Имя материала: Экономическая эффективность и конкурентоспособность

Автор: Д.Ю. Муромцев

4.3. методы принятия управленческих решений

 

4.3.1. Принятие решений с использованием байесовского подхода и экспертных оценок

Применение современных пакетов, систем и технологий, например, ERP, e-CRM, SCM, XML и других, не снимает полностью неопределенность для лица, принимающего окончательное решение, от которого может зависеть успех фирмы или проекта. Для снижения вероятности ошибок при оперативном решении ответственных задач предлагается итерационный алгоритм, представляющий собой комбинацию метода экспертных оценок и байесовского подхода [1, 2].

Пусть требуется из множества V ={о1, и2,      un} вариантов решений, показатели эффективности которых примерно

одинаковы, выбрать наиболее целесообразный и* для реализации.

Обработка результатов работы "узкой" группы экспертов показала, что их мнения не могут быть признаны согласованными (коэффициент конкордации низок) и среди рассматриваемых вариантов нет выделяющегося "лидера".

Идея алгоритма заключается в последовательном привлечении дополнительных экспертов и подсчета для каждого проекта и є V средней апостериорной вероятности того, что этот проект является оптимальным. Работа продолжается до тех пор, пока средняя апостериорная вероятность одного из проектов оа множества V не будет существенно выше, чем для альтернативных проектов. При соблюдении некоторых условий на возможные исходы последующих экспертиз данный проект оа считается оптимальным.

Результат работы каждого дополнительно привлекаемого эксперта рассматривается как исход проведенного опыта, и расчет апостериорной вероятности производится по формуле Байеса, т.е.

P(A( j)l H)P(H )         

P(H l A(.)) =        , г = 1,n, (4.11)

J P(A( j)l Нг )P(H )

г=1

 

где Hi - предположение (гипотеза) о том, что вариант ui является оптимальным; A(j) - результат экспертизы (событие) об оптимальности варианта и j; n - число рассматриваемых вариантов (мощность множества V); P(Hi), P(Hi / A(j)) -априорная и апостериорная вероятности гипотезы Hi, соответственно; P(A(j) /Hi) - вероятность события A(j), если имеет

место гипотеза Hi (правдоподобие).

Будем полагать, что событие A( j) произошло, если вариант и j очередной эксперт расположил на 1-е место при n = 2...3, и на 1-е или 2-е место при n > 3 .

Если произошло событие A(j), то апостериорная вероятность P(Hi /A(j)) рассчитывается по формуле, аналогичной (4.11), т.е.

P(A( 0/ Hi )P(Hi)

£ P( A( j)/ Hi )P(Hi)

i=1

где P(Hi / A( j)) - апостериорная вероятность гипотезы Hi при событии A(j).

По результатам работы очередного k-го эксперта рассчитываются усредненные апостериорные вероятности по формуле

Pk (Hi / A) = і £ P(Hk / A(j)), i, j = 1, n (4.13)

n j=1

A = {A( j), j = 1n},

где A( j) - событие, связанное с проверкой гипотезы Hkj , т. е. того, что k-й эксперт вариант и j поставит на первые места, для части слагаемых суммы имеет место A( j), для другой - A( j).

Вероятности P(Hi),P(Hi / A(j)),P(Hi /A(j)),Pk(Hi / A) естественно удовлетворяют условию полноты группы событий,

т. е.

£ P(H.) = 1, £ P(Hi / Aj) = 1, £ P(H. / Aj) = 1, £ Pk (Hi / A) = 1

i =1      i =1      i =1      i =1

и p(aj) /Hi)+P(A(j) / Hi) = 1, i, j = u

В качестве оптимального варианта и* после k-й экспертизы берется тот, для которого вероятность, рассчитанная по формуле (4.13), максимальна и выполняется условие, что некоторое наперед заданное число m последующих экспертиз не изменяет соотношения

Pk+m (H (и*)/ A) = max{Pk+m (H (и)/ A)}, (4.14)

 

где H(и*) - гипотеза об оптимальности варианта и*, H(и-) = Hi.

