Имя материала: Инвестиции

Автор: Зимин Алексей Иванович

Эффект диверсификации инвестиций

 

Для описания эффекта диверсификации сравним стандартное отклонение портфеля со средневзвешенным стандартным отклонением составляющих его ценных бумаг. Средневзвешенная величина стандартных отклонений ценных бумаг А и В составляет величину:

ga+b=wa-cta+wb-cb. (4.14)

В нашем примере (wA= 0,7;сг, = 0,26; wg = 0,3; ов = 0,10) средневзвешенная величина стандартных отклонений ценных бумаг А и В равна: °а+в = °.7 ' °.26 + 0,3 ■ 0,10 = 0,182 + 0,03 = 0,212 = 21,2\% > 18,33\%.

Т.е. справедливо неравенство, выражающее то, что средневзвешенная величина стандартных отклонений ценных бумаг больше величины стандартного отклонения портфеля:

Подпись: з Волатильность - 1) показатель риска, основанный на стандартном отклонении эффек¬тивности инвестиционного фонда в течение трех лет. Для отражения волатильности используется рейтинговая шкала от 1 до 9. Более высокий рейтинг указывает на боль¬ший риск; 2) переменная в формулах опционного ценообразования, обозначающая ко¬лебание доходности базисного актива с настоящего момента до даты истечения срока опциона; 3) статистический показатель, характеризующий тенденцию рыночной цены или дохода изменяться во времени.

°а+в > °р(а,ву

Разница между результатами, полученными из выражений (4.13) и (4.14), и есть одно из основных положений теории инвестиционного портфеля - проявление эффекта диверсификации, который заключается в

том, что стандартное отклонение портфеля (и, соответственно, риск) ниже, чем средневзвешенная величина стандартных отклонений доходное-тей его компонентов - отдельных ценных бумаг.

Итак, инвесторы минимизируют стандартное отклонение доходности портфеля путем диверсификации ценных бумаг в портфеле, причем, сочетание различных ценных бумаг в портфеле может лишь незначительно снизить стандартное отклонение ожидаемой доходности, особенно, если эти ценные бумаги имеют высокую степень положительной ковариации. Эффект от диверсификации достигается только в том случае, если портфель составлен из ценных бумаг, ведущих себя на рынке несхожим образом. В этом случае стандартное отклонение доходности портфеля может быть значительно меньше, чем отклонения для индивидуальных ценных бумаг в портфеле. Действительно, если акции в портфеле ведут себя одинаково, риск портфеля не снижается, а если две ценные бумаги портфеля имеют абсолютную отрицательную корреляция (= - 1), то риск портфеля может быть полностью исключен.

 

Ожидаемая доходность и стандартное отклонение доходности для инвестиционного портфеля, сформированного из более чем двух ценных бумаг

Для портфеля, состоящего из ценных бумаг, используются обобщенные формулы для расчета ожидаемой доходности и стандартного отклонения доходности портфеля.

(4.15)

Для ожидаемой доходности применяется соотношение:

rp = w,r, + w2r2 +... + w„r„ = ^wtrr

1=1

Стандартное отклонение доходности портфеля является квадратным^ корнем из его дисперсии

It     п   п п

 

i=l 7=1            i=l 7-1

и рассчитывается по формуле:

0р = .

я я

(4.16*

У /=1 y=l         V i=i 7=1

Когда индексы і и j относятся к одной ценной бумаге, т.е. подразумева ется ковариация ценной бумаги с самой собой, соответствующее слагав,, мое в сумме есть ст,., (і = у). Если записать ковариацию через корреляцию^ то получим <т и = ри ■ о", • сг,. = 1 ■ а] = а]. Так как корреляция характеризує связь показателей между собой, то для одной и той же бумаги она равн.' единице (корреляция ценной бумаги с самой собой абсолютно полная, к

эффициент корреляции тождественно равен единице: рп =. 1 ). Таким образом, стандартное отклонение (и дисперсия) портфеля зависит и от величин стандартных отклонений его компонентов (и дисперсии компонентов), и от ковариации (корреляции) компонентов портфеля.

