Имя материала: Инвестиции

Автор: Шарп У.

Приложение б

 

Определение структуры «касательного» портфеля Т

 

«Угловые» портфели и портфель Т

При обобщении модели Марковица с учетом безрисковых возможностей эффективное множество становится прямой линией, проходящей через точку, соответствующую портфелю Т. Этот портфель называется «касательным» портфелем, поскольку он соответствует точке, в которой прямая, исходящая из точки безрисковой ставки, касается эффективного множества Марковица.

Определение структуры портфеля Г (а следовательно, и его расположения) требует тех же процедур, которые были представлены в Приложении А гл. 8. В примере, изображенном на рис. 9.7, портфель Т располагался на эффективном множестве модели Марковица. На рис. 8.13 этот портфель лежит между вторым и третьим «угловыми» портфелями, обозначенными С(2) и С(3) соответственно. Так как Глежит между этими двумя «угловыми» портфелями, то его структура является взвешенным средним структур С(2) и С(3), которые показаны в табл. 8.1. Эти веса [0,86 для С(2) и 0,14 для С(3)] могут быть определены графически путем проведения горизонтальной линии от точки Г до вертикальной оси, по которой измеряется ожидаемая доходность.

В данном примере ожидаемая доходность портфеля Т равна 22,4\%. Так как Т располагается между С(2) и С(3), то его ожидаемая доходность должна равняться взвешенной средней ожидаемых доходностей С(2) и С(3). Таким образом, структура в терминах С(2) и С(3) может быть определена при помощи уравнения (8.13) при г* = 22,4\%, 7" = 23,20\% и 7* = 17,26\%:

22,4\% = (23,20\% х У) + [17,26\% х (1 - У)].

Решением этого уравнения является Y= 0,86. Это означает, что портфель Г состоит из С(2) и С(3) в пропорциях 0,86 и 0,14 соответственно.

В терминах величин инвестиций в акции компаний Able, Baker и Charlie это означает:

Подпись: [0,86 х Х(2) + [0,14 х Х(3)] = 0,86 х

 

 

 

0,00

 

' 0,84

 

0,12 '

0,86 х

0,22

+ 0,14 х

0,00

=

0,19

0,78

0,16

 

0,69

То есть портфель /"состоит из 12\% инвестиций в акции компании Able, 19\% — в акции Baker и 69\% - в акции Charlie.

 

Щ^^Ш   Рыночная модель и портфель Т

Имеется и другой метод определения структуры портфеля Т, который не требует определения «угловых» портфелей и, следовательно, является более простым, чем только что описанный. (Все, что требуется для применения этого метода, — это знание электронных таблиц.) Предполагается, что доходности ценной бумаги могут быть описаны рыночной моделью, а также, что существует возможность безрискового заимствования и кредитования по ставке rf Метод, разработанный Элтоном, Грубером и Падбергом (Elton, Gruber, Padberg), далее называемый EGP, можно объяснить на примере10.

Представьте, что инвестор хочет найти «касательный» портфель Т, связанный со следующими 10 ценными бумагами:

 

Номер ценной

Ожидаемая

«Бета»

Несистемат»

бумаги/

доходность( г . ) (в \%)

(Pi/)

риск (а

1

15,0

1,0

50

2

17,0

1,5

40

3

12,0

1,0

20

4

17,0

2,0

10

5

11,0

1,0

40

6

11,0

1,5

30

7

11,0

2,0

40

8

7,0

0,8

16

9

7,0

1,0

20

10

5,6

0,6

6

 

Далее предположим, что дисперсия портфеля рыночного индекса а/ равна 10, а безрисковая ставка г{ равна 5\%.

Алгоритм EGP начинается с замечания, что наклон линии, выходящей из точки rf и проходящей через любой конкретный портфель (р), равен (G):

 

«Касательный» портфель /"определяется как имеющий максимальную тхэту (G). Для поиска портфеля, имеющего максимальную G, применяется следующий пятишаго-вый алгоритм:

Упорядочить ценные бумаги в порядке убывания отношений доходности к систематическому риску (reward-to-volatility ratio):

 

RVOL, = (9.2)

(Отметим, что числитель этого выражения представляет собой ожидаемое «вознаграждение» за приобретение ценной бумаги, а знаменателем является соответствующий ей В-коэффициент. Это отношение иногда называют отношением Трейнора — см. гл. 25.) В колонке (2) таблицы на с. 255 эти бумаги упорядочены по убыванию RVOL.

Начиная с верха таблицы, добавлять ценные бумаги одну за другой и вычислять Ф:

Подпись: ф.=о;, і" і  а .