При использовании байесовского подхода для решения подобных задач важную роль играет формализация правила "остановки" в процессе проведения экспертиз. С одной стороны, своевременное прекращение итераций экономит средства, затрачиваемые на проведение экспертиз. С другой стороны, необходима уверенность, что дальнейшее привлечение экспертов не приведет к кардинальному изменению усредненной апостериорной вероятности и принятию другого варианта для реализации.

Наиболее естественно решение об "остановке" принимать по двум показателям: числе m дополнительных экспертов, высказывания которых могут изменить выбор оптимального варианта, и вероятности Pm того, что результаты высказываний этих экспертов приведут к изменению варианта, т.е. гипотезы, для которой усредненная апостериорная вероятность максимальна.

Определение показателей m и Pm произведем при следующих допущениях:

в множестве V можно выделить два лидирующих варианта иа и иь;

проведена обработка мнений k экспертов, при этом варианту иа отдавалось предпочтение (исход A ) ka раз (ka < k) и варианту иь (исход В)- kb раз ((b < ka), т.е. по результатам k итераций вариант ka считается предпочтительным (вероятность Pk (H (иа)/ A) - максимальна);

в качестве вероятностей исходов A и B принимаются оценки

Pa=k; Рь = k, (4-15)

причем вероятность Pa > 0,5 ;

исходы A и B при последующих высказываниях экспертов являются независимыми и совместимыми;

очередность исходов в m экспертизах не влияет на конечный результат.

При данных допущениях имеет место следующая лемма. Лемма 1. Если

Pk (H (U a )/ А ) > Pk (H (Ub V А ) и ка > kb,

то соотношение

Pk+m (H (Ua )/ А ) > Pk+m (H (иь )/ А )      (4.16)

становится возможным при

m >(ka - kb ) +1. (4.17) Доказательство леммы непосредственно следует из формулы Байеса (4.11) и принятых допущений.

Для определения вероятности Pm(b), характеризующей возможность неравенства (4.16), используем комбинацию моделей Бернулли для повторяющихся испытаний.

Лемма 2. Если имеет место Pk (H (ua)/А )> Pk (H (ub)/А ), ка > kb, и m > 2 (4.7), то вероятность выполнения неравенства (4.6) при минимальном значении m определяется формулой

Pm (b)=(1 - Pa )mPbm . (4.18)

Равенство (4.18) означает, что все m привлекаемых дополнительно экспертов выскажутся отрицательно относительно варианта ua (исходы A) и положительно относительно ub (исходы B). Формула (4.18) непосредственно следует из распределения вероятностей возможных сложных событий при m испытаниях, в которых события A и B могут принимать по два исхода с разными вероятностями. Такое распределение при использовании моделей Бернулли для событий A и B имеет следующий вид:

Pm (b) = [Z CVnPl (1 - Pa       V]x|X CiPb (1 - Pb )

Vv=0   / Vv=0

(4.19)

где сп =~гґ     77, Cm = 1, Cm = 1.

v!(m - v)!

Следует заметить, что вероятности Pa , Pb (см. (4.15)) необходимо корректировать после каждой итерации.

 

4.3.2. Метод Шортлифа-Бьюкенена

 

Использование формулы Байеса требует знаний априорных и условных вероятностей, для оценки которых необходимы статистические данные. При этом встречаются следующие трудности: большая трудоемкость получения представительной выборки, особенно в случае многомерных распределений; необходимость принятия решений в условиях редко повторяющихся ситуаций, наблюдение за которыми требует длительного времени; изменение характера распределений и взаимосвязи между данными и ситуациями со временем, особенно для экономических показателей развивающихся предприятий и др. Стендфордская теория фактора уверенности или модель (метод) Шортлифа и Бьюкенена (МШБ) позволяет делать оперативные выводы на основе неполных знаний. Для этого вместо сбора представительной выборки собираются и обрабатываются мнения экспертов и ЛПР, которые затем интерпретируются в вероятностном смысле.