 

Основные свойства портфеля ценных бумаг

Доходность портфеля ценных бумаг есть средневзвешенная величина значений доходности входящих в портфель индивидуальных ценных бумаг (весами служат доли инвестиций в каждую акцию).

Если поведение ценных бумаг совершенно одинаково (коэффициент корреляции принимает максимальное значение р = +1), то риск (стандартное отклонение о ) портфеля остается таким же, как и у входящих в портфель ценных бумаг.

Риск портфеля (стандартное отклонение портфеля о> ) не является средневзвешенной стандартных отклонений входящих в портфель ценных бумаг; а именно, портфельный риск будет меньше, чем средневзвешенная величина стандартных отклонений входящих в портфель ценных бумаг (за исключением случая, когда коэффициент корреляции р = +1, в этом случае стандартное отклонение портфеля (и, соответственно, риск) равно средневзвешенной величине стандартных отклонений доходностей отдельных бумаг в портфеле.

Существуют определенные значения коэффициента корреляции, при которых можно достичь такого сочетания ценных бумаг в портфеле (варьируя долями - весами - ценных бумаг в портфеле), что степень риска портфеля может быть ниже степени риска любой из ценных бумаг в портфеле.

Наибольший результат от диверсификации ценных бумаг достигается путем комбинации ценных бумаг, которые находятся в негативной корреляции; если коэффициент корреляции двух бумаг равен - 1, то теоретически портфель, составленный из пар таких бумаг, будет безрисковым, т.е. со стандартным отклонением, равным нулю.

В действительности отрицательная корреляция ценных бумаг практически никогда не встречается, и абсолютно безрисковый портфель сформировать практически невозможно.

Риск портфеля уменьшен путем увеличения числа акций в портфеле, при этом степень снижения риска зависит от корреляции вносимых в портфель ценных бумаг; чем меньше коэффициент корреляции вносимых в портфель ценных бумаг с остальными ценными бумагами портфеля, тем значительнее снижение общего риска инвестиционного портфеля.

 

Оч

со

Диверсификация инвестиций по модели Марковица

Любой инвестиционный портфель следует оценивать как по параметру «уровень доходности», который инвестору следует увеличивать, так и по параметру «степень риска», которую необходимо минимизировать. Таким образом, перед инвесторами стоит проблема выбора структуры портфеля. Традиционный подход инвестора состоит в том, чтобы диверсифицировать (структурировать) свои вложения. Если инвестор распределит свои вложения, например, на N равных (или неравных) частей для вложения в JV различных акций, то такая процедура сама по себе уже приведет к уменьшению риска инвестиций. Однако такой подход является интуитивным, качественным, поскольку количественная (стоимостная) оценка ценных бумаг в формируемом портфеле не производится, невозможно достичь предопределенной, наперед заданной величины ожидаемой нормы доходности, как невозможно снижения риска портфеля до желаемого инвестором уровня. Проблема выбора направлений для инвестиций усугубляется тем, что на фондовом рынке обращаются тысячи ценных бумаг, и субъективного подхода к выбору ценных бумаг, к формированию инвестиционного портфеля совершенно недостаточно.

До начала 1950-х гг. риск и доходность ценных бумаг определялись участниками фондового рынка только субъективно, качественно, на основе использования нестрогой упрощенной классификации ценных бумаг с условным разделением их на доходные, дешевые, консервативные, растущие и спекулятивные. В 1952 году профессор Чикагского университета Гарри Марковиц предложил свою портфельную теорию4, в которой впервые были изложены принципы формирования инвестиционного портфеля в зависимости от ожидаемой нормы прибыли и риска. Его высказывание «не кладите все яйца в одну корзину» фактически стало основным лозунгом при осуществлении портфельных инвестиций. Маркович отверг господствовавшую в середине XX века рекомендацию, согласно которой следует максимизировать совокупную доходность инвестиционного портфеля и предложил диверсифицировать его, чтобы снизить риск до минимума. Было предложено вычислять ожидаемый от портфеля доход как средневзвешенную сумму доходов активов, входящих в состав портфеля, с использованием математических методов оптимального программирования для решения проблемы снижения риска портфеля. Появилось понятие «эффективного портфеля», предполагающее минимизацию риска при данном уровне ожидаемого дохода или максимизацию дохода при заданном уровне риска. Таким образом, можно вести речь об оптимизации портфеля.

