Имя материала: Управление финансами

Автор: Жариков В. В.

4 основы финансовой математики

В условиях инфляции и снижения объемов производства деньги получили новую характеристику - временную ценность. Это вызвано обесцениванием денежной наличности с течением времени и связано с обращением капитала.

Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление в долг некоторой суммы PV с условием, что через время t будет возвращена большая сумма FV. Результативность сделки можно охарактеризовать двояко:

с помощью абсолютного показателя

(FV - PV);

с помощью относительного показателя - ставки, которая рассчитывается отношением приращения исходной суммы к базовой величине, в качестве которой можно брать PV или FV.

Ставки рассчитываются:

темпом прироста

Rt = (FV - PV) / PV;

темпом снижения

Dt = (FV- PV) / FV.

В финансовых вычислениях первый показатель называется "процентная ставка", "процент", "рост", "ставка процента", "норма прибыли", "доходность", а второй показатель называют "учетная ставка", "дисконт". Обе ставки взаимосвязаны:

Rt = Dt / (1 - Dt)    или    Dt = Rt / (1 + Rt) Показатели выражаются в долях единицы или в процентах.

Данные показатели незначительно отличаются друг от друга, поэтому в прогнозах, например, при оценке инвестиционных проектов используют оба показателя, но чаще процентную ставку.

Процесс, в котором задана исходная сумма и процентная ставка, в финансовых вычислениях, называют процессом наращивания.

Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая) сумма и коэффициент дисконтирования, называется процессом дисконтирования.

В первом случае речь идет о движении денежного потока от настоящего к будущему, во втором - о движении от будущего к настоящему.

Логика финансовых операций заключается в следующем.

В качестве коэффициента дисконтирования может использоваться либо процентная ставка (математическое дисконтирование), либо учетная ставка (банковское дисконтирование).

Величина FV показывает как бы будущую стоимость "сегодняшней" величины PV при заданном уровне доходности.

В связи с вариабельностью условий финансирования в отношении частоты и способов начисления, а также вариантов предоставления и погашения , процессы установления процентных ставок многообразны.

Предоставляя свои денежные средства в долг, их владелец получает доход в виде процентов, полученных по определенному алгоритму. Обычно период начисления принимается в один год, т. е. однократное начисление процентов по истечении года после получения ссуды.

Известны две основные схемы дисконтного начисления:

схема простых процентов

схема сложных процентов.

Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление. Размер инвестированного капитала Rn через n лет будет равен

Rn = P + P r + ... + P r = P (1 + nr),

где r - требуемая доходность в долях единицы.

Инвестиция сделана на условиях сложного процента, если очередной годовой доход исчисляется с общей суммы, включающей ранее исчисленные и невостребованные инвестором проценты.

В этом случае происходит капитализация процентов по мере их начисления, т.е. база с которой начисляются проценты постоянно растет. Тогда размер инвестируемого капитала будет равен:

к концу первого года F1 = P + Pr;

к концу второго года F2 = F1 + F1 r = F1(1 + r);

к концу n-го года      Fn = F1(1 + r)n.

Соотношение Rn и Fn с помощью математической индукции можно установить:

Rn > Fn при 0 < n < 1, Fn > Rn при n > 1.

Формула сложных процентов является одной из базовых в финансовых вычислениях,  поэтому используют мультиплицирующий множитель, который табулирован для удобства использования для различных r и n. Формула алгоритма начисления переписывается так

Fn = PFM(r, n) Взаимосвязь Rn и Fn можно изобразить графически

Экономический смысл мультиплицирующего множителя состоит в том, что он показывает, чему будет равна одна

денежная единица (рубль    и др.) через n периодов при заданной процентной ставке r.

Для контроля начисления используют "правило 72-х". Это правило заключается в том, что если процентная ставка r, выраженная в процентах, то К = 72 / r представляет собой число периодов К, за которое исходная сумма приблизительно удвоится. Это правило хорошо срабатывает для небольших значений r (до 20 \%).

Схема простых процентов используется в банковской практике при начислении процентов в краткосрочном периоде со сроком погашения до одного года. В этом случае длины различных временных интервалов в расчетах могут округляться (месяц - 30 дней, квартал - 90, год - 360).

В этом случае используют промежуточную процентную ставку, которая равна доле годовой процентной ставке, пропорциональной доле временного интервала в году

F = P (1 + f r) или F = P (1 + (t / T) r),

где f - относительная длина периода до погашения ссуды; r - годовая процентная ставка в долях единицы; t -продолжительность финансовой операции, дн.; T - количество дней в году.

При определении продолжительности финансовой операции день выдачи и день погашения ссуды считают за один

день.

Расчет может вестись двумя вариантами:

принимается в расчет точное число дней ссуды (расчет ведется по дням), тогда в году считают 365 или 366 дней;

принимается приблизительное число дней ссуды (исходя из продолжительности месяца в 30 дней) и в году берут 360 дней.

Другой весьма распространенной операцией краткосрочного характера, для оценки которой используются рассмотренные формулы, является операция по учету векселей. В этом случае пользуются аналогичной формулой, являющейся следствием формулы простых процентов

PV = FV(1 -fd) или PV = FV [1 - (t / T) d], где d - темп снижения; f - относительная длина периода

Операция имеет смысл, если число в скобках не отрицательно.

