Имя материала: Финансовый анализ

Автор: Л.С. Васильева

2.6. методы финансовой математики

 

Организации любой формы собственности в практических и коммерческих расчетах и операциях оперируют с денежными средствами в некоторый интервал времени. Фактор времени играет значительную роль, поэтому очень важно оценивать равноценность денег, относящихся к разным моментам времени. Для учета фактора времени следует использовать следующие показатели:

процентные деньги - абсолютная величина дохода от предоставления денег в долг в любой форме: выдача денежной ссуды, продажа в кредит, помещение денег на сберегательный счет, учет векселя, покупка акций, облигаций и т. д.;

процентная ставка - отношение суммы процентных денег, выплаченных за фиксированный отрезок времени к величине ссуды. Ставка измеряется в процентах в виде десятичной или натуральной дроби (может фиксироваться с точностью до 1/16 или 1/32);

период начисления - промежуток времени (интервал), к которому приурочена процентная ставка (год, полугодие, квартал, месяц). При долгосрочных операциях начисления могут осуществляться ежедневно;

наращивание (рост) первоначальной суммы - процесс увеличения суммы денег в связи с присоединением процентов к основной сумме.

В финансовом количественном анализе процентная ставка является измерителем степени доходности финансовых операций или коммерческо-хозяйственной деятельности;

виды процентных ставок - в зависимости от условий контрактов, формы осуществления операций или сделок ставки по отношению к начальной сумме на протяжении всего срока ссу-

 

ды (долга, депозита, других видов инвестированных средств и т. д.) могут быть: простые, переменные, сложные, комбинированные.

 

Простые проценты.

Формула наращивания ссуды по простым процентам:

Дк = Дн х ( 1 + Т х а),          ' і

где ДК - сумма, образовавшаяся к концу срока ссуды; Дн - первоначальная сумма;

а - годовая ставка процентов в виде десятичной дроби; Т - количество периодов.

Сумма наращения по простым процентам составляет: Сн = Дн х Т х а.

Пример 43. Определить проценты и сумму накопленного долга, если ссуда равна 50 тыс. руб., срок ссуды - три года при ставке простого процента - 8\% годовых.

Решение:

Определим сумму наращения за три года: Сн = 50 х 0,08 х 3 = 12 (тыс. руб.).

Определим сумму накопленного долга за три года: Д = 50 (1 + 3 х 0,08) = 6,2 (тыс. руб.).

Формула наращивания по простым процентам используется при выдаче краткосрочных ссуд, т. е. ссуд, срок по которым равен одному году или менее. В этом случае определяют долю дней кредита в году. Если за базу измерения берут 360 дней, то вычисляют обыкновенный или коммерческий процент, если за базу распределения берут 365 (366) дней, то вычисляют точный процент. Дата выдачи и погашения кредита считается за один день.

Формула наращения по коммерческим процентам имеет вид: Дк = Дн х (1 + Ткр/ 360 х а), где ДК - сумма, образовавшаяся к концу срока ссуды;

Дн - первоначальная сумма;

а - годовая ставка процентов в виде десятичной дроби; Т - число дней ссуды.

Пример 44. Организации для финансирования текущей Деятельности необходим кредит 600 тыс. руб. сроком на 120 дней под 25\% годовых. Определить сумму кредита к погашению.

Решение:

Сумма кредита к погашению равна:

Дк = 600 х(1 + 0,25 х 120/360) = 650,00 (тыс. руб.). Сумма наращения по ссуде составляет: Сн = 50 тыс. руб.

Пример 45. Ссуду в размере 800 тыс. руб. организация получила 23.01 до 08.10 включительно под 25\% годовых. Определить сумму ссуды к погашению.

Решение:

Определим число дней ссуды с учетом условий кредита. Порядковый номер дня 08.10 - 281-й день, так как ссуду взяли 23.01, то количество дней ссуды составит:

Тс = 281 - 23 = 258 (дн.).

Определим сумму к погашению ссуды по коммерческим процентам:

Дк = Дн х (1 + Ткр / 360 хб) = 600 х (1 + 258 / 360 х 0,25) = = 600 х 1,17917 = 707, 50 (тыс. руб.).

Переменные ставки

По условию кредитного договора процентная ставка может изменяться во времени. В этом случае наращенная сумма определяется по формуле:

Дк = Дн х ( 1 + Т , х а, + Т2 х а2 + Т3 х а3 + .... + Т ха ), где Дк - сумма, образовавшаяся к концу срока ссуды;

Дн - первоначальная сумма;

а,, а2, ак - годовая ставка простых процентов в виде десятичной дроби;

Tj, Т2, Тк - продолжительность периода ее начисления в соответствующий период времени.

