Имя материала: Экономический анализ

Автор: Маркин Юрий Павлович

11.3. экономико-математические методы и модели в анализе объема производства

Для анализа объема производства в натуральном и стоимостном выражении удобно применять симплексный метод линейного программирования.

Удобным способом представления информации о методах поиска резервов увеличения объема производства является морфологическая таблица (табл. 11.2), где в подлежащем представлена классификация резервов увеличения объема производства, в сказуемом — методы поиска резервов увеличения объема производства. На пересечении строки и столбца помещается задача, решение которой определяет конкретную величину резерва увеличения объема производства.

Таблицу можно расширить с учетом увеличения классификации резервов увеличения объема производства, методов поиска резервов увеличения объема производства и необходимых решений соответствующих задач.

Для анализа объема производства используют фундаментальную ассортиментную задачу. Она формулируется следующим образом.

При известных производственных мощностях, трудовых ресурсах, запасах количества сырья и материалов, установленных нормах расхода сырья и материалов на производство определенных видов продукции, от реализации которых фирма получит соответственно определенную величину прибыли, маркетологи вычисляют, какое количество продукции и какого вида нужно было произвести, чтобы получить максимальную прибыль.

Данная задача в математическом виде выражается моделью, представленной на стр. 116.

В качестве критерия оптимальности можно использовать максимальный доход, максимальный объем товарной продукции.

Нередко в качестве критерия оптимальности используют минимум затрат, возникающих в результате производства продукции.

Ассортиментную задачу используют при планировании ассортимента производства продукции на ближайшие сутки, декаду, месяц, квартал, полугодие, год.

Особую ценность представляет экономический анализ объема производства. Решение ассортиментной задачи позволяет выявить увеличение объема производства в стоимостном выражении, увеличение прибыли за счет структурного сдвига в ассортименте.

Ассортиментную задачу часто называют задачей организации, планирования и экономического анализа производства продукции.

Спланировать, тем более, провести анализ больщого ассортимента продукции от 50 до 200 наименований при использовании двадцати, тридцати видов ресурсов с помощью интуиции, экспертных оценок или каких-либо других вычислений без компьютерной техники невозможно.

Условие ассортиментной задачи по планированию и анализу объема производства продукции можно представить в виде табл. 11.3.

Для решения ассортиментной задачи современные компьютеры имеют стандартную программу ее решения симплексным методом с получением в решении двойственных оценок.

Двойственные оценки в полученном решении показывают величину прибыли, получаемой от использования сырья, материалов и производственной мощности.

Таким образом, экономико-математические методы и модели выступают не только как способ изучения хозяйственной деятельности фирмы и разработки оптимальных управленческих решений по планированию ассортимента производимой продукции, но и как анализ объема производства с целью выявления роста прибыли, объема производства в стоимостном выражении за счет структурного сдвига в ассортименте, который выступает в виде скрытого резерва повышения эффективности производства.

С помощью моделей транспортного типа решаются задачи по загрузке оборудования, цель которой — определить оптимальный объем производства при полном использовании производственных мощностей или максимальный объем прибыли.

Рассмотрим в качестве примера ассортиментную задачу колбасного завода.

При планировании ассортимента колбасного завода определяют, какие виды колбасных изделий и в каком количестве необходимо произвести предприятию при имеющихся ресурсах сырья, мощности ведущего оборудования, спросе на определенные виды колбас, чтобы получить максимальную прибыль, или максимум товарной продукции.

Математическая формулировка ассортиментной задачи колбасного завода уже рассматривалась в разд 1. Модель ассортиментной задачи удобно использовать для анализа ассортимента вырабатываемой продукции за отчетный период (квартал, полугодие, год) с целью выявления резервов повышения эффективности производства. В этом случае легко получить всю необходимую исходную информацию для формирования модели.

В данном случае имеются типичные условия ассортиментной задачи для колбасного завода.

Для удобства расчета в условие задачи взято шесть видов сырья (исключены из рецептуры колбас специи), так как они не лимитируют выпуск колбас. Ассортимент колбас ограничен пятью видами. Условия реализации колбасных изделий неограниченны. Считают, что все пять видов колбас пользуются спросом и будут реализованы в любом количестве. В технологическом процессе производства колбас «узким местом» является термический цех, мощность которого 164 т колбас в сутки. Исходные условия задачи помещены в табл. 11.4.

Рецептура колбас, представленная в табл. 11.4, рассчитана с учетом выхода 1 ц готовой продукции.

С помощью экономико-математической модели ассортиментной задачи колбасного завода выражают условия задачи в виде линейных уравнений, обозначив количество выпускаемой колбасы: «Столовой» через x1, «Любительской» — x2, «Докторской» — x3, «Отдельной» — x4, «Чайной» — x5.

