Имя материала: Инвестиции

Автор: Шарп У.

Глава 5 оценка безрисковых ценных бумаг

 

ализ процесса оценки параметров ценных бумаг следует начать с рассмотрения ценных бумаг с фиксированным доходом, т.е. тех, для которых строго определены величины и сроки выплат доходов. Очевидными кандидатами для рассмотрения являются ценные бумаги, представляющие собой долговые обязательства правительства США. Так как правительство может напечатать деньги в любое время, то практически наверняка выплаты по таким ценным бумагам будут сделаны в срок. Однако существует неопределенность в отношении покупательной способности этих выплат. Хотя облигации правительства США могут быть безрисковыми в смысле номинальных выплат, они могут оказаться весьма рискованными в смысле реального (учитывающего инфляцию) дохода. Эта глава начинается с обсуждения взаимоотношений номинальных и реальных процентных ставок.

Несмотря на наличие инфляционного риска, предположим, что по рассматриваемым ценным бумагам могут быть определены номинальные и реальные выплаты, а именно, что величина инфляции может быть точно предсказана. Подобное предположение позволяет сосредоточить внимание на влиянии фактора времени на оценку облигации. После этого может быть рассмотрено влияние других показателей.

 

Номинальные процентные ставки против реальных

Во многом результативность современных методов извлечения прибыли определяется тем, насколько эффективно они используют деньги — общепринятое средство обмена. Вместо обмена сегодняшнего зерна на будущую «тойоту», как это делается в бартерной экономике, люди в современной экономике могут в обмен на зерно получить деньги (т.е. продать его), обменять деньги на будущие деньги (т.е. инвестировать) и окончательно обменять будущие деньги на «тойоту» (т.е. купить ее). Ставка, по которой можно обменять сегодняшние деньги на будущие, и есть номинальная (или денежная) процентная ставка, обычно называемая процентной ставкой.

В периоды значительных колебаний цен номинальная процентная ставка может оказаться плохим индикатором фактического дохода, получаемого инвестором. Хотя не существует способа, который мог бы учесть все множество меняющихся цен в подобный период, тем не менее большинство правительств пытается это делать, измеряя текущую цену некоторого набора основных товаров. Совокупная цена такого набора обычно называется индексом прожиточного минимума, или индексом потребительских цен (cost-of-living index, или consumer price index).

Насколько этот индекс соответствует потребностям конкретного человека в основном зависит от близости его покупок тому набору, который использовался для вычисления индекса потребительских цен. Более того, подобные индексы имеют тенденцию к преувеличению стоимости жизни для людей, которые покупают стандартный набор товаров. Этому есть две причины. Во-первых, при расчете индекса редко адекватно учитывается улучшение качества товаров. Во-вторых, что, возможно, важнее, в стандартном наборе товаров обычно не учитывают относительное изменение цен. Рациональный потребитель может уменьшить стоимость удовлетворения своих потребностей за счет замены дорогих товаров более дешевыми.

Несмотря на эти помехи, расчет индексов потребительских цен все же дает приблизительную оценку изменения цен. Подобные индексы могут использоваться для определения совокупной реальной процентной ставки. Например, предположим, что в течение года индекс потребительских цен увеличился со 121 до 124 при номинальной процентной ставке 7\%. Это означает, что потребительская корзина товаров и услуг, стоившая $100 в некотором базовом году и $121 в начале данного года, стала стоить $124 в конце данного года. Владелец подобной корзины мог продать ее за $121 в начале года, инвестировать выручку под 7\% годовых и получить $129,47 ($121 х 1,07) в конце года, а затем сразу купить 1,0441 ($129,47/$124) потребительской корзины. Таким образом, реальная процентная ставка составит 4,41\% [(1,0441 — 1) х 100\%].

Эти вычисления могут быть обобщены в следующей приблизительной формуле:

 

+          + (5.1)

 

где  С„  - индекс потребительских цен в начале года; С,   - индекс потребительских цен 0 конце года: NIR - номинальная процентная ставка; RIR - решьная процентная ставка.

 

Уравнение (5.1) может быть переписано следующим образом:

X + CCL

 

1 + NIR

= + RIR, (5.2)

где CCL — коэффициент изменения индекса потребительских цен, равный (С, — Со)/С0. В нашем примере CCL — 0,02479 = (124 - 121)/121, таким образом реально цены возросли примерно на 2,5\%.