Внутригодовые процентные начисления ведут по формуле сложных процентов по подынтервалам и по ставке, равной пропорциональной доле исходной годовой ставки

Fn = P (1 + r m)km,

где r - объявленная годовая ставка; m - количество начислений в году; k - количество лет.

Начисление процентов за дробное количество лет. В этом случае проценты могут начисляться одним из двух методов:

по схеме сложных процентов

Fn = P (1 + r) k+f,

по смешанной схеме (используется схема сложных процентов для целого числа лет и схема простых процентов - для дробной части года)

Fn = P (1 + r)k (1 + fr),

Возможны финансовые контракты в которых начисление процентов осуществляется по внутригодовым подпериодам, а продолжительность общего периода действий контракта не равна целому числу подпериодов. В этом случае также возможно использование двух схем:

- схема сложных процентов

f

Fn = P (1 + r / m)"'

1 +

m

смешанная схема

Подпись: mkFn = P (1 + r / m)

r

1 + f-

m

где k - количество лет; m - количество начислений в году; r - годовая ставка;f- дробная часть подпериода.

Непрерывное начисление процентов - в этом случае максимально возможное наращивание осуществляется при бесконечном дроблении годового интервала.

При непрерывном начислении процентов в течение одного года используется базовая формула

F = P er,

где е = 2,718281 ... - основание натурального логарифма.

Fn

Годовая процентная ставка не отражает реальной эффективности сделки и не может использоваться для сопоставления. Для сравнительного анализа эффективности контрактов используют эффективную годовую процентную ставку re, которая обеспечивает переход от P к Fn при заданных значениях этих показателей и однократном начислении процентов (рис. 7).

n

Fn

 

Р

1 2 3 годы ежегодное

1 2 3 годы полугодовое

1 2 3 годы непрерывное

Рис. 7 Различные варианты начисления процентов

В этом случае задается исходная сумма Р, номинальная годовая ставка - r, число начислений сложных процентов - m. Этому условию соответствует определенное значение наращенной величины F1. Необходимо найти такую годовую ставку re, которая обеспечила бы точно такое же наращение как и исходная схема, но при однократном начислении процентов, т. е. m = 1.

F1 = P + P re = P (1 + re).

Эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений, причем с ростом m она увеличивается.

Оценивая целесообразность финансовых вложений в тот или иной бизнес, исходят из того, является ли это вложение более прибыльным (при допустимом уровне риска), чем вложение в государственные ценные бумаги.

Основная идея этих методов заключается в оценке будущих поступлений Fn с позиции текущего момента. При этом анализируется:

а)         обесценивание денег (инфляция);

б)         темп изменения цен на сырье, материалы, основные средства;

в)         желательно периодическое начисление дохода не ниже определенного минимума.

Базовая расчетная формула для такого анализа

P

(1 + r )n

где Fn - доход планируемый к получению в n-ном году; Р - текущая стоимость (приведенная), т.е. оценка величины Fn с позиции текущего момента; r - коэффициент дисконтирования.

Экономический смысл такого представления заключается в следующем: прогнозируемая величина денежных поступлений через n лет Fn будет меньше и равна Р.

Одним из основных элементов финансового анализа является оценка денежного потока с1, с2, ... , сп.

Элементы потока сі могут быть либо независимыми, либо связанными между собой определенным алгоритмом.

Временные периоды чаще всего определяются равными. Предполагается, что элементы денежного потока однонаправлены, т. е. нет чередования оттоков и притоков. Условно считают, что генерируемые в рамках одного временного периода поступления имеют место либо в его начале, либо в его конце, т.е. они не распределены внутри периода, а сконцентрированы на одной из его границ. Денежный поток в начале временного периода называется пренумерандо или авансовым, в конце - постнумерандо.

На практике большее распространение получил поток постнумерандо, в частности, именно этот поток лежит в основе методик анализа инвестиционных проектов.

Оценка денежного потока может выполняться в рамках решения двух задач:

а)         прямой или приводится оценка с позиции будущего;

б)         обратной или приводится оценка с позиции настоящего (реализуется схема дисконтирования).

Прямая задача предполагает суммарную оценку наращенного денежного потока, т.е. в основе лежит будущая стоимость.

Обратная задача предполагает суммарную оценку дисконтированного (приведенного) денежного потока. Одним из ключевых понятий в финансовых и коммерческих расчетах является понятие аннуитета. Аннуитет представляет собой частный случай денежного потока, в котором денежные поступления в каждом периоде одинаковы по величине. Если число равных временных интервалов ограниченно, аннуитет называется срочным. В этом случае:

с1 = с2 = ... = сп .

Также разделяют аннуитет пренумерандо и постнумерандо (рентные платежи, денежные вклады для накопления крупной суммы, плата за аренду имущества).

Прямая задача оценки срочного аннуитета решается по формуле

FVpst = AZ(1 + r) k.

Обратная задача оценки срочного аннуитета решается с помощью формулы

FVpst = АД1/1 + r) k.

На практике возможна ситуация, когда величина платежа меняется со временем в сторону увеличения или уменьшения (заключение договоров аренды в условиях инфляции). В этом случае аннуитет называется бессрочным. Расчет в этом случае ведется с помощью финансовых таблиц.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |