Имя материала: Инвестиции

Автор: Шарп У.

8.2.2       фактическое местоположение портфелей

Что происходит, если корреляция равняется нулю? В этом случае уравнение (8.1) можно привести к следующему виду:

op = (400*2 + 1600*2 + 1600*,*, х о)1/2 = [шх] + 1600^)1/2.

Используя соответствующие значения весов Х{ и Х2, стандартное отклонение портфелей В, С, D, Е и F можно вычислить следующим образом:

ов = [(400 х 0,832) + (1600 х 0,172)]'/2 = 17,94\%; ос = [(400 х 0,672) + (1600 х 0,332)]'/2 = 18,81\%; ой = [(400 х 0,502) + (1600 х 0,502)]'/2 = 22,36\%; о£ = [(400 х 0,332) + (1600 х 0,672)]'/2 = 27,60\%; о> = [(400 х 0,172) + (1600 х 0,832)]'/2 = 33,37\%.

Рисунок 8.6 показывает местоположение данных портфелей вместе с верхними и нижними пограничными значениями, которые были представлены на рис. 8.5. Как можно заметить, эти портфели, так же как и все остальные возможные портфели, состоящие из акций Ark Shipping и Gold Jewelry, лежат на изогнутой линии, наклоненной влево. Хотя это и не показано здесь, если корреляция будет меньше нуля, то данная линия сильнее изогнется влево. Если корреляция будет больше нуля, она не изогнется так сильно влево. Важно отметить, что, пока корреляция остается больше —1 и меньше 1, линия, представляющая множество портфелей, состоящих из различных комбинаций двух ценных бумаг, будет иметь некоторую степень кривизны влево. Кроме того, ее верхняя левая часть будет вогнутой.

Аналогичный анализ может быть проведен в ситуации, когда рассматриваются больше чем две ценные бумаги. После проведения анализа, можно сделать заключение о том, что, пока корреляция остается меньше 1 и больше —1, верхняя левая часть кривой должна быть вогнута, как это было в случае двух ценных бумаг". Таким образом, в общем случае эффективное множество будет вогнутым.

8.2.3       Невозможность существования «впадин» на эффективном множестве

Предыдущий пример показал, что происходит при формировании портфеля из акций двух компаний (Ark Shipping и Gold Jewelry). Важно отметить, что при формировании портфеля из двух других портфелей действуют те же принципы. Таким образом, точка А на рис. 8.6 может представлять собой портфель с ожидаемой доходностью 5\% и стандартным отклонением 20\%, а точка Сможет представлять другой портфель ценных бумаг с ожидаемой доходностью 15\% и стандартным отклонением 40\%. Комбинируя эти два портфеля, можно создать третий, ожидаемая доходность и стандартное отклонение которого будут зависеть от долей, инвестированных в А и G. Если предположить, что корреляция между двумя портфелями равна нулю, то третий портфель будет располагаться на указанной изогнутой линии, соединяющей А и G.

Теперь, исходя из данных фактов, можно показать, что эффективное множество вогнуто. Покажем, что оно не может иметь никакую другую форму. Рассмотрим эффективное множество, изображенное на рис. 8.7. Заметим, что на нем есть «впадина» между точками Uи V, т.е. участок эффективного множества между Uи Кне является вогнутым. Может ли данное множество на самом деле быть эффективным? Нет, так как инвестор может вложить часть своих фондов в портфель, которому соответствует точка U, а оставшуюся часть фондов в портфель, которому соответствует точка V. В результате мы получим портфель, представляющий собой комбинацию портфелей U и К который должен располагаться на рисунке левее рассматриваемого эффективного множества. Таким образом, новый портфель будет «более эффективным», чем портфель с такой же ожидаемой доходностью, расположенный на рассматриваемом эффективном множестве между точками U и V.

