Имя материала: Инвестиции

Автор: Шарп У.

Учет возможности безрискового кредитования

С появлением на рынке безрискового актива инвестор получил возможность вкладывать часть своих денег в этот актив, а остаток — в любой из рискованных портфелей, содержащихся во множестве достижимости Марковица. Появление новых возможностей существенно расширяет множество достижимости и, что важнее, изменяет расположение значительной части эффективного множества Марковица. Суть этих изменений должна быть проанализирована, так как инвесторы заинтересованы в выборе портфеля из эффективного множества. При анализе сначала определяется ожидаемая доходность и стандартное отклонение для портфеля, состоящего из инвестиции в безрисковый актив в сочетании с одной рискованной ценной бумагой.

 

Э.2.1       Одновременное инвестирование в безрисковый и рискованный активы

В гл. 7 рассматривались компании Able, Baker и Charlie со следующими ожидаемыми доходностями, дисперсиями и ковариациями, записанными в форме вектора ожидаемой доходности и ковариационной матрицы:

 

 

16,2

 

146 187

145

ER =

24,6

; VC=

187 854

104

 

22,8

 

145 104

289

Определив безрисковый актив как ценную бумагу с номером 4, рассмотрим все портфели, состоящие из инвестиций только в акции компании Able и в безрисковый актив. Пусть Х1 обозначает часть средств инвестора, вложенную в акции компании Able, и Х4 = 1 — Xt обозначает долю, инвестированную в безрисковый актив. Если инвестор вкладывает все деньги в безрисковый актив, то Хх = 0 и ЛГ4 = 1. Аналогично, если инвестор вкладывает все деньги в акции компании Able, то Х1 = 1 и Х4 = 0. Возможна, например, комбинация 0,25 в акции Able и 0,75 в безрисковый актив, а также другие комбинации: 0,50 и 0,50 или 0,75 и 0,25 соответственно. Хотя существует множество других возможных портфелей, рассмотрим эти пять комбинаций:

Портфели

а          в          с          d          е

X,        0,00     0,25    0,50    0,75    1,00

Х2        1,00    0,75    0,50    0,25    0,00

Если предположить, что безрисковый актив имеет ставку доходности (rf), равную 4\%, то мы будем иметь всю необходимую информацию для вычисления ожидаемых доходностей и стандартных отклонений этих портфелей. Для вычисления ожидаемых доходностей может быть использовано уравнение (7.3а) из гл. 7:

N

 

/= 1

4    _ (7.3а) = Ї.Х.гіш

i= I

Портфели А, В, С, D и Е не включают инвестиций во вторую и третью ценные бумаги (т.е. в акции компаний Baker и Charlie). Это означает, что для этих портфелей Х2 = 0 и Х} = 0. В этом случае предыдущее уравнение сводится к следующему:

Г р = X) г 1 +Х4 г 4 =

= (*, х 16,2\%)+(*4х4\%), где ставка доходности по безрисковому активу обозначается через г.

Для портфелей А и Е это вычисление тривиально, так как все средства инвестора помещаются только в одну ценную бумагу. Поэтому их ожидаемые доходности равны 4 и 16,2\% соответственно. Для портфелей В, С и D ожидаемые доходности равны соответственно:

rB = (0,25 х 16,2\%) + (0,75 х 4\%) =

= 7,05\%; г с = (0,50 х 16,2\%) + (0,50 х 4\%) =

= ю,ю\%;

г D = (0,75 х 16,2\%) + (0,25 х 4\%) = = 13,15\%-

Стандартные отклонения портфелей А и £ являются просто стандартными отклонениями безрискового актива и акций Able соответственно. То есть аА = 0\% и 0^=12,08\%. Для вычисления стандартных отклонений портфелей В, С и D должно быть использовано уравнение (7.7) из гл. 7:

 

 

о =

N N і- 1 у= I

 

1/2

 

 

(7.7)

1/2

 

i= 1 J= I

Так как для этих портфелей Х2 = 0 и Х} = 0, то это уравнение сводится к виду:

 

[   1   1    11      1   4   14     4   1   41      4   4 44J

:^,v,j1/2

Поскольку ценная бумага под номером 4 является безрисковой и поэтому, по определению, 04 = 0 и 014 = 0, возможно дальнейшее упрощение. В соответствии с этим получаем:

 

= [^х14б]1/2 = = Х,х 12,08\%.

Таким образом, стандартные отклонения портфелей В, С и D равны:

 

 

<3г =

0,25 х 12, 3,02\%; 0,50 х 12, 6,04\%; 0,75 х 12, 9,

Подытоживая, можно сказать, что пять портфелей имеют следующие ожидаемые доходности и стандартные отклонения:

Портфель

А В С D Е

 

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00

х4        Ожидаемая

доходность (в \%)

1,00    4,00

0,75    7,05

0,50    10,10

0,25    13,15

0,00    16,20

Стандартное отклонение (в \%)

0,00 3,02 6,04 9,06 12,08

Эти портфели изображены на рис. 9.1. Из рисунка видно, что все они лежат на прямой линии, соединяющей точки, соответствующие безрисковому активу и акциям компании Able. Хотя было рассмотрено только пять конкретных комбинаций безрискового актива и акций Able, можно показать, что любая подобная комбинация будет лежать на этой прямой линии. Точное положение этой точки будет зависеть от пропорции инвестиций в эти два актива. Далее, это наблюдение может быть обобщено на основе комбинации безрискового актива и любого рискованного актива. Это означает, что любой портфель, состоящий из комбинации безрискового и рискованного активов, будет иметь ожидаемую доходность и стандартное отклонение, которые лежат на одной прямой, соединяющей точки, соответствующие этим активам.