Для быстроты вычислений реальная процентная ставка может быть рассчитана путем вычитания коэффициента изменения индекса потребительских цен из номинальной процентной ставки:

RIRbNIR-CCL, (5.3)

где знак г означает «приблизительно равно». В данном случае краткие вычисления дают результат 4,5\% (7\% — 2,5\%), что довольно близко к истинной величине 4,41\%.

К сожалению, точную величину инфляции предсказать трудно. Поэтому дальнейшая дискуссия о соотношении реальной процентной ставки и номинальной ставки будет отложена до гл. 13. Здесь же достаточно считать, что ожидаемая реальная процентная ставка определяется фундаментальными явлениями, рассмотренными в предыдущих главах, а номинальная процентная ставка приблизительно равна сумме реальной процентной ставки и ожидаемого коэффициента изменения индекса потребительских цен.

 

^_^^Н   Доходность к погашению

Существует много видов процентных ставок, а не только та, о которой шла речь выше. Более того, существует много способов подсчета процентных ставок. Один из способов подсчитывает процентную ставку, которую называют «доходность к погашению». Еще один известный способ, который будет обсуждаться в следующем параграфе, подсчитывает спот-ставку (spot rate).

Для описания доходностей к погашению и спот-ставок будут использованы три гипотетические казначейские ценные бумаги, которые доступны каждому инвестору. Считается, что подобные ценные бумаги не подвержены риску в том смысле, что инвесторы гарантированно получают обещанные по этим ценным бумагам суммы в указанные сроки. Таким образом, риск невыполнения обязательств по этим бумагам отсутствует и не влияет на расчет процентных ставок.

Рассматриваемые ценные бумаги будем называть облигациями А, В, С. Облигация А погашается через год, при этом инвестор получает $1000. Облигация В — через два года, при этом инвестор получает тоже $1000. Облигация С является купонной облигацией, по которой инвестор получает $50 через год и еще $1050 через два года. Цены, по которым эти облигации продаются в настоящее время на рынке, таковы:

облигация А (бескупонная облигация со сроком погашения 1 год) - $934,58; облигация В (бескупонная облигация со сроком погашения 2 года) — $857,34; облигация С (купонная облигация со сроком погашения 2 года) — $946,93.

Доходность к погашению (yield to maturity, YTM) по любой ценной бумаге с фиксированным доходом представляет собой единую ставку сложных процентов, начисляемую в банке, которая позволяет инвестору получить все выплаты, полагающиеся по рассматриваемой ценной бумаге, если бы деньги инвестировались не в ценные бумаги, а в банковский депозит. Очень просто определяется доходность к погашению ценной бумаги со сроком погашения 1 год — облигации А. Так как инвестирование $934,58 в данный момент обернется получением $1000 год спустя, то доходность к погашению по этой облигации есть ставка гА, которую должен назначить банк, чтобы на депозите с $934,58 через год стало $1000. Таким образом, доходность к погашению по облигации А — это ставка г , удовлетворяющая следующему уравнению:

(1 + гА)х $934,58 = $1000, (5.4)

что дает доходность 7\%.

Предположив годовую процентную ставку облигации В равной г , получим, что счет с первоначальным депозитом $857,34 вырастет до (1 + rB) х $857,34 через год. Если оставить эту величину неизменной, то сумма на счете вырастет до (+rg) х (+rB) х х $857,34] к концу второго года. Другими словами, доходность к погашению по облигации В — это ставка гв, удовлетворяющая следующему уравнению:

(1 + гв) х [(1 + гв) х $857,34]= $1000, (5.5)

что дает доходность 8\%.

В случае облигации С предположим, что на банковский счет внесено $946,93. В конце первого года вклад вырастет до (1 + rc) х $946,93. После этого инвестор снимает $50, оставляя на счете (1 + rc) х $946,93 - $50. К концу второго года на счете будет сумма, равная (1 + rc) х [(1 + rc) х $946,93 - $50]. Доходность к погашению по облигации С — это ставка гс, при которой указанная сумма равна $1050: (1 + rc) х [(1 + rc) x $946,93 - $50] =$1050, (5.6)

что дает доходность 7,975\%.