Для примера проанализируем портфель из рассматриваемого эффективного множества, лежащий на середине линии между точками U и К; на рис. 8.8 данная точка отмечена буквой W. Если это действительно эффективный портфель, то создать портфель с такой же ожидаемой доходностью, как у W, но с меньшим стандартным отклонением невозможно. Однако если инвестор вложит половину своих фондов в U, а вторую половину в V, то он создаст портфель, более эффективный, чем портфель W, так как он будет иметь такую же ожидаемую доходность, но меньшее стандартное отклонение. Почему он будет иметь меньшее стандартное отклонение? Вспомним, что если корреляция между U и К равняется 1, то портфель должен лежать на прямой линии, соединяющей U и К, и, таким образом, будет иметь меньшее стандартное отклонение, чем W. На рис. 8.8 данная точка обозначена, как Z. Так как фактически корреляция меньше или равна +1, то Избудет иметь такое же или меньшее стандартное отклонение, как и Z. Это означает, что рассматриваемое эффективное множество ошибочно по построению, так как легко найти «более эффективный» портфель в области, где оно не является вогнутым.

 

Рыночная модель

Предположим, что доходность обыкновенной акции за данный период времени (например, месяц) связана с доходностью за данный период акции на рыночный индекс, такой, например, как широко известный S&P 5005. В этом случае с ростом рыночного индекса, вероятно, будет расти и цена акции, а с падением рыночного индекса, вероятно, будет падать и цена акции. Один из путей отражения данной взаимосвязи носит название рыночная модель (market model):

 

где   г   —        доходность ценной бумаги / за данный период;

г, —      доходность на рыночный индекс / за этот же период;

аи —    коэффициент смещения;

В  —     коэффициент наклона;

ги —    случайная погрешность.

Предположив, что коэффициент наклона положителен, из уравнения (8.3) можно заметить следующее: чем выше доходность на рыночный индекс, тем выше будет доходность ценной бумаги (заметим, что среднее значение случайной погрешности равняется нулю).

КЛЮЧЕВЫЕ ПРИМЕРЫ И ПОНЯТИЯ

Проблема выбора портфеля активным инвестором

Классическая формулировка проблемы выбора портфеля относится к инвестору, который должен выбрать из эффективного множества портфель, представляющий собой оптимальную комбинацию ожидаемой доходности и стандартного отклонения, исходя из предпочтений инвестора относительно риска и доходности. На практике, однако, это описание неадекватно характеризует ситуацию, с которой сталкивается большинство организации, управляющих деньгами институциональных инвесторов.

Мы хотим рассмотреть, как можно модифицировать проблему выбора портфеля для того, чтобы удовлетворить потребности институциональных инвесторов,

Определенные типы институциональных инвесторов, такие, как, например, пенсионные и сберегательные фонды {которые мы будем называть клиентами), обычно нанимают внешние фирмы (которые мы будем называть менеджерами) в качестве агентов для инвестирования своих финансовых активов. Эти менеджеры обычно специализируются на каком-то одном определенном классе финансовых активов, таком, например, как обыкновенные акиии или ценные бумаги с фиксированным доходом. Клиенты устанавливают для своих менеджеров эталонные критерии эффективности. Этими эталонами могут быть рыночные индексы (например, S&P 500) или специализированные эталоны, которые отражают специфику инвестиций (например, растущие акции с малой капитализацией).

Клиенты нанимают менеджеров, которые в результате своей работы должны достигнуть эталонного уровня. Такие менеджеры называются пассивными менеджерами (см. гл. 24). Клиенты нанимают н др>іи менеджеров, которые должны превысить доходность, обеспечиваемую эталонными портфелями. Таких менеджеров называют

Для пассивных менеджеров проблема выбора портфеля является тривиальной: Они просто покупают и удерживают те ценные бумаги, которые соответствуют эталону. Их портфели называют индексными фондами. Для пассивных менеджеров нет никакой необходимости иметь дело с эффективными множествами и предпочтениями по риску и доходности. Данные понятия являются заботой их клиентов. (Эффективность выбранных клиентами эталонов я вляется огдельн ым вой росом, поэтом у МЫ : не будем здесь его рассматривать, хотя он очень важен.)