Пример 46. Организация решила взять кредит в размере 800 тыс. руб. сроком на два года. По условию договора начисляются простые проценты, порядок начисления процентов: первое полугодие - 12\%, в каждом последующем полугодии годовая ставка повышается на 2\%. Определить сумму кредита к возврату.

Решение:

Продолжительность каждого периода - 0,5 года, годовая ставка на каждое полугодие соответственно составит: 12, 14, 16 и 18\%.

Сумма кредита к возврату составит:

Дк = 800х(1 + 0,5x0,12 + 0,5x0,14 + 0,5x0,16 + 0,5x0,18) = = 800 х (1 + 0,06 + 0,07 + 0,08 + 0,09) = 800 х 1,3 = 1040 (тыс. руб.). Наращенная сумма составит: 1040 - 800 = 240 (тыс. руб.).

Реинвестирование наращенных средств

При инвестировании средств в краткосрочные депозиты по простой процентной ставке очень часто неоднократно повторяют операцию в пределах заданного срока ТК, т. е. осуществляют реинвестирование наращенных на каждом шаге операции средств. Наращенная сумма для всего срока ссуды определяется в этом случае по формулам:

Если периоды начисления и ставки простых процентов для каждого периода одинаковые, то используется формула:

Дк = Дн х ( 1 + Т х a)N, где N - общее число операций реинвестирования.

Если периоды начисления по продолжительности различны и каждому соответствует определенная простая ставка, то используется формула:

Дк = Дн х ( 1 + Т х а,) х (1 + Т, х а2) х (1 + Т3 х а3) х .... х х (1 + Т х а ).

v          К         К '

Пример 47. По кредитному соглашению банк на сумму 100 тыс. руб. в течение месяца начисляет простые проценты по став- , ке 5\% годовых. Определить наращенную сумму в течение полугодия.

Решение:

Значение Т равно шесть месяцев, рассчитываем исходя из 365 дней в году:

Дк = Дн х ( 1 + Т х a)N = 100 х (1 + 30/365 х 0,05)6 = 102,49 (тыс. руб.).

Наращенная сумма составит 102,49 тыс. руб., сумма наращения по простым процентам составит: Сн .= 102,49 - 100 = 2,49 тыс. руб.

Пример 48. Ссуда в размере 900 тыс. руб. предоставляется сроком на четыре года под простые проценты. Процентная ставка в первый год составляет 30\%, каждый последующий год увеличивается на 5\%. Определить сумму к погашению ссуды.

Решение:

Наращенная сумма к концу срока составит: Дк = 900 х (1 + 0,3) х (1 4- 0,35) х (1 + 0,40) х (1 + 0,45) = = 3206,385 (тыс. руб.).

Сумма наращения по процентам:

Сн = 3206,385 - 900 = 2306,385 (тыс. руб.).

Сложные проценты

В долгосрочных финансово-кредитных операциях, если суммы процентов не выплачиваются сразу после их начисления, а при- ; соединяются к сумме долга, для наращения суммы ссуд применяют сложные проценты. Наращение по сложным процентам представляет собой последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на один период начисления. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют капитализацией процентов.

Наращенная сумма ссуды определяется по формуле: Дк (Т) = Дн х ( 1 + х а)т, где Дк (Т) - наращенная сумма ссуды через Т лет;

Дн - первоначальная сумма ссуды;

а - годовая ставка процента в виде десятичной дроби;

Т - срок ссуды в годах.

Если в течение года начисления процентов осуществляются^ несколько раз, то наращенная сумма определяется по формуле:

Дк (Т) = Дн х(1 + ос : М)<МхТ>, где Дк (Т) - сумма ссуды к погашению через Т лет;

Дн - начальная сумма ссуды;

СТк - годовая процентная ставка;

М - количество начислений процентов в год;

М х Т - число единичных периодов от момента получеша кредита до момента его погашения. Единичный период - эт промежуток времени между двумя начислениями (капитализа* ция) процентов. Величина (а : М) называется номинальной став кой. Чем больше начислений в год, тем чаще происходит капи тализация.

Пример 49. Банк предоставил ссуду в размере 300 тыс. руб. сроком на два года под 28\% годовых. Проценты начисляются каждое полугодие. Определить сумму к погашению ссуды.

Решение:

В данном примере количество единичных периодов - 4 (2 х2) процентная ставка на полугодие (номинальная ставка) состави-28\% : 2 = 14\%. Сумма средств к погашению через два года состави"

Дк(2) = 300 х (1 + 14 : 100)4 = 506,69 (тыс. руб.).

Пример 50. Банк предоставил ссуду в размере 600 тыс. ру' сроком на два года под 24\% годовых, погашение кредита - каж дый квартал. Определить наращенную сумму, сумму наращений на сложные проценты. Решение:

В данном примере количество единичных периодов - 8 (2 х 4), процентная ставка на квартал составляет: 24\% : 4 = 6\%.