Преимущество МШБ по сравнению с системой условных вероятностей, применяемых при байесовском подходе, заключается в следующем [6]:

возможно использование фундаментальных знаний и теоретических закономерностей;

возможно применение опытного знания для рассмотрения малых групп экономических объектов, имеющих разные классы проблемных ситуаций, для которых нет достаточного статистического материала;

легкость модификации алгоритма решения, так как продукционные правила не связаны эксплицитно одно с другим и нет необходимости строить заранее структурированное дерево решений;

изменение правил и добавление новых не требует анализа сложных взаимосвязей с другими частями системы исходных данных и промежуточных результатов;

облегчается поиск потенциальных конфликтов и несовместимостей в базе знаний;

используются простые механизмы объяснений вычислительного процесса;

-           можно информировать пользователей только о той части процесса решения, которая ему необходима. Важную роль в МШБ играют понятия меры уверенности и меры неуверенности.

Мера (measure) уверенности или доверия (believe) МВ в соответствии с равенством MB [h, x ] = а означает, что

степень или мера уверенности в некоторой гипотезе h, основанная на свидетельстве х, есть а. Гипотеза h может заключаться в предпочтительности одного из альтернативных вариантов v проектного решения.

МВ рассматривается не как формальная оценка, которую эксперт (или ЛПР) добавляет к заключениям типа "вероятно, это так", "почти наверняка, это так" и т. п.

Мера неуверенности или недостоверности (distrust) MD или MD [h, x ] = р  означает, что степень или мера

неуверенности в h , основанная на свидетельстве x, есть р .

Стендфордская теория фактора уверенности основывается на следующих предположениях. Во-первых, в методах, использующих классические положения теории вероятности, при оценке экспертом истинности некоторого отношения

(например, значением 0,8) не учитывается, что отношение может быть и ложным. Здесь правило равенства единице суммы вероятностей отношения и его отрицания не распространяется на все ситуации.

Во-вторых, во многих случаях при абдуктивном выводе "знание самих правил немного важнее, чем знание алгебры для вычисления их достоверности".

Абдукция является необоснованным правилом вывода, означающим, что заключение необязательно истинно для каждой интерпретации, при которой истинны предпосылки.

Значения МВ и MD, как и для вероятности, всегда должны находиться в интервале [0, 1]. Свидетельства могут быть не только наблюдаемыми, но и гипотезами. Например, MB [h1, h2 ] есть мера увеличения уверенности в гипотезе h1 при

условии, что гипотеза h2 является истинной.

Одно и то же свидетельство x не может выступать как в пользу, так и против гипотезы, т.е.

если MB[h,x]>0 , то MD[h, x ] = 0 ; (4.20)

если MD [h, x ]> 0, то MB [h, x ] = 0. (4.21)

Если гипотеза h не зависит от свидетельства x, т.е. условная вероятность P(h / x) равна априорной вероятности P (h),

то

MB [h, x ]=MD [h, x]. (4.22)

Определение МВ и MD производится с использованием соотношений

1 ,        если p (h) = 1;

MB [h, x] = і max{p (h /x), p(h)}- p(h)           ч , (4.23)

            —               ; —i-^-L, если p (h)<1;

I           1 - p (h)

1,         если p (h) = 0;

min {p (h / x), p (h)}- p (h)     (h) 0 (4.24)

<.r v     , если p(h)>0,

MD [h, x] =

p (h)

где p (h) - априорная вероятность гипотезы h ; p (h / x) - условная вероятность h при свидетельстве x.

Вероятность p (h) отражает уверенность эксперта в истинности гипотезы h в любой момент времени, а 1- p (h) -

оценка неуверенности эксперта в истинности h . Если p(h / x)> p(h) , то x увеличивает уверенность эксперта в h . Если

p(h / x)< p(h),  то        x          уменьшает      уверенность   в h

(и увеличивает неуверенность в истинности h ).

Для расчета МВ и MD допускается использование упрощенных формул

MB[h,x]= p(h/x)-p(h), если p(h/x) >p(h); (4.25)

p(h)

MD [h, x]= p (h)- p (h / x) , если p (h / x) <p (h) . (4.26) p (h)

Наряду с МВ и MD в МШБ используется также коэффициент или фактор уверенности CF (certainty factor), вычисляемый по формуле

p)(h), если P(h/x)> P(h); (4.28) если p(h/x)<p(h), (4.29)

CF[h, x]= MB[h, x]-MD[h, x], CF[h, x]є[-1; 1] (4.27)

или

CF[h, x]=

1- P (h) p (h / x)-p (h) p(h)

>(h / x)-j

при этом p(h )^ 0; 1.