Перед активными менеджерами стоят гораздо более сложные задачи. Они должны сформировать портфели, которые обеспечивают доходность, превосходящую доходность установленных эталонов постоянно и на достаточную величину.

Наибольшей проблемой* препятствующей активным менеджерам, является недостаток информации. Даже наиболее способные из них совершают многочисленное количество ошибок при выборе ценных бумаг. Несмотря на небылицы, рассказываемые про менеджеров, которые обеспечивают каждый год рыночную доходность п 10 процентных пунктов, менеджеры, работающие на рынке обыкновенных акций, которые превышают эталонную доходность (после всех выплат и издержек) на і—2 процентных пункта ежегодно, рассматриваются как исключительно эффективные исполнители. Менеджеры с недостатком квалификации (под квалификацией в данном случае подразумевается умение точно прогнозировать доходность ценных бумаг) будут в проигрыше по сравнению с эталоном, так как их гонорары и операционные издержки уменьшают доходность.

Мы будем называть доходность, которую активный менеджер получает сверх эталонной доходности, активной доходностью (active returns). Например, менеджер, портфель которого обеспечивает доходность в 7\%, в то время как эталонный портфель обеспечивает доходность в 4\%, имеет активную доходность н 3\% (7\% - 4\%). Ожидаемая активная доходность наиболее искусных превысит ожидаемую активную доходность менее талантливых менеджеров. Однако в каждый конкретный период существует определенная вероятность того, что активная доходность менее способного менеджера превысит активную доходность высококвалифицированного менеджера.

Так как результаты инвестиционных решений активного менеджера являются неопределенными, их доходность относительно эталонной меняется в течение времени. Стандартное отклонение активной доходности будем называть активным риском (active risk).

Активные менеджеры (по крайней мере те, у которых есть способности к прогнозированию инвестиции) могут увеличить ожидаемую активную доходность, идя на больший активный риск. Предположим, что менеджер X предсказал, что акции IBM принесут доходность выше ожидаемой доходности эталонного портфеля. Акции IBM составляют 2\% а эталонном портфеле. Менеджер X может «поставить» на IBM, увеличив долю данных акций в своем портфеле до 4\%. Разницу между долей акций в реальном портфеле и в эталонном назовем активной позицией (activeposition) ( + 2\% — 4\% — 2\%). Если дела IBM складываются удачно, то активная доходность менеджера X увеличится за счет положительной активной позиции по IBM. Но если дела IBM пойдут плохо, то активная доходность менеджера X уменьшится. Чем более активна позиция менеджера X по IBM, тем больше ожидаемая активная доходность. Однако и активный риск менеджера при этом возрастает.

Активный риск (И, таким образом, активная ожидаемая доходность) может быть исключен, если включить в портфель все ценные бумаги в тех же долях, в которых они входят в установленный эталонный портфель. Пассивные менеджеры следуют этому подходу. Активные менеджеры принимают на себя активный риск, когда их портфель отличается от эталонного. Рациональные и иекченые активные менеджеры идут на активный риск только в том случае, когда они ожидают рос-та активной доходности.

Теперь становится ясной суть проблемы выбора портфеля для активного менеджера. ЕГО НЄ ПОЛНуеТ СООТНОШеНИе ОЖИ-:

даемой доходности портфеля и стандартного отклонения. Скорее менеджер выбирает между более высокой ожидаемой активной доходностью и более низким активным риском.

Данный процесс требует от найірщі положений о способностях менеШе|Ш?М; предсказанию доходности ценных бумаг. Имея такую информацию, мы можем построить для данного менеджера эффек шиной множество (исходя из ожидаемой активной доходности и активного риска), которое показывает комбинации наивысшей активной доходности на единицу активного риска и наименьшего активного риска на единицу ожидаемой активной доходности. Эффективное множество более искусных менеджеров будет находиться выше и левее эффективного множества их менее квалифицированных коллег.