Задача оптимизации портфеля может быть сформулирована следующим образом: необходимо определить доли ценных бумаг различных типов, включаемых в инвестиционный портфель, обеспечивающие миними-

< Markowitz Н. Portfolio Selection // The Journal of Finance. - Vol. 7. - № 1 (Mar., 1952). -P. 77-91.

зацию риска при заданном (желаемом инвестором) уровне доходности. Одним из методов оптимизации и является диверсификация Марковица.

При разработке основ теории инвестиционного портфеля Маркович исходил из следующих предположений:

рынку ценных бумаг присуща высокая чувствительность и эффективность, что означает практически мгновенное изменение котировок ценных бумаг - мгновенная реакция на появление новой информации;

значения доходности ценных бумаг являются случайными величинами, распределенными по нормальному (гауссову) закону;

инвестор при окончательном формировании инвестиционного портфеля оперирует только двумя показателями - ожидаемая доходность и риск портфеля, в качестве которого принимается стандартное (среднеквадратичное) отклонение ожидаемой доходности портфеля;

инвестор совершает индивидуальный выбор наилучшего инвестиционного портфеля, не только оценив доходность и риск каждого портфеля, но и исходя из своих предпочтений по оценке соотношения «доходность - риск».

Для практического использования модели Марковица необходимо определить для каждой ценной бумаги ожидаемую доходность, стандартное отклонение ожидаемой доходности, величины ковариации всех ценных бумаг портфеля и с помощью методов оптимального программирования составить набор «эффективных портфелей». При этом формируются целевая функция и ограничения, а на их основе - функция Лагранжа.

Целевой функцией этой задачи является дисперсия портфеля

п п

°2р = lLlLwiwj0ij ~*min' (417) 1=1 ]=

где Wj - доля г'-ой ценной бумаги в портфеле, Wj - доляу'-ой ченной бумаги в портфеле, Ctj- - ковариачия ценных бумаг, входящих в состав портфеля, состоящего из ценных бумаг.

Для решения задачи формируется функция Лагранжа:

і = £2>,w/x,    - *)+я*(2>, - і). (418)

1=1 j=            1=1 1=1

Здесь А;, А2 - множители Лагранжа.

Структура портфеля, позволяющая минимизировать риск, т.е. необходимые значения долей каждой из ценных бумаг в портфеле при заданных величинах ковариации ценных бумаг и желаемом уровне доходности портфеля гр, определяются решением системы уравнений

f-=o

3L   0 (4-І»)

ах,

dL

при соблюдении очевидных ограничений задачи, которые сводятся к следующему:

доходность портфеля, которую хочет достичь инвестор, есть по определению и

1=1

где wt - доля /-ой ценной бумаги в портфеле, г,- - ожидаемая доходность г'-ой ценной бумаги в портфеле;

сумма долей акций в портфеле должна быть равна единице:

 

;=i

В результате решения системы уравнений (4.19) определяются искомые значения долей каждой из ценных бумаг в портфеле щ обеспечива-Гщих наименьший риск портфеля при заданных «™и«"2ї£ ценных бумаг, выбранных для формирования портфеля, и желаемом уровне доходности портфеля гр.

 

Пример определения структуры инвестиционного портфеля с минимальным риском и заданной доходностью по модели Марковица

Рассмотрим процедуру формирования инвестиционного портфеля < минимальным риском заданной доходностью из акций трех компаний -А, В и С со следующими характеристиками, представленными в табл. 4.с

Таблица 4.

ЪАиьшш В.М. Инвестиционный анализ: Учебно-практическое пособие. - М, Дело, Я

Характеристики акций компаний А, В, и С    

wA =-3,48-^+0,72 - wB =-6,47 •/>+1,04 wA =9,95 -rp -0,76.