Другими словами, доходность к погашению — это процентная ставка в коэффициенте дисконтирования, которая приравнивает сумму обещанного денежного потока к текущей рыночной цене облигации1. Рассматриваемая таким образом доходность к погашению аналогична внутренней ставке рефинансирования (internal rate of return) — понятию, используемому при принятии бюджетных решений, которое часто описывается во вводных финансовых учебниках. Для облигации А это можно продемонстрировать, разделив обе части уравнения (5.4) на (1 + гА):

ми,8 $Ю00

$934'58 = ^)- (5-7)

Аналогично, для облигации В обе части уравнения (5.5) могут быть разделены на (1 + гвУ:

 

$857,34 = ^, (58) ( + гв)2

а для облигации С обе части уравнения (5.6) разделим на (1 + гс)2:

 

$946,93-    $5° $Ш5°

(1 + Т) (1+/с)

или

$946,93 =

$50 $1050

(5.9)

0+t)   (1 + гс)2

Так как уравнения (5.7), (5.8) и (5.9) эквивалентны уравнениям (5.4), (5.5) и (5.6) соответственно, то и решения этих уравнений одинаковые: гА = 7\%, гв= 8\% и гс = 7,975\% соответственно.

Для купонных облигаций доходность к погашению определяется итерационным способом. В рассмотренном примере для облигации С первоначально можно использовать ставку в коэффициенте дисконтирования 10\%, тогда правая часть уравнения (5.9) будет равна $913,22, что слишком мало. Значит число в знаменателе слишком велико и можно подставить, например, 6\%. В этом случае окажется, что правая^часть велика. Далее берем число между 6 и 10\%. Продолжая таким образом, получим искомую ставку с любой заданной точностью.

К счастью, компьютеры прекрасно справляются с этой задачей. Компьютеру задается сложная серия денежных потоков, и он быстро определяет величину доходности к погашению. Во многие финансовые калькуляторы встроены аналогичные программы. Пользователь просто задает калькулятору число дней до погашения, годичные купонные выплаты и текущую рыночную цену, а затем нажимает кнопку и получает доходность к погашению.

Доходность к погашению — наиболее распространенный способ измерения процентной ставки по облигации или ее доходности. Эта ставка может быть рассчитана для любой облигации, что облегчает сравнение различных инвестиций. Однако здесь имеются некоторые проблемы. Чтобы объяснить эти проблемы, необходимо рассмотреть концепцию спот-ставок.

Спот-ставки

 

Спот-ставка (spot rate) измеряется в конкретный момент времени как доходность к погашению по бескупонной облигации. Спот-ставку можно представлять как процентную ставку, связанную со спот-контрактом. Такой контракт (после подписания) подразумевает немедленный заем денег одной стороной у другой. Заем должен быть возвращен одновременно с процентами по нему в некоторый определенный момент времени в будущем. Процентная ставка, указываемая в таком контракте, называется спот-ставкой.

Облигации А и В в предыдущем примере были бескупонными ценными бумагами, т.е. инвестор, купивший такую бумагу, получит выплаты лишь однократно. В этом примере спот-ставка для облигации со сроком погашения один год равнялась 7\%, а со сроком погашения два года — 8\%. В общем виде спот-ставка за г лет, st, является членом следующего уравнения:

М,

(1 + 5,)'

(5.10)

 

где Р — текущая рыночная цена бескупонной облигации, которая погашается через глет по цене М. Например, величины Pf и Mf для облигации В при г = 2 были бы равны $857,34 и $1000 соответственно.

Спот-ставки могут быть рассчитаны и другим способом в том случае, если ценные бумаги с большими сроками погашения представлены только купонными казначейскими облигациями. Как правило, спот-ставка на один год (s,) известна, так как бескупонная облигация со сроком погашения один год обычно всегда существует в обращении. Однако вполне вероятно, что бескупонной казначейской облигации со сроком погашения два года на рынке не окажется. Вместо этого доступной для инвестиции может оказаться купонная облигация с таким же сроком погашения, имеющая текущую рыночную цену Р цену погашения Мг и купонные выплаты каждый год с данного момента в размере Сг В данной ситуации спот-ставку (s2) для облигации с двухлетним сроком погашения можно определить, решив следующее уравнение:

 

Р -     С1      , М2

Vu^W' (5Л1)