Кривые безразличия, аналогичные рассматриваемым в классической теории вы-бора портфеля, отражают различные комбинации активного риска и активной доходности, которые менеджер считает равноценными. Крутизна наклона кривых безразличия отражает степень избегания риска инвестором и имеет непосредственное отношение к оценке менеджером реакции клиентов на различные результаты своей

Оптимальной комбинацией активного риска и активной доходности менеджера является та точка на эффективном множестве, в которой одна из кривых безразличия касается данного множества. Мы можем рассматривать данную точку как желаемый уровень агрессивности менеджера в реализации его прогнозов доходности ценных бумаг. Менеджеры (и их клиенты) с большей степенью избегания риска выберут портфель с меньшим уровнем активного риска. Наоборот, менеджеры и их клиенты, в меньшей степени избегающие риска, выберут портфель с более высоким уровнем активного риска.

 

Рассмотрим акции А, для которых а(/ = 2\% и Ь7 = 1,2. Это означает, что для акции А рыночная модель будет выглядеть следующим образом:

/• = 2\% + 1,2/- + глг (8.4)

Таким образом, если рыночный индекс имеет доходность в 10\%, то ожидаемая доходность ценной бумаги составляет 14\% (2\% + 1,2 х 10\%). Если же доходность рыночного индекса равняется —5\%, то доходность ценной бумаги А ожидается равной -4\% (2\% + 1,2 х (-5\%)).

8.3.1        Случайная погрешность

Член уравнения (8.3), известный как случайная погрешность (random error term), просто показывает, что рыночная модель не очень точно объясняет доходности ценных бумаг. Другими словами, когда рыночный индекс возрастает на 10\% или уменьшается на 5\%, то доходность ценной бумаги/) не обязательно равняется 14\% или -4\% соответственно. Разность между действительным и ожидаемым значениями доходности при известной доходности рыночного индекса приписывается случайной погрешности. Таким образом, если доходность ценной бумаги составила 9\% вместо 14\%, то разность в 5\% является случайной погрешностью (т.е. е = —5\%; этот факт будет проиллюстрирован на рис. 8.11). Аналогично, если доходность ценной бумаги оказалась равной -2\% вместо —4\%, то разность в 2\% является случайной погрешностью (т.е. еА1 = +2\%).

Случайную погрешность можно рассматривать как случайную переменную, которая имеет распределение вероятностей с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением, обозначенным aj. Таким образом, ее можно рассматривать как результат вращения колеса рулетки специального типа.

Например, случайную погрешность ценной бумаги А можно рассматривать как переменную, связанную с колесом рулетки, на котором равномерно расположены целые значения от —10\% до +10\%7. Это означает, что существует 21 возможный результат вращения колеса рулетки, каждый из которых равновероятен. Отсюда следует, что при заданном наборе чисел среднее значение случайной погрешности равняется нулю:

[ -Ю х 1/2,] + [-9 х 1/21] + ... + [9 х 1/21] + [Ю х 1/2,1 = 0.

Можно заметить, что данное вычисление представляет собой сумму произведений всех возможных результатов на вероятность их появления. Теперь можно показать, что стандартное отклонение данной случайной погрешности равняется 6,06\%:

{[(-10 - О)2 х 1/21] + (-9 - О)2 х 1/2,] + ... + [(9 - О)2 х V2I] +

+ [(10-0)2х 1/21]}'/2 = 6,06.

Данное вычисление включает в себя вычитание среднего значения из каждого возможного результата, затем возведение в квадрат каждой из этих разностей, умножение каждого квадрата на вероятность получения соответствующего результата, суммирование произведений и, наконец, извлечение квадратного корня из результирующей суммы.