2 tj

(9.3)

 

у-юеу

Результаты представлены в колонке (3).

Сравнивать величины Ф. с соответствующими RVOL. до тех пор, пока Ф. меньше RVOLr С некоторого момента это соотношение изменится на противоположное. Пусть к — максимальный номер, для которого это соотношение еще не выполнено. Тогда ценные бумаги с 1 по к будут иметь не нулевые веса в портфеле Т, а остальные — нулевые. Таким образом, Фк является «ставкой отсечения» для RVOL.

Заметьте, что в колонке (3) для первых пяти рядов RVOL. больше, чем Ф., а затем до конца таблицы становится меньше, чем Ф Поэтому к = 5 и «ставка отсечения» (обозначенная звездочкой в колонке (3)) равняется 5,45. Чтобы входить с не нулевым весом в портфель Т, ценные бумаги должны иметь отношение доходности к систематическому риску большее, чем 5,45.

Вычислить величины Z, чтобы определить, с какими весами будут входить в портфель первые к ценных бумаг:

 

2

Г'~Г/

Р,7

Ф.

(9.4)

 

Значения Z. для і = к + 1,     N полагаются равными нулю.

Значения Zf показаны в колонке (4). Так как к = 5, обратите внимание на то, что Z6, Z10 равны нулю, a Zp     Z5 — положительные числа.

5.   Разделить каждую Z на сумму Z. для получения весов для ценной бумаги /:

 

n

*, = Vl*,. (9.5)

; = i

Это сделать необходимо, так как сумма Z обычно не равна единице".

В примере сумма равняется 0,3879. Следовательно, вес первой ценной бумаги равен = 0,0910/0,3879=0,2345. Этот и другие веса показаны в колонке (5) таблицы.

Приложение В

 

Определение структуры оптимального портфеля

инвестора

 

После того как инвестор определил положение прямого участка эффективного множества путем нахождения «касательного» портфеля, можно приступать к определению структуры его оптимального портфеля. Этот портфель, обозначаемый О* на рис. 9.8, соответствует точке касания эффективного множества и одной из кривых безразличия инвестора. Процедура нахождения структуры этого портфеля аналогична описанной для модели Марковица в Приложении А к гл. 8. Вначале инвестор находит графически уровень ожидаемой доходности портфеля О*. Для этого он измеряет ординату точки О*, проводя через нее горизонтальную прямую до пересечения с вертикальной осью.

Если ожидаемую доходность оптимального портфеля обозначить через г*, а безрисковая ставка и ожидаемый доход касательного портфеля равны rfM г т соответственно, то для определения структуры оптимального портфеля вначале должно быть решено относительно К следующее уравнение:

 

г* = (ггхУ) + {Г/х(-У)]. (9.6)

Оптимальный портфель будет состоять на долю У из «касательного» портфеля и на долю (1 — К) из безрискового актива. Таким образом, пропорции ценных бумаг в оптимальном портфеле определяются умножением их пропорций в «касательном» портфеле на Y.

В примере, если оптимальный портфель инвестора соответствует портфелю, изображенному в части (а) рис. 9.8, то г* = 14\%. При этом уравнение (9.6) будет записано так:

14\% = (22,4\% х Y) + [4\% х (1 - У)], (9.7)

так как г т = 22,4\% и г = 4\%. Решением уравнения (9.5) является У= 0,54. Это означает, что оптимальный портфель состоит на 0,54 из «касательного» портфеля и на 0,46 из безрискового актива.

В терминах инвестиций в акции компаний Able, Baker и Charlie это означает:

 

 

0,12

 

0,07'

0,54 х

0,19

=

0,10

 

0,69

 

0,37

Таким образом, инвестор должен инвестировать часть начального капитала в долях 7\%, 10 и 37\% в акции компаний Able, Baker и Charlie соответственно. Далее, 46\% начального капитала должны быть использованы для покупки казначейских векселей (безрискового актива).

Аналогично, если оптимальный портфель инвестора соответствует портфелю, изображенному в части (б) рис. 9.8, то /• * = 27\%. При этом уравнение (9.6) будет записано так:

27\% = (22,4\% х Y) + [4\% х (1 - Y)], (9.8)

а его решением будет Y = 1,25. То есть оптимальный портфель состоит из получения займа в размере 25\% начального капитала и из инвестирования занятых денег и начального капитала в портфель Т. В терминах инвестиций в акции компаний Able, Baker и Charlie получим:

Таким образом, инвестор должен инвестировать деньги вдолях 15, 24 и ного капитала в акции компаний Able, Baker и Charlie соответственно,

его началь-

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 |