Таким образом, в результате решения получено бесконечное число портфелей с минимальным риском для данного набора ценных бумаг. Выбор единственного решения из бесчисленного множества имеющихся связано с заданием величины доходности портфеля . Так, если инвестор хочет получить доходность портфеля = 14\%, то из имеющихся для выбора ценных бумаг он должен сформировать портфель следующего состава: доля ценных бумаг компании А равна wA = -3,48 ■ 0,14 + 0,72 = 0,233 = 23,3\%; доля ценных бумаг компании В равна wg = -6,47 • 0,14 +1,04 = 0,134 = 13,4\%; доля ценных бумаг компании С равна wc = 9,95 ■ 0,14- 0,76 = 0,633 = 63,3\% . В качестве проверки можно убедиться, что сумма долей ценных бумаг равна единице.

 

Допустимый, эффективный и оптимальный инвестиционные портфели

Из конечного набора ценных бумаг с определенными известными индивидуальными характеристиками (дисперсия (или стандартное отклонение), ожидаемая доходность) и коллективными (корреляционными) характеристиками (корреляция (или ковариация) ценных бумаг друг с другом) можно сформировать бесконечное число инвестиционных портфелей, которое называется допустимым (достижимым) множеством портфелей. Необходимо отметить, что это бесконечное число портфелей занимают конечную часть двумерного пространства с измерениями «доходность портфеля» _ «риск портфеля (стандартное отклонение)».

Графическая иллюстрация достижимого множества портфелей представлена на рис. 4.3 в декартовой системе координат (риск-доходность). В общем случае, данное множество в графическом представлении имеет форму плоского зонта, подобно тому, как показано на рис. 4.3. При изменении характеристик входящих в портфель ценных бумаг положение, размер и пропорции этого «зонта» также меняется, но зонтичная форма в любом случае сохраняется неизменной. Простейший зонт показан на рис. 4.2, иллюстрирующем свойства двухкомпонентного портфеля. Итак, допустимое множество представляет собой совокупность всех портфелей, которые лежат либо на границе зонтичной фигуры, либо внутри нее. В частности, точки А,В,С nD соответствуют таким портфелям, каждый из них является допустимым (достижимым) портфелем.

 

Оч

 

Рис. 4.3. Допустимое (достижимое) множество портфелей и эффективный портфель, кривые безразличия инвестора

Очевидно, что портфели допустимого множества неодинаковы по степени их привлекательности для инвестора. Наиболее привлекательными являются те из них, которые расположены, в основном, на левой верхней границе допустимого множества и составляют эффективное множество.

К эффективным портфелям относятся такие портфели, каждый из! которых обладает следующими двумя свойствами одновременно: І

ценные бумаги, входящие в состав портфеля, обеспечивают мини мальный риск портфеля для некоторого заданного значения ожидаемо

доходности портфеля;

ценные бумаги, входящие в состав портфеля, обеспечивают макси мальную ожидаемую доходность портфеля для некоторого заданног

уровня риска портфеля.

Портфели, удовлетворяющие первому условию, расположены н верхней левой части границы достижимого множества между точками D А. Портфели, удовлетворяющие второму условию, расположены на верх ней части границы достижимого множества между точками С и В. Обо* условиям удовлетворяют портфели, лежащие на границе достижимо множества между точками С и D, т.е. на кривой CD. Именно эти инвест ционные портфели из достижимого множества портфелей составляют з фективное множество, т.е. множество эффективных портфелей, из кот рых инвестор выбирает оптимальный для себя портфель.

Оптимальный портфель - портфель из эффективного множества, торый в максимальной мере соответствует индивидуальным предпоч ниям инвестора по соотношению доходности и риска портфеля. Субъективные предпочтения инвестора по оценке соотношения доходности и риска портфеля характеризуется так называемой кривой безразличия. Точка касания кривой безразличия и кривой эффективного множества (точка О на рис. 4.3 в нашем случае) и определяет оптимальный портфель.