Рисунок 8.9 представляет колесо рулетки, соответствующее этой случайной погрешности. В общем случае случайные погрешности ценных бумаг соответствуют рулеткам с другими крайними значениями и другими неравномерными интервалами между значениями. Хотя все они имеют математическое ожидание, равное нулю, стандартные отклонения у них могут быть различными. Например, ценная бумага В может иметь случайную погрешность с нулевым ожидаемым значением и стандартным отклонением, равным 4,7б\%8.

 

8.3.2 Графическое представление рыночной модели

Прямая линия в части (а) рис. 8.10 представляет собой график рыночной модели для ценной бумаги А. Эта линия связана с уравнением (8.4), но без учета случайной погрешности. Соответственно уравнение прямой, построенной для ценной бумаги А, выглядит следующим образом:

гЛ = 2\%+,2г,. (8.5)

Здесь по вертикальной оси отложена доходность ценной бумаги (г), а по горизонтальной оси доходность на рыночный индекс {г). Линия проходит через точку на вертикальной оси, соответствующую значению аА/, которое в данном случае составляет 2\%. Линия имеет наклон, равный В    или 1,2.

Часть (б) рис. 8.10 представляет собой график рыночной модели ценной бумаги В. Уравнение данной прямой имеет следующий вид:

г„ = -1\% + 0,8г,. (8.6)

Эта линия идет из точки на вертикальной оси, связанной со значением авр которое в данном случае равняется —1\%. Заметим, что наклон данной прямой равняется или 0,8.

8.3.3 «Бета»-коэффициент

Отметим, что наклон в рыночной модели ценной бумаги измеряет чувствительность ее доходности к доходности на рыночный индекс. Обе линии на рис. 8.10 имеют положительный наклон, показывающий, что чем выше доходность на рыночный индекс, тем выше доходности этих ценных бумаг. Однако прямые имеют различный наклон. Это означает, что бумаги имеют различную чувствительность к доходности на индекс рынка. Точнее, А имеет больший наклон, чем^В, показывающий, что доходность А является более чувствительной к доходности на рыночный индекс, чем доходность В.

Предположим, что ожидаемая доходность на рыночный индекс составляет 5\%.Тогда если фактическая доходность на рыночный индекс составит 10\%, то она превысит на 5\% ожидаемую доходность. Часть (а) рис. 8.10 показывает, что доходность ценной бумаги А должна превысить изначально ожидаемую доходность на 6\% (14\% — 8\%). Аналогично, часть (б) показывает, что доходность ценной бумаги В должна превысить изначально ожидаемую доходность на 4\% (7\% - 3\%). Причиной разности в 2\% (6\% - 4\%) является тот факт, что ценная бумага А имеет больший наклон, чем ценная бумага В, т.е. А является более чувствительной к доходности на рыночный индекс, чем В.

Коэффициент наклона рыночной модели часто называют «бета»-коэффициентом (beta) и вычисляют так:

 

Р,у = о/7 /о, (8.7)

где о обозначает ковариацию между доходностью акции / и доходностью на рыночный индекс, а о, обозначает дисперсию доходности на индекс. Акция, которая имеет доходность, являющуюся зеркальным отражением доходности на индекс, будет иметь «бета»-коэффициент, равный 1 (ему соответствует рыночная модель следующего вида: г = г + ги). То есть акции с «бета»-коэффициентом больше единицы (такие, как А) обладают большей изменчивостью, чем рыночный индекс, и носят название «агрессивные» акции (aggressive stocks). И наоборот, акции с «бета»-коэффициентом меньше единицы (такие, как В) обладают меньшей изменчивостью, чем рыночный индекс, и называются «оборонительными» акциями (defensive stocks)9.