Например, предположим, что имеются только облигации А и С. Известно также, что спот-ставка за один год (s{) равна 7\%. Теперь для вычисления спот-ставки за два года (s) может быть использовано уравнение (5.11). При этом Р = $946,93, С = $50 и М2 = $1050:

$946,93=    $5°    + -$105°

(1+0,07)'   (1 + 52)

Решением этого уравнения является s2 = 0,08 = 8\%. Таким образом, в рассмотренном примере величина двухгодичной спот-ставки была одной и той же как при прямом способе вычисления, анализирующем бескупонную облигацию В, так и при косвенном способе, анализирующем купонную облигацию С в сочетании с облигацией А. Хотя при анализе реальных облигаций подобное равенство не всегда сохраняется, обычно разница оказывается незначительной.

Коэффициенты дисконтирования

Определив множество спот-ставок, легко вычислить соответствующее множество коэффициентов дисконтирования (discount factors). Коэффициент дисконтирования d равен сегодняшней стоимости $1, который будет получен через глет по казначейской ценной бумаге, т.е.:

 

", = о^- (5Л2)

Множество таких коэффициентов иногда называют рыночной функцией дисконтирования (market discount function). Коэффициенты дисконтирования изменяются каждый день с изменением спот-ставок. В примере dx = 1/(1 + 0,07)' = 0,9346; d2 = 1/(1 + 0,08)2 = 0,8573.

Если рыночная функция дисконтирования определена, то очень просто можно найти современную эквивалентную стоимость любой казначейской ценной бумаги (а также любой безрисковой ценной бумаги). Обозначим через С выплаты, получаемые инвестором в год t по рассматриваемой ценной бумаге. Умножение Ct на d называется дисконтированием (discounting), или приведением, заданной (известном) будущей стоимости к современной эквивалентной стоимости. Последнее означает то, что Р сегодняшних долларов можно превратить в С долларов через глет, используя имеющиеся инвестиционные возможности при сегодняшних преобладающих спот-ставках. Инвестиция, приносящая С гарантированных долларов через t лет, сегодня должна стоить Р = d С долларов. Если она стоит дороже, то инвестиция переоценена; если дешевле, то недооценена. Эти утверждения опираются на сравнение альтернативных возможностей на рынке. Таким образом, оценка инвестиций в безрисковые ценные бумаги не требует определения индивидуальных характеристик ценных бумаг, а требует только точного анализа возможных вариантов, представленных на рынке.

КЛЮЧЕВЫЕ ПРИМЕРЫ И ПОНЯТИЯ

 

ПОЧТИ БЕЗРИСКОВЫЕ ЦЕННЫЕ БУМАГИ

Чтобы рассуждения не были абстрактными, необходимо знать, существуют ли безрисковые ценные бумаги в действительное їй'.' Оказывается, на финансовых рынках США подобных ценных бумаг не существует. ?

Безрисковая пенная бумага обеспечивает инвестору определенную прибыль за конкретный инвестинионныЙ срок, Поскольку инвестор заинтересован в с охра неким покупательной способности своих ин-веепший, доход по безрисковой бумаге должен быть вычислен с учетом инфляции.

Как уже упоминалось, хотя казначейские це н н ые бум ant С ША имеют п ракти чески нулевой риск неуплаты,; все же они; ніе о бее печи 8а ют бе зри еково го ре альн ого дохода. Возврат основной суммы и пронен-тон не учитывает инфляцию, возрастающую "1 период обращения ценной бумаги. В результате непредвиденная инфляция изменяет реальный доход, ожидаемый во время по-:: купки ценной бумаги. .

Предположим, однако, что уровень ин-фдяиии невысок и нредсказусм.',:|.удуі,Щ■.. казначейские бумаги обеспечивать инвес гора безрисковым доходом с точки зрения инфляции? Как правило, нет.

Сроки инвестирования, предпочтительные для инвестора, обычно не совпадают со сроками обращения конкретных казначейских ценных бумаг. Если срок, предпочтительный для инвестора, больше, чем срок до погашения ценной бумаги, то инвестору придется покупать еше одну ценную бумагу после погашения первой. Если в этом промежутке произошло изменение номинальной процентной ставки, то инвестор получит доход, отличный от того, который он первоначально ожидал {этот риск известен как риск изменения ставки реинвестирования — см. гл. 9).