Использование говядины высшего сорта на производство колбасы «Любительской» и «Докторской» можно записать следующим уравнением:

35x2 + 26x3 < 22 700.

Говядину I сорта используют на производство двух видов колбас: «Столовой» и «Отдельной». Это условие записывается уравнением вида:

38,7x1 + 55x4 < 32 000.

Аналогично рассуждая, можно выразить использование на производство колбас остальных видов сырья: говядины II сорта, свинины полужирной, свинины нежирной, шпика. Уравнения использования этих видов сырья получат вид

62,5x5 < 12 500;

61x1    + 73 x3           +17,9 x5 < 43 336;

40 x2   + 21,3 x4        < 12 500;

25x2    + 13,9 x4 + 7,2 x5 < 20 000.

Ограничение на мощность термического цеха запишется уравнением вида:

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 < 1640.

Цель, состоящая в подборе производства ассортимента колбасных изделий, позволяющего предприятию получить максимальную прибыль, можно записать уравнением целевой функции:

max Z(x) = 42x1 + 75x2 + 30x3 + 44x4 + 25x5.

Переход колбасы в сырье исключается (случай, когда бракованная колбаса возвращается на переработку, в данном случае не рассматривается). Это условие запишется уравнением

xj > 0 (j = 1, 2, 3, 4, 5).

Записанные уравнения объединяют в экономико-математическую модель линейного программирования. Необходимо определить максимум целевой функции

L(x) = 42x1 + 75x2 + 30x3 + 44x4 + 25x5, при ограничениях

Подпись: 62,5x5 + 17,9x5

38,7 x1

 

61,2x1

35x2 + 26x3

+ 55x4

25x2

+ 73x3

40x2    + 21,3x4

x

5

+ 13,9x4 + 7,2 x5

x4 +

 

22 700;

32 000;

12 500;

43 336;

28 600;

20 000;

< 1 640;

x. > 0

j

(j = 1, 2, 3, 4, 5).

Неравенства сводят к равенствам путем введения дополнитель-

ных переменных.

Подпись: I xПодпись: 38,7x1

61,2x1
35x2 I 26x3

I   55 x4

62,5x5

I 73x3  I 17,9x5

x

x4 I

5

40x2       I 21,3x4 25x2       I 13,9x4 I 7,2 x5

x1    I   x2    I   x3 I

 

I x7

 

 

I x

 

10

 

I x9

 

 

I x

= 22 700; = 32 000; = 12 500;

= 43 336;

= 28 600; I x11 = 20 000;

x12 = 1 640;

xj > 0

j

(j = 1, 2, 3, 4, 5).

L(x) = 42x1 + 75x2 + 30x3 + 44x4 + 25x5 + 0x6 + 0x7 +0x8 + 0x9 + 0x10 +

+ 0x11 + 0x12 ^ max.

Переменные x7, x8 , x9 , x10, x11, x12 означают количество неиспользованных ресурсов сырья и мощности термического цеха. Неиспользованные ресурсы не участвуют в процессе производства и не приносят прибыли, поэтому в линейном функционале все дополнительные переменные xj (j = 6, 7, 12) получают коэффициент нуль.

В качестве опорного плана для решения задачи выбирают вектор x = (x6, x7, x8 , x9 , x10, x11, x12) = (22 700, 32 000, 12 500, 43 336,

28 600, 20 000, 1640).

Решение задачи симплексным методом представлено в табл. 11.5.

В симплексной табл. 11.5 строка L(x) имеет положительные и нулевые значения, следовательно, получен оптимальный план. Он представлен вектором

X x12)

= (649,6078; 648,5715; 124; 7305; 200; 0,3845; 611,9615; 17,0903).

Решение ассортиментной задачи, приведенное в табл. 11.5, показывает, что для получения максимальной прибыли (86 414,5 руб.) колбасному заводу необходимо произвести 649,6 ц «Столовой», 648,6 ц «Любительской», 124,7 ц «Отдельной», 200 ц «Чайной» колбас. Неиспользованными остались шпик (611,9 кг), а также мощность термического цеха (17,1 ц). Остатком нежирной свинины (0,38 кг) можно пренебречь.

Для проверки полученного решения необходимо найденные значения неизвестных в оптимальном варианте (значения неизвестных в табл. 11.5) поставить в симплексные уравнения:

35 х 648,5714 + 26 х 0 + 0 = 22 699,9990; 38,7 х 649,6078 + 55 х 124,7305 + 0 = 31 999,9994;

62,5 х 200,0000 + 0 = 12 500,0000; 61,2 х 649,6078 + 73 х 0 + 17,9 х 200 = 43 335,9974; 40 х 648,5714 + 21,3 х 124,7305 + 0,3845 = 28 600,0002; 25 х 648,5714 + 13,9 х 124,7305 + 17,2 х 200 + 611,9615 = 20 000,0005.