Например, гипотеза h - стабильная доходность предприятия региона. Априорная вероятность на основе статистических данных составляет p (h) = 0,6 (для предприятия без указания его профиля). Пусть в качестве свидетельства x рассматривается, что предприятие производит электронную продукцию и p (h)=0,8. В этом случае в соответствии с формулами (4.23, 4.24)

..D[;]  max {0,8; 0,6}-0,6   А_   . ,Г1[;]  min {0,8; 0,6}-0,6

MB [h, x]=      ^ J—— = 0,5; MD [h, x]=      1         J            — = 0 ;

1 -0,6   - 0,6

CF[h, x]= 0,5 -0 = 0,5 .

Следует заметить, что при данном подходе

CF [h, x ] + CF [h, x ] ^ 1, (4.30)

здесь h - отрицание h .

К основные свойства мер МВ и MD относятся следующие: 1) если h - достоверная гипотеза, то

p (h / x) = 1,   MB [h, x]= 1,   MD [h, x ] = 0,   CF [h, x] = 1;           (4.31)

если достоверно h (отрицание h), то

p (h / x)=1,   MB [h, x ] = 0,   MD [h, x] = 1,   CF [h, x] = -1;           (4.32)

в случае недостатка свидетельств

MB [h, x ] = 0,   MD [h, x] = 0,   CF [h, x]= 0,          (4.33)

т.е. здесь свидетельство x не подтверждает гипотезу h0 и не отвергает ее.

В случае упорядоченного наблюдения двух свидетельств сначала x1 и затем x2 расчет МВ и MD производится по формулам.

0, если MD [h, x1 л x2 ] = 1;

MB [h, x1 л x2 ] = і MB [h, x1 ] + MB [h, x2 ] (1 - MB [h, x1 ]);     (4.34)

если MD [h, x1 л x2 ] Ф1;

0, если MВ [h, x1 л x2 ] = 1;

MD [h, x1 л x2 ] = і MD [h, x1 ] + MD [h, x2 ] (1 - MD [h, x1 ]);    (4.35)

если MВ [h, x1 л x2 ] Ф1;

 

CF[h,x]= P(h/x)-P(h) . (4.36)

1 - P (h)

В случае двух гипотез h1, h2 для расчетов можно использовать приближенные формулы:

MB[h1 лh2,x]min{MB[h1,x], MB[h2,x]};     (4.37)

MD [h1 v h2, x]« min { MD [h1, x], MD [h2, x]};    (4.38)

MB [h1 v h2, x]« max { MB [h1, x], MB [h2, x]};    (4.39)

MD[h1 лh2,x]max{MD[h1,x], MD[h2,x]}.   (4.40)

Есть истинность или ложность части свидетельств x1 не известна с полной определенностью, но известно значение CF,

основанное на априорных данных  x1   и оно отражает степень уверенности в  x1, тогда MB1 [h, x]          и MD1 [h, x]

рассматриваются соответственно, как степени уверенности и неуверенности в h , когда известно, что     x1 с полной

определенностью является истинным. В этом случае имеет место

MB [h, x] = MB1 [h, x1 ] = max {0, CF [x1, x1 ]};   (4.41)

MD [h, x] = MD1 [h, x1 ] = max {0, CF [x1, xl ]},   (4.42)

здесь MB1 ((MD1) - мера доверия (недоверия) в случае, если известно, что x1 истинно; x1 - все имеющиеся данные.

4.3.3. Метод Демпстера-Шафера

 

Для учета достоверности используемой информации при выработке решений широкое применение находит метод Демпстера-Шафера [8].

Теорию Демпстера-Шафера (ТДШ) можно рассматривать как развитие байесовского подхода по уточнению апостериорных вероятностей по мере накопления данных на случаи, когда неизвестны законы распределения вероятностей исследуемых переменных и параметров. При байесовском подходе требуется знание точных значений вероятностей, здесь отсутствию знаний соответствует равновероятность событий, т. е. как в случае полного незнания, так и случае равных вероятностей событиям Ai приписываются одни и те же значения p(Ai) [1]. Кроме того, для гипотезы (события) А всегда

выполняется условие p(A) + p(A)=1. Используемые в ТДШ аксиомы слабее аксиом теории вероятностей, вместе с тем получаемые результаты обработки данных совпадают, если все вероятности, т.е. понимаемые в этом смысле показатели, точно известны. Во многих случаях свидетельства, частично подтверждающие гипотезу, не обязательно подтверждают ее отрицание.