Итак, выбор инвестором оптимального портфеля осуществляется с использованием кривых безразличия (линии щ, ц2, Цз на Рис- 4.3). Каждая кривая безразличия соответствует всем комбинациям портфелей, которые обеспечивают заданный уровень предпочтений данного инвестора. Портфели, лежащие на одной кривой безразличия, являются равноценными для инвестора. Например, портфель G характеризуются большим риском, чем портфель Я, но зато он обеспечивает большую ожидаемую доходность. С другой стороны, инвестор будет считать любой портфель, лежащий на другой кривой безразличия, расположенной выше и левее (например, портфель Е), более привлекательным, чем любой портфель на кривой безразличия, расположенной ниже и правее (например, портфели Я и G). Действительно, портфель Я имеет меньшую ожидаемую доходность, чем портфель Е. А портфель G имеет больший риск, чем портфель Е, таким образом, портфель Е компенсирует свою меньшую ожидаемую доходность по сравнению с портфелем G, меньшим риском, что в результате делает его более привлекательным.

Для инвестора, избегающего риска, кривые безразличия выпуклы и имеют положительный наклон. Кривые безразличия, что совершенно очевидно, не пересекаются. Каждый инвестор имеет бесконечное число кривых безразличия. Кроме того, для разных инвесторов наклон их кривых безразличия неодинаков - на рис. 4.3 кроме кривых безразличия инвестора показаны кривые безразличия другого инвестора (кривые ), который явно более склонен к риску, чем инвестор, кривые безразличия которого -линии Ц|, ц2 Цз на Рис- 4-3. И, наконец, существует только одна точка касания кривой эффективного множества портфелей и кривых безразличия -это точка О на рис. рис. 4.3, которая характеризует оптимальный портфель инвестора ц, и точка Q, соответствующая оптимальному портфелю для инвестора т|.

Необходимо отметить, что однажды сформированный эффективный портфель не может в течение длительного времени оставаться таковым (это же, причем в большей мере, относится и к оптимальному портфелю), поскольку курсы ценных бумаг изменяются. Таким образом, периодический пересмотр и формирование заново эффективных портфелей и оптимального портфеля являются для инвестора важными задачами.

Итак, модель Марковица определяет набор эффективных портфелей. Каждый из этих портфелей обеспечивает наибольшую ожидаемую доходность для определенного уровня риска. Однако данная модель не дает возможности определить оптимальный портфель (для этого нужно знать

Подпись: 6 Sharpe W. Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk // The Journal of Finance. - Vol. 19. - № 3, (Sept., 1964). - P. 425-442.
кривую безразличия инвестора), а эффективные портфели могут быть очень многочисленными. Это является основным недостатком теории Марковица. Другой недостаток этой модели - сложность математического аппарата для специалистов-практиков и большой объем требуемых вычислений. Действительно, при формировании портфеля из N ценных бумаг необходимо знать N величин дисперсии, т.е. квадрата среднеквадратичного (стандартного) отклонения, N значений ожидаемой доходности и

(f: - Значений ковариации. Последнее число требует комментариев: N2 -размер ковариационной матрицы, из этого числа вычитается диагональных элементов матрицы, поскольку они - уже посчитанные величины дисперсии; третий комментарий - множитель учитывает симметричность матрицы. Итак, для анализа портфеля необходимы n + n + — ■ (n2 - n)=—^v2 + 3^) чисел. Марковиц отмечал, что анализ портфеля из ста ценных бумаг требует вычислений ста величин дисперсии и ожидаемой доходности и почти пяти тысяч значений ковариации ценных бумаг. Из последней формулы видно, что это число составляет 5150. Если анализировать предполагаемое формирование портфеля из большего числа ценных бумаг, то объем вычислений значительно увеличивается, так, при количестве 200 ценных бумаг необходимо оперировать уже с 20,3 тыс. параметров. Вместе с тем, несмотря на недостатки, вклад Марковица в современную теорию портфеля является значительным. Основное значение модели Марковица состоит в том, что в ней сосредоточенно внимание на ожидаемой доходности и совокупном риске портфеля в зависимости от состава входящих в портфель ценных бумаг. В свою очередь, такой взгляд на решение задачи оптимизации инвестиционного портфеля стимулировал многочисленные работы в этом направлении.

