Имя материала: Начальный курс финансовой математики

Автор: Медведев Г.А.

Глава 3 уравнения эквивалентности

 

3.1 ДАТИРОВАННЫЕ СУММЫ

 

Использование значений денежных сумм без указания даты, когда они должны использоваться, является бессмысленным. Очевидно, что 1000 рб наличными в настоящее время предпочтительнее, чем 1500 рб, обещанные через 50 лет. Сумма платежа вместе с датой погашения называется датированной суммой. Например, 10000 рб, полагающиеся

7          июля 1995 г., являются датированной суммой.

 

Когда необходимо сравнивать датированные суммы, нужно обязательно знать норму процента. Если человек имеет возможность в течение некоторого времени инвестировать свои деньги, получая 8\% годовых, говорят, что его деньги стоят j1 = 8\% . При такой норме 1000 рб, полагающиеся через три года, и 1360,49 рб ( = 1000 х (1,08) 4 ), полагающиеся через 7 лет, могут рассматриваться как эквивалентные, так как после получения через три года 1000 рб можно в течение следующих четырех лет при норме 8\% годовых накопить 1360,49 рб. Точно также 793,83 рб, ( = 1000 х (1,08) -3 ), имеющиеся в настоящее время, эквивалентны 1000 рб через три года.

 

8          общем случае датированные суммы сравниваются по следующему правилу эквивалентности: сумма P , полагающаяся на данную дату, эквивалентна при данной норме сложного процента i сумме S , полагающейся на n периодов конверсии позже, если является справедливым хотя бы одно из следующих равенств:

S = P(1 + i)

или    P = S(1 + i)

 

Таким образом, накопление или дисконтирование могут рассматриваться как простое преобразование заданной датированной суммы к другой дате. Преобразование делается в соответствии со следующей временной диаграммой:

Прошлая дата     Настоящая дата

Будущая дата

 

D(1 + i)

D

D(1 + i)

 

Прошлая и будущая суммы эквивалентны датированной сумме D.

 

Важным и полезным свойством эквивалентных датированных сумм является следующее свойство 1 : при данной норме сложного процента если A эквивалентно B   и B эквивалентно C, то A эквивалентно C.

 

Для доказательства этого утверждения мы расположим данные на временной диаграмме следующим образом :

 

0      a       b c

            I           I           I           I          

P     A       B C

 

где 0 означает настоящее время и a , b, c представляют числа периодов конверсии от настоящего времени до соответствующих дат погашения.

 

Если A эквивалентно B , то B = A(l + i)b-a . Если B эквивалентно C, то C = B(1 + i)c-a .

 

Исключая из этих равенств сумму B , получим, что

 

C = A(1 + i) b-a(1 + i)c-b = A(1 + i)c-a .

 

Полученный результат является условием эквивалентности датированных сумм A и C.

 

Это свойство не имеет места для норм простого процента и норм простого дисконта. Поэтому понятие эквивалентности для этих норм не применяется.

 

ПРИМЕР 1 Долг 10000 рб следует выплатить через 10 лет. Если деньги стоят j1 = 5\% , найти эквивалентный долг через a) 1 год , b) 15 лет.

РЕШЕНИЕ Построим временную диаграмму

0   1       10      15

P X     10000 Y

 

Согласно правилу эквивалентности X = 10000 х (1,05) -9 = 6446,1 полагается через 1 год

Y = 10000 x (1,05) 5 = 12762,8 полагается через 15 лет Иллюстрацией эквивалентности  X и   Y  может служить применение свойства 1, так как (6446,1)(1,05) 14 = 12762,8.

 

ПРИМЕР 2 Вексель на 10000 рб со сложным процентом при j4 = 6\% за три года должен быть погашен через три года. Какая сумма, полагающаяся через 8 лет, эквивалентна этой сумме при j2 = 4\% ?

 

РЕШЕНИЕ Данная сумма, датированная на конец третьего года, равна 10000 x (1,015) 12 = 11956,2 рб. Расположим данные на временной диаграмме соответствующим образом

 

0        6 16

            I           I           I          

11956,2 X

 

Здесь 6 и 16 представляют количества полугодовых периодов начисления, начиная с начального момента. Искомая сумма получается путем накопления основной суммы 11956,2 рб за 10 периодов начисления при норме 2\% за период, то есть X = 11956,2 x (1,02) 10 = 14574,5 полагается через 8 лет.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 |