Если срок обращения казначейской ценной бумаги превышает срок, предпочтительный для инвестора, то инвестору придется продать эту ценную бумагу, не дожидаясь ее погашения. Если процентная

ЩоіііііІШ ііШіМЩ^ЩШШШ. иіШшШШф вследствие чего инвестор получит доход, отличный от того, который первоначально ожидался (этот риск известен как риск изменения процентной ставки - см. гл. 9).

Даже при условии совпадения сроков обращения и сроков инвестирования безрисковый доход, как правило, не обеспечивается. За исключением казначейского векселя (Treasury ЬЩ, по всем казначейским ценным бумагам делаются периодические инвестиционные выплаты (см. гл. 14), которые инвестор должен реинвестировать. Если процентная ставка меняется во время обращения ценной бумаги, то условия ре-инвестирования:будут меняться и. соответственно, инвестор получ ИТ доход, отличи ый от ожидавшегося.

Ясно, что инвестора в наибольшей степени устроичи бы казначейские ценные бумаги, по которым осушес 1 вляегея только одна выплата (включающая основную сумму и все проценты) в день погашения. В этом случае инвестор может выбрать ценную бумагу, срок обращения которой совпадает со сроками инвестирования. Такие ценные бумаги будут фактически безрисковыми, по крайней мере и части выплаты номинального дохода.

Ценная бумага с фиксированным до-

плата в день погашения, называется бескупонной облигацией. До 80-х годов не существовало бескупонных облигаций, кроме казначейских векселей (срок обращения которых не превышал одного года). Однако в последнее время бескупонных казначейских ценных бумаг было выпущено на сумму более $200 млрд. Рост этого рынка объясняется уникальными преимуществами безрисковых ценных бумаг и высоким спросом на них со стороны институциональных инвесторов.

Купонные ценные казначейские бумаги могут рассматриваться как портфель бес-купонных облигаций. Сама облигация и каждый кулон могут считаться самостоятельными облигациями. В 1982 г. несколько брокерских фирм пришли к пониманию того, что купоны по ценным казначейским бумагам могут быть отделены от

называется отрывом купонов (coupon stripping).

Например, брокерская фирма XYZможет купить только что выпущенную 20-летнюю казначейскую облигацию и поместить ее в доверенный банк. Предполо-

дятся дважды в год. тогда XY7. может создать 41 бескупонную облигацию (40 процентных купонов и одна облигация с оторванными купонами). Конечно, -Уг^может создать и большее количество бескупонных ;о|я щЩ tiif ІІ ,|йррЦ' но купки S Щ |ЩзШЩ|і:й1;: дополнительного количества исходных казначейских облигаций того же выпуска, :СозданШШ; ніким образом нобйеЩескуЖ лонные облигации в спою очередь мої у г быть проданы инвесторам (с комиссионной надбавкой). По мере того как: казна осушесівляет обещанные штаты по облигации, доверенный банк производит выплаты держателям бескупонныч облигаций с соответствующими сроками погашені! я. Процесс її родолжае те и до тех пор, пока все проценты и основной вклад не будут вы її лачены и псе обл и ґа ц ни, связанные с казначе й с ко it облигацией,не будут погашены. ""■

Брокерские фирмы выпускали бескупонные облигации, базирующиеся на казначейских ценных бумагах, с разными экзотическими названиями, такими, как «львы», «тигры» и «кошки» (LIONs — Lehman investment Opportunity Notes, TfGRs -Merrill Lynch'л Treasury Securities, CATS — Salomon Brothers' Certificates of Accrual on Treasury Securities). Неудивительно, что в торговле эти облигации стали называться «животные» (animals).

И брокерские фирмы, и инвесторы были в выигрыше от отрыва купонов. Брокерские фирмы обнаружили, что совокупная стоимость частей была выше стоимости целого, так как каждая часть облигации могла быть продана инвестору с соответствующей наценкой. Инвесторы выиграли от того, что был создан рынок ликвидных безрисковых ценных бумаг.