 

Модель оценки капитальных активов (модель У. Шарпа)

Принципы формирования портфеля в зависимости от ожидаемой нормы прибыли и риска были впервые изложены Марковицем, что послужило толчком для дальнейших исследований и публикаций, в результате чего, в частности, Уильямом Шарпом6 была разработана модель оценки капитальных активов (capital assets pricing model - САРМ), которая требует существенно меньшего объема информации и вычислений, чем модель Марковица.

Согласно Шарпу, существует корреляция прибыли, приходящейся на каждую отдельную ценную бумагу, и общего рыночного показателя (индекса), что значительно упрощает процедуру нахождения эффективного портфеля. Анализируя поведение акций на рынке, Шарп пришел к выводу, что совершенно не обязательно определять ковариацию (и корреляцию) каждой акции друг с другом, вместо этого достаточно определить, как каждая акция взаимодействует со всем рынком ценных бумаг поп этом в расчет необходимо принимать весь объем рынка ценных бумаг Следует иметь в виду, что количество ценных бумаг и, прежде всего, акций на фондовом рынке достаточно велико, и с ними ежедневно осуществляется огромное количество сделок, кроме того, цены постоянно изменяются. Поэтому определить какие-либо показатели по всему объему рынка оказывается практически невозможно. В то же время, если выбрать некоторое количество ценных бумаг, то они смогут достаточно точно охарактеризовать развитие всего рынка ценных бумаг. В качестве такого рыночного показателя можно использовать фондовые индексы.

Важным концептуальным элементом модели У. Шарпа является введенное им определение рыночного портфеля, согласно которому рыночный портфель - это некоторый гипотетический портфель, состоящий из всех ценных бумаг рынка, в котором доля каждой ценной бумаги соответствует ее относительной рыночной стоимости. Относительная рыночная стоимость ценной бумаги - это отношение ее рыночной стоимости к сумме величин рыночных стоимостей всех ценных бумаг. То есть рыночный портфель состоит из рисковых активов, включаемых в данный портфель пропорционально их доле рыночной стоимости всей стоимости активов, он является как бы «слепком», уменьшенной копией рынка ценных бумаг. Парфюмеры назвали бы это пробником. Таким образом, рыночный портфель - это портфель, относительные (но не абсолютные, стоимостные) характеристики которого полностью совпадают с соответствующими характеристиками всего рынка ценных бумаг.

Рассмотрим следующий гипотетический пример. Предположим, имеются 3 акции А, В, С, D доходности которых показаны в табл. 4.4.

Как следует из табл. 4.4, доходность акций всех четырех видов изменяется в одном направлении, но с разной скоростью. Графическое изображение относительной подвижности 4-ех акций представлено на рис. 4.4, в декартовой системе координат, где по горизонтальной оси отложены значения доходности рынка в целом (доходность рыночного портфеля) rM, а по вертикальной оси - величины доходности отдельных акций г,-. Простейший анализ этих прямых показывает, что доходность акций В изменяется совершенно так же, как и рыночного портфеля, доходность акций А изменяется в большей мере, чем доходность рыночного портфеля, а изменение доходности акций С, напротив, происходит в меньшей степени, чем изменение доходности рыночного портфеля. Кроме того, доходность портфеля D, хотя и превышает доходность рыночного портфеля, но изменяется так же, как изменяется доходность рыночного портфеля.

-10

Рис. 4.4. Графическая иллюстрация связи доходности акций A,B,C,D с Зоходностъю рынка (с доссодностъю рыночного портфеля)

Наклон линий по отношению к горизонтальной оси (доходность рыночного портфеля) показывает, как каждая акция движется по отношению ко всему рынку. Наклон этой линии есть не что иное как характеристика риска ценной бумаги, связанного со среднерыночным риском, называемая в модели Шарпа -коэффициент - коэффициент наклона линии, с помощью которого измеряется движение (и риск) ценной бумаги, связанный со среднерыночным движением (и среднерыночным риском).

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |