Имя материала: Начальный курс финансовой математики

Автор: Медведев Г.А.

2.4 вычисление составного итога

 

Когда P, n и i даны, составной итог можно вычислить. Для наиболее употребительных целочисленных значений величин n и i составлены таблицы выражения (1 + i) п , которое принято называть множителем накопления. Если такие таблицы имеются под рукой, по ним находится требуемый множитель накопления, и он умножается на величину основной суммы, что даст необходимый результат : требуемый итог. Таблицы могут не содержать заданных целочисленных значений величин n и i, тогда использование таблиц несколько усложняется, но является все-таки возможным.

 

Предположим, что норма процента i табулирована, а значение n находится за пределами таблицы. В этом случае следует представить n как сумму целочисленных величин n1 и n2 , n = n1 + n2 , таких, что n1    и   n2 табулированы и для каждого из них по таблице найти

значения соответствующих множителей накопления: (1 + i)n1 и (1 + i) 2 . Перемножение этих множителей и даст требуемый множитель накопления (1 + i) п . Если значение n настолько велико, что не представляется в виде суммы двух табулированных величин, нужно представить его в виде суммы трех, четырех или другого необходимого числа табулируемых величин. Далее определяются множители накопления, соответствующие слагаемым, и необходимый множитель накопления определяется как произведение множителей накопления, найденных из таблицы.

 

Предположим теперь, что величина n табулирована, но норма процента i принимает нецелое значение, промежуточное между имеющимися в таблице. Тогда можно использовать интерполяцию для получения приближенного значения требуемого множителя накопления. Она заключается в следующем. Пусть заданная норма процента i попадает между соседними в таблице значениями i1 и i2 , i1 < i < i2 . Из этого следует, что для заданного n

 

(1 + i1 ) П < (1 + i) П < (1 + i2 ) П

 

Обозначим через X приближенное значение величины (1 + i) п .

В этих условиях составляется пропорция для величины X ,

 

х - (і+/ )п = (1+i2 У- (1+h У

(l - iiП  ((2 - iiП '

 

из которой искомая величина X находится в виде :

х=Iі+li у + рг (°+12)" - 0+ii)" ) =

l2l1

 

ПРИМЕР Найти приближенное значение итоговой суммы при накоплении процентов основной суммы 10000 рб в течение 20 лет при норме процента i = 5,2\%.

 

РЕШЕНИЕ Из таблицы для множителей накопления имеем :

 

i        0,055 0,050

(1 + і)20     2,9178 2,6533

 

В этом случае   i1 = 0,050, і = 0,052,   і2 = 0,055.

 

(і2 - і)/(і2 - і1) = 3/5 = 0,6 . (і - і1)/(і2 - і1) = 2/5 = 0,4 .

20

Поэтому приближенное значение X величины (1 + 0,052) вычисляется следующим образом

X = ( 0,6 )( 2,6533 ) + ( 0,4 )( 2,9178 ) = 2,7591

Таким образом, итоговая сумма S приблизительно равна

S = 10000 х 2,7591 = 27591 рб.

 

Когда необходимо найти множитель накопления для     значений і и n ,

которых   в   таблице   нет,   приходится   вычислять      этот множитель

непосредственно. При этом удобно вычислить    сначала логарифм

множителя накопления по формуле

log(1 + i)п = n log(1 + i).

 

В предыдущем примере это привело бы к результату

 

log(1 + 0,052) = 20 log( 1,052 ) = 20 x 0,0693 = 1,0139

 

что дает величину множителя накопления равную 2,7562 и итоговую сумму 27562 рб. Этот результат показывает, в частности, точность вычисления по приближенной формуле. Погрешность составляет 29 рб, то есть 0,00105 или 0,105\% от итоговой суммы.

 

В заключение заметим, что интерполяция является достаточно громоздкой процедурой и ею следует пользоваться только в тех случаях, когда под рукой есть таблицы и нет калькулятора, который мог бы возводить числа в произвольную степень. Если таковой имеется, лучше не использовать таблицы, а вычислять итоговую сумму по формуле (1).

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 |