый год R = 5000 руб., чтобы через п = 5 лет накопить сумму S = 40000 руб.

Для ренты постнумерандо СТАВКА(5; -5000; ; 40000) = = 24\%.

Для ренты пренумерандо СТАВКА(5; -5000; ; 40000; 1) = = 16\%.

Задача 32. Определить, под какую процентную ставку нужно вносить каждый год R = 6000 руб., чтобы через п = 4 года накопить сумму S = 35000 руб.

 

§ 5.8. ОТЛОЖЕННАЯ РЕНТА

Срок реализации отложенных рент откладывается на некоторое время — период отсрочки.

Пример 33. Простая рента с ежегодными платежами R = 1000 руб., процентной ставкой і = 12\% годовых и сроком п = 4 года отложена на 2 года. Найдем наращенную сумму S и современную стоимость А ренты.

Добавим к нашей ренте на бумаге платежи R = 1000 руб. в конце 1-го и 2-го годов.

®   ®    R     R     R R

о        о        о        о        о        о о

0      1      2      3     4      5 6

Получили простую ренту сроком п = 6 лет. Ее нара-

с                           mnn (1 + 0Д2)6 - 1

щенная сумма Si = r-                    = 1000            q~2   *

8115,19 руб.

Но эта простая рента состоит из простой ренты сроком л2 = 2 года (добавленные на бумаге платежи) и нашей отложенной ренты.

Для добавленной ренты наращенная сумма в конце 2-го

о      т> (1 + О"2 ~ 1    л nnn (1 + 0,12)2 - 1    01ОЛ *

года So = r-               = 1000 і         —                * 2120 руб.,

г          і 0,12

а в конце 6-го года — S3 = S2(l + i)6~2 = 2120(1 + 0,12)4 «

3335,86 руб.

Отсюда S = S1- Ss = 8115,19 - 3335,86 = 4779,33 руб.

Для нахождения современной стоимости А отложенной ренты можно применить аналогичный прием. Но мы поступим иначе.

А         Ал    r     r     r r

0      1      2      3      4      5 6

Найдем приведенную стоимость нашей ренты через 2 го-

да: АХ - д^/Ц + У = 1000 1 ~ ^ + °>12>4 . 3037,35

1          і 0,12

руб.

А теперь применим к сумме А операцию математического дисконтирования со сложной процентной ставкой і = 12\% годовых (см. § 3.1): А = Аг/{1 + і)2 = 3037,35/(1 + 0,12)2 -* 2421,36 руб.

Задача 33. Простая рента с ежегодными платежами r = 1200 руб., процентной ставкой і = 14\% годовых и сроком п = 5 лет отложена на 3 года. Найти наращенную сумму S и современную стоимость А ренты.

 

§ 5.9. СВЕДЕНИЕ ОБЩЕЙ РЕНТЫ К ПРОСТОЙ РЕНТЕ

Пусть р — число рентных платежей в году, а число m показывает, сколько раз в году начисляются проценты. Для общей ренты р + пг, а для простой ренты р = т.

Для простой ренты довольно несложно определяются все ее параметры. Поэтому для вычисления параметров общей ренты очень важно уметь преобразовывать общую ренту в простую ренту.

Пусть W и R — величины выплат общей и простой рент соответственно, р — число рентных платежей в году для общей ренты, т — число интервалов начисления процентов в году, j и і — процентные ставки за интервал начисления процентов общей и простой рент соответственно, п — общее число интервалов начисления процентов.

Данные ренты эквивалентны, то есть процентные ставки за периоды рент совпадают и эквивалентные этим рентам значения, соответствующие одному и тому же моменту времени, совпадают. Тогда (1 + jjP = (1 + і)т => у = (1 + і)т'Р - 1.

Наращенные суммы для обеих рент одинаковы:

д(1 + <у"-1 = wV+P-1 - * = ? => R = ти =

= Wi/((1 + 0m/p - 1).

Пример 34. Заменим общую ренту сроком 3 года с выплатами по W = 15000 руб. в конце каждого полугодия и начислением процентов по ставке 12\% годовых ежеквартально простой рентой с поквартальными выплатами.

Здесь р = 2, т = 4, і = 0,12/m = 0,12/4 = 0,03.

Поквартальные выплаты R = Wi/((1 + i)m/P - 1) = = 15000 X0,03/((l + 0,03)4/2 - 1) - 7389,16 руб.

Задача 34. Заменить общую ренту сроком 3 года с выплатами по W = 20000 руб. в конце каждого квартала и начислением процентов по ставке 15\% годовых ежемесячно простой рентой с ежемесячными выплатами.

 

§ 5.10. НАРАЩЕННАЯ СУММА ОБЩЕЙ РЕНТЫ

 

Подставив в формулу для наращенной суммы простой ренты

S = R (1 + 1)П ~ 1 выражение R = Wi/((1 + 0m/p ~ 1), мы най-i

дем наращенную сумму общей ренты:

S          ™        ц + у-1 _у    + ,

(1 + 0ш/р-1    і           (l + 0m/p-l

Здесь п — это общее количество интервалов начисления процентов за весь срок ренты.