Сумма к погашению через два года составит: Дк(2) = 600 х(1 + 6 : 100) 8 = 956,31 (тыс. руб.). Сумма наращения на сложные проценты составляет: Сн = 956,31 - 600 = 456,31 (тыс. руб.).

Смешанные проценты

Если период ссуды (Т) содержит несколько единичных периодов (МК) продолжительностью Тед и промежуток времени (Тн), продолжительность которого меньше чем продолжительность единичного периода (Тн < Тед), то ссуды выдаются под смешанные проценты. На целое количество единичных периодов (МК) начисляются сложные проценты, а на промежуток времени Тн, меньший продолжительности единичного периода - простые проценты:

Дк (Т) = Дн х (1 + а : М)мк х (1 + а х Тн : 360), где Дк (Т) - сумма ссуды к погашению по истечению срока кредита Т;

Дн - начальная сумма ссуды;

а - годовая процентная ставка;

М — количество единичных периодов в году;

МК - количество целых единичных периодов, вошедших в период кредитования;

Тн - количество дней, не вошедших в единичный период;

Ткр = МК х Тед + Тн.

Пример 51. Банк предоставил предприятию кредит в размере 250 тыс. руб. на 275 дней под 40\% годовых. Определить сумму к погашению кредита, если погашение должно осуществляться ежеквартально.

Решение:

Продолжительность кредита - 275 дней можно представить в виде суммы продолжительности трех кварталов (каждый по 90 дней) и 5 дней.

В данном случае МК = 3, Тн = 5 дней, процентная ставка кредита на квартал равна 40\% / 4 = 10\%. Сумма средств к погашению кредита составит:

Дк (275) = 250 х(1 + ОД)3 х(1 + 0,4 х 5: 360) = 334,6 (тыс. руб.). Банки используют смешанные проценты с целью максимизации своих доходов при предоставлении кредитов.

Эффективная (действительная) ставка процентов

Если организации необходимо измерить реальный относительный доход, который получает организация от финансовой операции в целом за год, то для этого используют эффективную ставку. Расчет осуществляется по формуле: осэ = (1 + а : Mf1 - 1.

Значение «бэ» определяется как процентное отношение дохода на капитал в конце года к величине капитала на конец года.

Пример 52. Банк начисляет на вклад проценты исходя из номинальной ставки 10\% годовых. Определить эффективную годовую ставку при следующих условиях: начисления осуществ-; ляются каждый квартал, каждый месяц, каждый день.

Решение:

Начисления каждый квартал в процентах: осэ = [ (1 + а : М)м - 1 ] х 100\% = [(1 + 0,1:4)4 - 1] х 100\% =

= 10,38\%.

Начисления каждый месяц в процентах:

аэ = [(1 + а : Mf - 1 )] х 100\% = [(1 + 0,1 : 12)12 - 1] х 100\% = = 10,47\%.

Начисления осуществляются каждый день в процентах: осэ = [(1 + а : М)м - 1 ]х 100\% = [(1 + ОД/365)365 - 1] х 100\% =

= 10,52\%.

Расчеты показывают, что размер эффективной ставки больше чем номинальной ставки, при росте количества начислений ее размер увеличивается.

Особенности наращения процентов в потребительском кредите

В потребительском кредите простые проценты, как правило, начисляются на всю сумму кредита и присоединяются к основному долгу уже в момент выдачи кредита. Погашение долга с процентами производится частями, равномерно на протяжении всего срока кредита. Наращенная сумма долга по потребительскому кредиту (Дк) и сумма разового погасительного платежа (РДк) определяются по формулам:

Дк = Дн х (1 + Т х а) - РДк = Дк : (Т х М), где Т — срок потребительского кредита в годах;

М — число платежей в году.

Следует отметить, что фактическая процентная ставка оказывается заметно выше, чем ставка по условию потребительского кредита.

Пример 53. Банк предоставил кредит для покупки товара на сумму 600 тыс. руб. на два года, ставка простого годового процента 28\%, погашение кредита в конце каждого месяца. Рассчитать сумму кредита к погашению, размер ежемесячного платежа.

Решение:

1)         Определим сумму, которая должна быть погашена в кон-

це года:

Дк = Дн х ( 1 + Т х а) = 600 х ( 1 + 2 х 0,28) = 936 (тыс. руб.).

2)         Определим размер ежемесячного платежа:

РДк = Дк : (Т хМ) = 936 : 12 = 78 (тыс. руб.).

Таким образом, каждый месяц заемщик должен платить по кредиту 78 тыс. руб. основного долга и платы за использование кредита.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 |