Э.2.2      Одновременное инвестирование в безрисковый актив и в рискованный портфель

Теперь рассмотрим, что происходит, когда портфель, состоящий из более чем одной рискованной ценной бумаги, объединяется с безрисковым активом. Например, рассмотрим рискованный портфель РАС, состоящий из акций Able и Charlie в долях 0,80 и 0,20 соответственно. Его ожидаемая доходность (обозначаемая гРАС) и стандартное отклонение (обозначаемое оРАС) равны:

'' РАС = (0,80 х 16,2\%) + (0,20 х 22,8\%) = = 17,52\%;

аРлс = [(0,80 х 0,80 х 146) + (0,20 х 0,20 х 289) + (2 х 0,80 х 0,20 х 145)]|/2 = = 12,30\%.

Любой портфель, состоящий из инвестиций в РАС и в безрисковый актив, имеет ожидаемый доход и стандартное отклонение, которые могут быть подсчитаны аналогично тому, как это было сделано для комбинаций некоторого актива и безрискового актива. Портфель, доля ХРАС которого инвестирована в портфель РАС, а доля Л4= 1 — X с -в безрисковый актив, имеет следующие ожидаемую доходность и стандартное отклонение:

 

^ рлс = **c>< 12,30\%.

Рассмотрим, например, инвестицию в портфель, состоящий из РАС и безрискового актива в пропорциях 0,25 и 0,75 соответственно2. Этот портфель имеет следующую ожидаемую доходность:

г = (0,25 х 17,52\%) + (0,75 х 4\%) = = 7,38\%.

На рис. 9.2 показано, что портфель лежит на прямой линии, соединяющей безрисковый актив и РАС. Конкретный портфель обозначен точкой Р на этой прямой. Другие портфели, состоящие из различных комбинаций РАС и безрискового актива, также будут располагаться на этой линии. Точное их расположение будет зависеть от относительных пропорций инвестиций в РАС и безрисковый актив. Например, портфель, состоящий из инвестиций в пропорции 0,50 в РАС и 0,50 в безрисковый актив, будет расположен точно посередине между двумя концами.

Подытожим результаты. Объединение безрискового актива с рискованным портфелем можно рассматривать точно так же, как объединение безрискового актива с рискованной ценной бумагой. В обоих случаях результирующий портфель имеет ожидаемую доходность и стандартное отклонение, лежащие на прямой линии, соединяющей две крайние точки.

9.2.3      Влияние безрискового кредитования на эффективное множество

Как уже говорилось, множество достижимости существенно изменяется в результате рассмотрения безрискового кредитования. На рис. 9.3 показано, как меняется множество достижимости для рассматриваемого примера. Теперь в сочетании с безрисковым активом рассматриваются всевозможные комбинации не только акций Able и РАС, но и всех остальных рискованных активов и портфелей. В частности, обратите внимание на то, что две границы являются прямыми линиями, выходящими из точки, соответствующей безрисковому активу. Нижняя линия соединяет две точки, соответствующие безрисковому активу и акциям Baker. Поэтому она представляет портфели, являющиеся комбинациями акций компании Baker и безрискового актива.

Другая прямая линия, выходящая из точки, соответствующей безрисковому активу, представляет комбинации безрискового актива и определенного рискованного портфеля из эффективного множества модели Марковица. Эта линия является касательной к данному эффективному множеству (в точке, обозначенной 7). Точка касания представляет рискованный портфель, состоящий из акций Able, Baker и Charlie в пропорци-ях 0,12 : 0,19 : 0,69 соответственно. Подставив эти пропорции в уравнения (7.3а) и (7.7), получим, что ожидаемый доход и стандартное отклонение в точке Г равны 22,4 и 15,2\% соответственно.

Хотя и другие рискованные эффективные портфели из модели Марковица могут быть скомбинированы с безрисковым активом, портфель Г заслуживает особого внимания. Почему? Потому что не существует портфеля, состоящего из рискованных ценных бумаг, который, будучи соединен прямой линией с точкой, соответствующей безрисковому активу, лежал бы левее и выше его. Другими словами, из всех линий, которые могут быть проведены из точки, соответствующей безрисковому активу, и соединяют эту точку с рискованным активом или рискованным портфелем, ни одна не имеет больший наклон, чем линия, идущая в точку Т.

Это важно потому, что часть эффективного множества модели Марковица отсекается этой линией. В частности, портфели, которые принадлежали эффективному множеству в модели Марковица и располагались между минимально рискованным портфелем, обозначенным через V, и портфелем Т, с введением возможности инвестирования в безрисковые активы не являются эффективными. Теперь эффективное множество состоит из прямого и искривленного отрезка. Прямой отрезок идет от безрискового актива в точку Ти поэтому представляет портфели, составленные из различных комбинаций безрискового актива и портфеля Т. Искривленный отрезок расположен

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 |