Имя материала: Начальный курс финансовой математики

Автор: Медведев Г.А.

2.7 составной итог и настоящая стоимость для дробных периодов времени

 

Утверждение типа «сложный процент при норме j1 = 0,08 за 15 месяцев» не имеет смысла для введенных определений, поэтому должно быть принято какое-либо соглашение как его понимать. Естественным путем является замена данной нормы другой, эквивалентной ей, которая конвертировалась бы через период, кратный 15 месяцам. Например, подошла бы норма, конвертируемая поквартально. Тогда исходное утверждение заменяется на следующее: «сложный процент при норме j4 = 0,0777 за 5 кварталов» .

 

ПРИМЕР 1 Найти составную итоговую сумму, если 10000 рб накапливает проценты в течение 15 лет и 3 месяца при норме j = 6\% .

 

РЕШЕНИЕ Первый шаг - это замена нормы j2 = 6\% на конвертируемую поквартально, так как заданное время 15 лет и 3 месяца состоит из 61 квартала. Пусть i будет норма процента за квартал, эквивалентная j2 = 6\% . Тогда

 

(1 + i)4 = ( 1,03 )2   или    1 + i = ( 1,03 )1/2

Накопление процентов в течение 61 квартала при норме і

 

S = 10000 х (1 + і) 61

 

Подставляя значение (1 + і) в это выражение, получаем

 

S = 10000 х ( 1,03 ) 61/2   = 24634 рб

 

При получении этого результата можно было бы использовать таблицы множителей накопления, используя і = 0,03 и n = 30,5 по схеме рассмотренной ранее.

 

Рассмотренный пример дает естественную основу для следующего правила: точный (или дисконтированный) метод накопления или дисконтирования состоит в использовании основных уравнений (1) и (2) несмотря на то, является или нет временной интервал целым числом периодов конверсии, Можно показать, что точное правило всегда дает тот же результат, который получается путем замены данной нормы процента на эквивалентную норму, для которой время накопления (дисконтирования) состоит из целого числа периодов конверсии, Таким образом, реально нет необходимости искать эквивалентную норму, поскольку конечный результат получается тот же самый.

 

ПРИМЕР 2 Используя точный метод, найти текущую стоимость 50000 рб за 7 лет и 3 месяца до ее накопления с нормой процента j1 = 5\%.

 

РЕШЕНИЕ Мы имеем S = 50000 , і = 0,05 , n = 7,25 . Отсюда

 

P = 50000 х ( 1,05 ) - 7,25 = 35103,27 .

 

Когда под рукой нет вычислительных средств, но есть таблицы множителей накопления ( дисконтирования ), можно в случае дробных продолжительностей использовать следующую аппроксимацию : для целой части периода конверсии найти составной итог накопления ( или текущую стоимость при дисконтировании ), а для дробной части использовать простую итоговую сумму ( или простое дисконтирование ), Так, в рассмотренном примере для 7 лет имеем

50000 х ( 1,05 ) -7 = 35534,06 затем осуществляем простое дисконтирование за 0,25 года

 

P = 35534,06 х (1 - ( 0,05 )( 0,25 )) = 35089,88 .

Как видим, в этом примере абсолютная точность определения текущей стоимости равна 35103,27 - 35089,88 = 13,39 что дает относительную точность 0,00038 или 0,038\% .

 

Когда используется простой процент или простой дисконт при определении итоговой суммы или текущей стоимости для дробных сроков накопления или дисконтирования, процедура вычисления называется практическим методом и может быть сформулирована следующим образом. Для определения практическим методом итоговой суммы или настоящей стоимости за дробный временной интервал сначала выделяется дробная часть года и для нее определяется промежуточный итог ( в случае накопления ) или промежуточная настоящая стоимость ( в случае дисконтирования ). На втором этапе эти промежуточные значения принимаются в качестве исходных для задачи с остающимся временным интервалом, насчитывающим целое число периодов конверсии. Приведем формальное описание этого метода.

 

В задаче определения итоговой суммы пусть P обозначает основную сумму, i - норму процента за период конверсии и временной интервал накопления равен n + t , где n - целое число периодов конверсии, а t - дробная часть периода конверсии, t < 1 . Сначала определяется промежуточный итог с использованием простого процента

 

P(1 + it)

 

Затем, используя технику сложных процентов и считая промежуточный итог основной суммой, находим окончательную итоговую сумму

 

S = P(1 + it)(1 + i)п .

 

Рассуждая аналогично для определения настоящей стоимости можно получить формулу

 

P = S(1 - it)(1 + i)-п .

 

Использование практического метода поясним на примере. Пусть необходимо определить итоговую сумму накопления для основной суммы 10000 рб при норме процента i = 10\% за 4 года и 10 месяцев. Практический метод предлагает сначала найти промежуточный итог за 10 месяцев, используя технику простого процента, что дает

10000 х (1 + ( 0,1 )(10/12)) = 10833,33 ,

Затем, рассматривая это как основную сумму, найдем накопление за 4 года, то есть

 

10833,33 х (1 + 0,1) 4 = 10833,33 х 1,4641 = 15861,08

 

Точное значение итоговой суммы при накоплении в течении 4 лет и 10 месяцев равно

S = 10000 х (1 + 0,1) 4 + 10/12 = 15851,29 рб .

Применение практического метода дает абсолютную точность

15861,08 - 15851,29 = 9,79 рб .

 

Заметим, что применение практического метода оправдано только в тех случаях, когда под рукой нет вычислительных средств, позволяющих возводить числа в дробную степень, и есть таблицы множителей накопления и дисконтирования.

 

В заключение обратим внимание еще раз на то, что формулы (1) и (2) связывают четыре величины S , P , n и i , так что если заданы S , P и n по ним можно определить норму процента i , обеспечивающую заданное накопление. Если заданы S , P и i , через них можно найти продолжительность временного интервала n , необходимого для достижения заданного накопления.

 

УПРАЖНЕНИЯ 2

При какой номинальной ставке j4 деньги удваиваются через 12 лет?

При какой номинальной ставке j2 деньги удваиваются через 15 лет?

При данной процентной ставке j2 10 млн рб прирастают до 25 млн рб через 20 лет. Какой является сумма в конце 10 лет?

При данной процентной ставке j4 10 млн рб прирастают до 15 млн рб в конце 10 лет. Какой будет сумма в конце 6 лет?

Облигация стоит 18,75 млн рб и по ней выплачивается 25 млн рб через 10 лет. Какая процентная ставка j2 обеспечит этот рост?

Найти   годовую   эффективную   норму,   соответствующую   1,5\% , конвертируемым ежемесячно.

Сумма денег инвестируется при  j4   на один год. Какая ставка j12 накопила бы такую же сумму в конце года?

10 млн рб инвестируются на 5 лет при j12 = 5\% . Какая ставка j4 накопит равную сумму через то же самое время?

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 |