 

Качество проверки полученного решения зависит от того, насколько точно были вычислены элементы симплексных таблиц в процессе решения задачи.

Двойственные оценки последней симплексной таблицы (табл. 11.5) показывают, что 1 кг говядины высшего сорта позволяет получить прибыль при производстве колбасных изделий в размере 2,145 руб., 1 кг говядины I сорта — 0,8008 руб., 1 кг говядины II сорта — 0,3478 руб., 1 кг свинины нежирной — 0,1786 руб.

Нулевые оценки в столбцах x1, x2, x4, x5 свидетельствуют о том, что «Столовая», «Любительская», «Отдельная» и «Чайная» колбасы вошли в оптимальный план. Нулевые оценки в столбцах x10, x11, x12 показывают, соответственно, что нежирная свинина, шпик и мощность термического цеха остались не использованы. Положитель-

 

CJ

 

 

42

75

зо

44

25

0

0

0

0

0

0

0

 

Б

х0

хі

х2

х3

ХА

х5

х6

х7

 

 

Х10

хп

Х12

75

х2

648,5714

1

1

0,7429

0

0

0,0286

0

0

0

0

0

0

42

Х1

649,6078

0

0

1,1928

0

0

0

0

-0,0047

0,0163

0

0

0

25

х5

200,0000

0

0

0

0

1

0

0

0,0160

0

0

0

0

0

Х10

0,3845

0

0

-11,8425

0

0

-1,1439

-0,3868

-0,0702

0,2450

1

0

0

44

ХА

124,7305

0

0

-0,8397

1

0

0

0,0182

0,0033

-0,0115

0

0

0

0

хп

611,9615

0

0

-6,9007

0

0

0,7143

-0,2522

-0,1610

0,1597

0

1

0

0

Х12

17,0903

0

0

-0,0960

0

0

-0,0286

-0,0181

-0,0146

-0,0049

0

0

1

 

Цх)

86414,2414

0

0

38,8683

0

0

2,1450

0,8008

0,3478

0,1786

0

0

0

ная оценка в столбце x3 означает, что при производстве 1 ц «Докторской» колбасы размер прибыли в оптимальном решении уменьшится на 38,86 руб.

Значение Z(x) оптимального плана проверяют с помощью двойственных оценок столбцов x7, x8, x?. Для этого двойственные оценки для сырья умножают на соответствующие нормы расхода этих видов сырья на производство единицы колбасного изделия, полученные произведения умножают на объем производства колбасы данного вида. Результаты проверки помещены в табл. 11.6.

Наибольшая погрешность 10,09 руб. (86 414,52— 86 404,43) проявилась в результате округлений при вычислении элементов симплексных таблиц решения задач.

При решении ассортиментной задачи по критерию максимума товарной продукции положительные двойственные оценки для дополнительных переменных, введенных в уравнения сырья, покажут стоимости сырья по видам, имеющегося в условии задачи. Двойственные оценки могут служить дополнительной ценной информацией для проведения анализа прибыли, анализа себестоимости выпускаемых колбасных изделий. Поэтому критерий максимума товарной продукции для решения ассортиментной задачи более удобен, чем критерий максимума прибыли.

При решении задачи выбора годового ассортимента колбасного завода приходится составлять большие таблицы. Это вызвано тем, что количество производимых видов колбасных изделий на крупных предприятиях достигает 200 наименований.

 

Пример. Ассортиментная задача завода плавленых сыров.

На заводах плавленых сыров основными факторами, ограничивающими объем производства продукции, являются производственные мощности, ресурсы сырья, спрос на готовую продукцию. Прибыль, получаемая от производства и реализации единицы продукции, зависит от вида сыра и рецептуры, по которой он изготовлялся. Обычно на производство одного и того же вида сыра имеется несколько основных рецептов. Предприятия всегда стремятся определить ассортимент и объем производства сыров, позволяющий получить максимальную прибыль. Из множества вариантов решения данной задачи выбор наилучшего можно осуществить с помо-

Сырье

Двойственная

Норма рас-

Объем производства колбас, ц

Прибыль

 

оценка

хода сырья

 

 

 

 

от использо-

 

 

на 1 ц про-

«Любительской»

«Столовой»

«Отдельной»

«Чайной»

вания сырья,

 

 

дукции, кг

 

 

 

 

руб.

Говядина

 

 

 

 

 

 

 

сортов:

 

 

 

 

 

 

 

высшего

2,145

35

648,5714

 

 

 

48 691,49785

I

0,8008

38,7

 

649,6078

 

 

20 131,99533

II

0,8008

55

 

 

124,7305

 

5 493,6301

III

0,3478

62,5

 

 

 

200

4 347,5

Свинина

0,1786

61,2

 

649,6078

 

 

7 100,42113

полужирная

 

 

 

 

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 |