В основе ТДШ лежат две идеи: первая - возможность получения степени доверия для решаемой задачи из субъективных свидетельств о связанных с ней проблемах; вторая - использование правила объединения свидетельств, если они основаны на независимых высказываниях.

Для реализации этих идей используются следующие положения.

Воздействие свидетельств распространяется на степенное множество 2е множества базовых элементов (исходов) {8}, которые являются полной группой взаимоисключающих событий, называемой фреймом гипотез.

Функция вероятности приписывается каждому дизъюнктивному подмножеству A таким образом, чтобы сумма (полная вероятность) или мера доверия m (A) равнялась 1, а вероятность, приписываемая пустому множеству, есть 0, т.е.

m (0) = 0. Такое базовое приписывание вероятностей (БПВ) предполагает, что меры доверия заключены в интервале [0; 1].

Уверенность в конкретных гипотезах A представлена как интервал [Bel(A), P*(A)], при этом для подмножеств B в A имеет место

Bel(A)= £m(B) ; (4.43)

Be A

P*(A) = 1 - Bel (A), (4.44)

здесь Bel (A) - вера (поддержка) A , т.е. мера полного количества веры в A ив его подмножества; Р "(A)  - мера

правдоподобия.

Свидетельства в виде подмножеств X и Y комбинируются по правилу (формуле) Демпстера

m1 <8> m2(A) = k   £ m1(X)m2(Y), m1 <8>m2 (0) = 0, A = 0,       (4.45)

1

X n Y = A

k 1

1 -   £ m1(X )n1 (Y ):

ЧУ

X nY=0

где k - константа нормализации.

Если k 1 = 0, то ортогональная сумма (4.45) не существует, и меры m1 и m2 (БПВ) называют полностью взаимоисключающими.

Для двух свидетельств с m1 (A) и m2 (B), где A - подмножество гипотез, которые поддерживаются первой группой свидетельств, и B - подмножество гипотез, которые поддерживаются второй группой показаний, новая вера в подмножество гипотез C , т.е. m3 (C), которое поддерживается как первой, так и второй группой свидетельств, определяется как сумма произведений мер, приписанных подмножествам A и B, пересечение которых есть C, деленное на фактор нормализации, равный 1 минус сумма произведений мер подмножеств A и B , пересечение которых есть пустое множество, т. е.

£ m1(A)m2 (B)

m3(C) A

An B = C

1-  £ m1(A)m2 (B)

A B=0

 

или в общем случае

£ mn - 2 (X К-1(Y )

mn(Z)=T^        (X)       (y7, (4.46)

1 - £ mn-2(X)mn-1(Y)

X Y=0

здесь n - результирующее число источников свидетельств.

Таким образом, правилом допускается пустое пересечение X и Y , а сумма мер доверия должна быть нормализована. Сопоставление ТДШ с байесовским подходом показывает следующее.

Подход Демпстера-Шафера является полезным инструментом, когда более строгие байесовские рассуждения себя не оправдывают.

При существовании мощных множеств гипотез и множества свидетельств вычисление мер доверия оказывается достаточно громоздким, однако количество рассуждений значительно меньше, чем при использовании байесовского подхода.

При объединении свидетельств m(A) и m(B) для получения mj42 в результате пересечения двух пар множеств (A и B) могут получаться пустые множества  mj4_2 (0). Высокая достоверность пустого множества  mj4_2 (0) означает

существование конфликта свидетельств на множестве мер доверия m .

Реально свидетельства поддерживают не все элементы 8 (множество взаимоисключающих гипотез). В основном поддерживаются различные подмножества  Z e 8. Так как элементы 8 предполагаются взаимоисключающими, то

доказательство в пользу одного из них может оказывать влияние на доверие другим элементам. При байесовском подходе (приписывание меры доверия m различным Z e 8 ) пересчет мер доверия и учет того, что свидетельства поддерживают не

все элементы 8 производится за счет рассмотрения всех комбинаций условных вероятностей. В системе Демпстера-Шафера эти взаимодействия учитывают напрямую путем непосредственного манипулирования множествами гипотез.