В Казначействе США с запозданием осознали привлекательность «оторванных» казначейских облигаций. Только в 1985 г. была разработана программа, названная STRIPS (Separate Trading of Registered Interest and Principal Securities). Эта программа позволяла покупателям определенных казначейских ценных бумаг, по которым выплачиваются проценты, оставлять себе уже полученные ранее выплаты, а предстоящие купонные выплаты продавать. «Оторванные» облигации учитываются в компьютере Федеральной резервной системы (book entry system), и выплаты по ним начисляются в электронной форме. Любой финансовый институт, зарегистрированный в компьютере, может участвовать в программе STRIPS.

Брокерские фирмы скоро обнаружили, что гораздо дешевле создавать бескупонные облигации по программе STRIPS, чем через счета доверенных банков. В результате, сейчас почти все «оторванные» казначейские бумаги создаются по программе STRIPS.

Стоимость бескупонных казначейских ценных бумаг зависит от многих факторов, включая налоговые ставки и законы, срок обращения ценной бумаги, соотношение краткосрочных и долгосрочных процентных ставок и рыночный спрос на конкретные облигации. Учитывая эти факторы, рынок поддерживает равновесие между стоимостью исходной казначейской ценной бумаги и суммарной стоимостью соответствующих ей «оторванных» облигаций. Подобно тому, как финансовые организации обнаружили выгодность «оторванных» облигаций, может оказаться, что при определенных рыночных ценах бескупонные облигации станет выгодно объединять для воссоздания исходной ценной бумаги. Недорогое функционирование программы STRIPS повысило эффективность рынка бескупонных казначейских ценных бумаг.

Возможно, когда-нибудь Казначейство выпустит облигации, учитывающие индекс инфляции, и разрешит их разделение. Такие облигации будут действительно безрисковыми. Но пока «оторванные» казначейские облигации являются лишь подобием безрисковой ценной бумаги.

 

 

Простой, но в некотором смысле фундаментальной характеристикой рыночной структуры для облигаций, не имеющих риска неисполнения обязательств (default-free bond), является текущий набор коэффициентов дисконтирования, ранее названный рыночной функцией дисконтирования. Имея этот набор коэффициентов, несложно оценить подобную облигацию, если по ней осуществляется более чем одна выплата, так как такая облигация может считаться пакетом облигаций, по каждой из которых осуществляется только одна выплата. Каждая величина предстоящей выплаты просто умножается на соответствующий коэффициент дисконтирования, а затем полученные величины суммируются.

Например, предположим, что Казначейство готовится предложить для продажи купонную ценную бумагу со сроком погашения два года, по которой через год будет выплачено $70, а через два года - $1070. Какая цена для этой ценной бумаги будет справедливой? Та, которая равна суммарной сегодняшней стоимости $70 и $1070. Как ее определить? Путем умножения $70 и $1070 соответственно на одногодичный и двухгодичный коэффициенты дисконтирования. В результате получается: ($70 х 0,9346) + + ($1070 х 0,8573) = $982,73.

Независимо от сложности системы выплат, эта процедура может быть применена для определения стоимости любой облигации рассматриваемого типа. Общая формула расчета приведенной стоимости облигации (present value) такова:

п

^ = 5>С„ (5.13)

t =

 

где С, - обещанные выплаты по облигации в году t, t = 1,...,и, a dt - соответствующие коэффициенты дисконтирования.

Мы показали, как могут быть рассчитаны спот-ставки и коэффициенты дисконтирования. Однако не установили связь между различными спот-ставками (или различными коэффициентами дисконтирования). Например, до сих пор не было показано, как связана годовая 7\%-ная спот-ставка с двухгодовой 8\%-ной спот-ставкой. Концепция форвардных ставок позволяет установить эту связь.

 

^^^Н   Форвардные ставки

В рассмотренном ранее примере годовая спот-ставка составила 7\%. Это означает, что рынок установил приведенную стоимость $1, который будет выплачен Казначейством через один год — $1/1,07 = $0,9346. Другими словами, соответствующая процентная ставка в коэффициенте дисконтирования для приведения денежного потока через один год к его текущей стоимости равна 7\%. Для упоминавшейся 8\%-ной спот-ставки современная стоимость $1, который будет получен через два года, будет равна $1/1,08 = $0,8573.