Пример 35. Найдем наращенную сумму общей ренты сроком 3 года с выплатами по W = 5000 руб. в конце каждого квартала и начислением процентов по ставке 14\% годовых по полугодиям.

Здесь р = 4, т = 2, і = 0,14/m = 0,14/2 = 0,07, п = Зт =

= 3тогд1 а - w ^"г1 =50оо (1+0'07>1-1 -

(l+j)m/P-l (1+0,07)2/4-1

* 72763,56 руб.

Задача 35. Найти наращенную сумму общей ренты сроком 2 года с выплатами по W = 7000 руб. в конце каждого квартала и начислением процентов по ставке 11\% годовых ежемесячно.

 

§ 5.11. СОВРЕМЕННАЯ СТОИМОСТЬ ОБЩЕЙ РЕНТЫ

 

Подставив в формулу для современной стоимости простой

ренты А = R 1 ~      + 1)П выражение R = Wi/ЦІ + i)m/P - 1), і

мы найдем современную стоимость общей ренты:

А =        Ш        X ^ 1/(1 ^ = W       + 1)П

(l + i)m/p-l     і           (l + 0m/p-l'

Пример 36. Найдем современную стоимость общей ренты из примера 35.

А-ИГ^^У-бООО1-1^1^6- 48485,43 руб.

(1 + 0,07)2/4-1

Задача 36. Найти современную стоимость общей ренты из задачи 35.

 

§ 5.12. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОСТОЙ РЕНТЫ В ОБЩУЮ РЕНТУ

Необходимость в таком преобразовании возникает, когда нужно найти величину выплат общей ренты по заданному значению наращенной суммы или современной стоимости. R = Wi/((1 + 0m/p - 1). Отсюда W = Л((1 + i)m'P -

Пример 37. Выдан кредит А = 40000 руб. на 2 года по ставке 12\% годовых ежемесячно. Определим размер поквартальных платежей W.

Здесь р = 4, т = 12, і = 0,12/m = 0,12/12 = 0,01, п — 2ш — 2X12 = 24.

R =      *          40000Х0'0124 - 1882,94 руб.

1-1/(1+ 9"     1-1/(1 + 0,01)24

W =       +       = 1882,94((1 + 0,01)12/4 - 1)/0,01

* 5705,5 руб.

Задача 37. Выдан кредит А = 50000 руб. на 3 года по ставке 16\% годовых ежеквартально. Определить размер полугодовых платежей W.

§ 5.13. ПРОСТАЯ БЕССРОЧНАЯ РЕНТА

Бессрочная рента не ограничена никаким сроком, то есть срок ренты п -» оо.

R     R     R     R ...

о          о          о          о о

О      1      2      3      4 ...

Современная   стоимость   простой   бессрочной ренты

А = lim /д      +      = R/u 0тсюда R = Аи

п-*«Л і і

Пример 38. Инвестирование суммы А = 40000 руб. под і — 5\% годовых обеспечивает выплаты R = Ai = 40000 X 0,05 = — 2000 руб. в конце каждого года.

Задача 38. Сумму А = 50000 руб. инвестировали под i = 4\% годовых. Найти размер ежегодных выплат в конце каждого года.

 

§ 5.14. ОБЩАЯ БЕССРОЧНАЯ РЕНТА

Общая бессрочная рента — это бессрочная рента, для которой период выплат отличается от периода начисления процентов.

Пример 39. Найдем современную стоимость общей бессрочной ренты с выплатами по W — 5000 руб. в конце каждого квартала и начислением процентов по ставке 12\% годовых ежемесячно.

Здесь р = 4, т - 12, і = 0,12/m = 0,12/12 = 0,01.

R = W((l + 0m/p-l) - 5000X0,01/((1 + 0,01)12/4 - 1) * * 1650,11 руб.

Тогда современная стоимость А — R/i = 1650,11/0,01 = = 165011 руб.

Задача 39. Найти современную стоимость общей бессрочной ренты с выплатами по W — 8000 руб. в конце каждого полугодия и начислением процентов по ставке 16\% годовых ежеквартально.

 

§ 5.15. БЕССРОЧНАЯ РЕНТА ПРЕНУМЕРАНДО

Бессрочная рента пренумерандо отличается от бессрочной ренты постнумерандо только платежом в момент времени t = 0. Поэтому для простой бессрочной ренты пренумерандо современная стоимость А = R + R/i, а для общей бессрочной ренты пренумерандо современная стоимость А = W + R/i =

Wi WW

= w+               = W+ ————— =  -          

i((l + i)m'P - 1)          (1 + i)m'P - 1    1 - 1/(1 + i)m/P '

Пример 40. Найдем современную стоимость общей бессрочной ренты с выплатами по W = 10000 руб. в начале каждого квартала и начислением процентов по ставке 18\% годовых по полугодиям.

Здесь р - 4, т = 2, і = 0,18/m = 0,18/2 = 0,09.

Современная стоимость А = W/(l - 1/(1 + i)m^p) = = 10000/(1 - 1/(1 +. 0,09)2/4) * 237114,52 руб.

Задача 40. Найти современную стоимость общей бессрочной ренты с выплатами по W — 9000 руб. в начале каждого полугодия и процентной ставкой 12\% годовых ежеквартально.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 |