 

8.3.4       Действительные доходности

Случайная погрешность позволяет сделать предположение, что при данной доходности на рыночный индекс действительная доходность ценной бумаги обычно лежит вне прямой, задаваемой уравнением рыночной модели10. Если действительные доходности на ценные бумаги А и В составляют 9 и 11\% соответственно, а действительная доходйость на индекс составляет 10\%, то можно заметить, что действительные доходности на А и В состоят из трех следующих компонентов:

Цені

Координаты точки пересечения          2\%

Произведение действительной доход-           12\%

ности на рыночный индекс и «бета»-

коэффициента

Величина случайной погрешности      -5\%

Действительная доходность      9\%

я бумага а    Ценная бумага в

-1\%

10\% х 1,2       8\% = 10\% х 0,8

 

9\% - (2\% + 12\%)   4\%. = 11\% - (-1\% + 8\%) 11\%

 

В данном случае можно просто сказать, что мы «прокрутили» колесо рулетки для А и Ви в результате этого действия получили значения (которые являются значениями случайной погрешности) — 5\% для А и + 4\% для В. Можно заметить, что данные значения равняются

■2^1 Диверсификация

Исходя из рыночной модели, общий риск ценной бумаги /, измеряемый ее дисперсией и обозначенный как о(, состоит из двух частей: (1) рыночный (или систематический) риск (market risk); (2) собственный (или несистематический) риск (unique risk). Таким образом, о. равняется следующему выражению:

 

°? = РХ+°с,. <8-8>

где а]обозначает дисперсию доходности на рыночный индекс, а) — рыночный риск ценной бумаги /', а с], — собственный риск ценной бумаги /, мерой которого является дисперсия случайной погрешности (е;/) из уравнения (8.3).

 

8.4.1        Общий риск портфеля

Что можно сказать об общем риске портфеля в случае, когда доходность каждой рисковой ценной бумаги из портфеля связана с доходностью рыночного индекса, что определяется моделью рынка? Если долю фондов инвестора, вложенную в ценную бумагу і данного портфеля р, обозначить через X., то доходность портфеля может быть вычислена по следующей формуле:

 

n

r, = IV/- (8.9)

/= і

Заменяя правую часть уравнения (8.3) на г. из уравнения (8.9), получим следующую рыночную модель портфеля:

і-1

In       n

(8.10а)

 

Подпись: ХДР,у '■, + S^// = «,/ + P^/ + e^,
Подпись: где
Подпись: (8.106)

 

P„/ = I>,P,/;

і- 1

n

(8.10в)

(8.10г)

 

В уравнениях (8.106) и (8.10в) показано, что координаты точки пересечения с вертикальной осью (ар1) и «бета» (В ) являются средневзвешенными значениями коэффициентов смещения и «беты» ценных бумаг соответственно, где в качестве весов берутся их относительные доли в портфеле. Аналогично в уравнении (8. Юг) случайная погрешность портфеля (є ;) является средневзвешенной случайных погрешностей ценных бумаг, где в качестве весов опять берутся их относительные доли в портфеле. Таким образом, рыночная модель портфеля является прямым обобщением рыночных моделей отдельных ценных бумаг, приведенных в уравнении (8.3)".

Из уравнения (8.10а) следует, что общий риск портфеля, измеряемый дисперсией его доходности и обозначенный а2 , выражается следующим образом:

2

tp '

(8.11а)

где

V

1>,Р,

(8.116)

 

Предполагая, что случайные отклонения доходности ценных бумаг являются некоррелированными, из этого уравнения получим:

 

(8.11 в)

 

Уравнение (8.11а) показывает, что общий риск портфеля состоит из двух компонентов, аналогичных двум компонентам общего риска отдельных ценных бумаг. Эти компоненты также носят название рыночного риска (В^о,) и собственного риска (о* ).

Далее мы покажем, что увеличение диверсификации (diversification) может привести к снижению общего риска портфеля. Это происходит вследствие сокращения собственного риска портфеля, в то время как рыночный риск портфеля остается приблизительно таким же.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 |