Для определения приведенной стоимости $1, выплачиваемого через два года, можно провести двухшаговое дисконтирование. На первом шаге определяется не приведенная стоимость этого доллара, а его стоимость через год. А именно, $1, получаемый через два года, через один год будет эквивалентен $1/(1 + /, 2). На втором шаге определяется приведенная стоимость доллара путем дисконтирования его стоимости через год по спот-ставке 7\%. Таким образом, приведенная стоимость равна:

$1/(1 + /.,2)

(1+0,07) ■

Однако эта величина должна равняться $0,8573, так как в соответствии с двухгодовой спот-ставкой сегодняшняя стоимость одного доллара, получаемого через два года, равна $0,8573. В результате получаем следующее уравнение:

 

$1/(1+/l 2) ■»

(1+0,07)

решением которого является fx 2 = 9,01\%.

——^-=$0,8573, (5.14)

Ставка/ 2 в коэффициенте дисконтирования называется форвардной ставкой (forward rate) от первого до второго года, т.е. это ставка в коэффициенте дисконтирования, которая используется для определения стоимости доллара через год при условии, что этот доллар будет получен через два года. В рассмотренном примере $1, получаемый через два года, эквивалентен величине $1/1,0901 = $0,9174, получаемой через один год (еще раз обратите внимание на то, что приведенная стоимость суммы в $0,9174 равна $0,9174/1,07, т.е. $0,8573).

Математически связь между годовой спот-ставкой, двухгодовой спот-ставкой и годовой форвардной ставкой записывается следующим образом:

Подпись: (5.15)

51/(1 + /,,2) $1

0 + *i)      (1 + *2)2

(1 + /'.2) = 7ТТ7Т' (5-16)

что может быть переписано так: или

(l + s1)(l+/u) = (l + s2)2 . (5.17)

Рисунок 5.1 иллюстрирует эти вычисления с помощью рассмотренного выше примера, а затем делается обобщение.

В более общем виде для спот-ставок в годы t — 1 и t связь с форвардной ставкой между годами t — 1 и г такова:

(1 +/,-!,,)-п      , (5.

(l + s,)' или

(1+*,_,)'"'х(1+/,ч,) = (!+*,)'. (5.19)

 

Сейчас          1 год   2 года

 

Пример:

Рис. 5.1. Спот-ставки и форвардные ставки

(1,07) (1 + f|2) = (1,08)г = [(1,08)7(1,07)) - 1 = 9,01»/

Но существует и другая интерпретация форвардных ставок. Рассмотрим заключаемый сейчас контракт на заем денег через год и возвращение их через два года. Такой контракт называется форвардным контрактом. Процентная ставка по одногодичному займу, указываемая сейчас в таком контракте (заметьте, что проценты должны быть выплачены по истечении контракта, т.е. через два года), будет определяться как форвардная ставка.

Важно различать эту ставку и ставку по одногодичным займам, которая установится через год (спот-ставка через год). Форвардная ставка применяется к контракту, заключаемому сейчас, но относится к будущему периоду времени. После заключения контракта условия становятся неизменными, несмотря на то, что сама сделка произойдет позднее. Если вместо заключения форвардного контракта сейчас ждать наступления следующего года и затем подписывать контракт на заем денег по спот-ставкам, которые тогда установятся, то условия могут оказаться как лучше, так и хуже, чем сегодняшняя форвардная ставка, так как будущую спот-ставку невозможно точно предсказать.

В рассмотренном выше примере на рынке установилась такая цена на казначейские ценные бумаги, что инвестор, покупающий ценную бумагу со сроком обращения два года, потребует процентную ставку, равную двухгодовой спот-ставке в 8\%, т.е. инвестора будут устраивать следующие условия: 1) годичный заем правительства по процентной ставке, равной годовой спот-ставке в 7\%; 2) форвардный контракт с правительством на заем правительством денег через год и получение их обратно через два года по форвардной процентной ставке 9,01\%.

Рассмотренные форвардные контракты являются неявными. Однако иногда форвардные контракты заключаются явным образом. Например, можно получить обязательство от банка на предоставление ему годичного займа, который будет возвращен через год по заранее определенной фиксированной ставке. Финансовые фьючерсные рынки (обсуждаемые в гл. 21) предоставляют стандартные форвардные контракты такого типа. Например, в сентябре можно заключить контракт, по которому требуется заплатить $970 в декабре для покупки 90-дпевного казначейского векселя с выплатой $1000 в марте.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 |