Серьезным недостатком подхода Демпстера-Шафера является то, что правило объединения функций доверия (правило Демпстера) получено в предположении одинаковой достоверности разных источников свидетельств. В действительности

информация, получаемая из разных источников, имеет разную степень достоверности. Это важное обстоятельство в формуле Демпстера не учитывается и может привести к неправильным решениям.

Получим модифицированную формулу Демпстера введением коэффициента Cn-1  относительной достоверности

информации, получаемой из последнего источника, т.е. для подмножества Y. Коэффициент Cn-1 < 1, если достоверность гипотез y = {y1,ym, 6} меньше достоверности x = {x1,     xk, 8}, и Cn-1 >1 в противном случае. Таким образом, модифицированная формула Демпстера имеет следующий вид

J mn-2 (XК-1(Y l Cn-1)

mn(Z 1 Cn-1 )=           (X)       (Y l C   ) , (447)

1-    J mn-2 (X)mn-1(Y 1 Cn-1 )

X nY=0

где mn-1(Y l Cn-1) - мера доверия mn-1 (Y) с учетом коэффициента достоверности Cn-1.

Основная задача при использовании формулы (4.47) заключается в том, чтобы от значений mn-1 (y1),..., mn-1 (ym), mn-1(8), коэффициент достоверности которых относительно mn-2 (x) равен Cn-1, перейти к значениям mn-1(y11Cn-1),mn-1(ym lCn-1), mn-1(81Cn-1), которые будут использованы в формуле Демпстера. При этом для рассматриваемых мер доверия должно выполняться условие нормировки, т.е.

mm

mn-1 (8) + J mn-1 (yi ) = mn-1 (6 l Cn-1 ) + J mn-1 (уі l Cn-1 ) =1. г =1 г=1

Для пересчета значений mn-1 (Y) в mn-1(Y l Cn-1) предлагается использовать следующие формулы: в случае Cn-1 < 1

d

mn-,(yl lCn-1 )=    m   dmn-1    )        ,    і       , (4.48)

m

J mn-1 (yi ) + mn-1(8)

г=1

 

mn-1 (81 Cn-1 )=    m             ;           (4.49)

d J mn-1 (y ) + mn-1 (8)

г=1

в случае Cn-1 > 1

d =     Cn-1 mn-1(8)     ,          (4.50)

m

1 - Cn-1 J mn-1 (y )

г =1

            ,    г         ,       (4.51)

mn-1(y l Cn-1 У

m

mn-1 (81Cn-1 )= m      dmn-1                         , (4.52)

J mn-1(y ) + dmn-1 (8) dmn-1 (8)

m

Jmn-1(y ) + dmn-1(8)

г =1

 

Cn-11 J mn-1 (y )

Подпись: 1 -      mn-1 (8)d

г =1

(4.53)

Рассчитанные по формулам (4.48) - (4.53) значения mn-1(уі l Cn-1), г = 1, m, mn-1(81 Cn-1) удовлетворяют условиям нормировки. Кроме того, можно показать, что при Cn-1 < 1 имеет место

mm J mn-1 (уг l Cn-1 )= Cn-1 J mn-1 (уг )

г =1     г =1

и, следовательно,

m

mn-1 ( 8 l Cn-1 ) =1 - Cn-1 J mn-1 (уг ) .

г =1

Таким образом, методика применения модифицированной формулы Демпстера состоит в следующем.

При поступлении новых свидетельств с мерами mn-1(yt), г = 1, m для них определяется коэффициент достоверности Cn-1  по отношению к ранее используемым mn-2 (X).

Коэффициент Cn-1 может оцениваться методом экспертных оценок или на основе сравнения точностных характеристик X и Y .

С использованием коэффициента Cn-1 значения mn-1 (yi) пересчитываются в mn-1(yi / Cn-1).

Полученные значения mn-1(yi /Cn-1) подставляются в формулу Демпстера для расчета mn (Z). Применение данной методики позволяет повысить достоверность выработки управленческих решений.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |