Имя материала: Начальный курс финансовой математики

Автор: Медведев Г.А.

4.5 тождества, связывающие накопления и аннуитеты

 

Функции составных платежей широко используются в финансовых расчетах, связанных с платежами распределенными во времени. Для основных из них составлены таблицы, принципы составления которых отражены в приложении к книге. Важную роль при финансовых расчетах играют также тождества, которые устанавливают часто используемые взаимоотношения между функциями составных платежей s     и а .

Воспользуемся равенством (2)

 

S = A(1 + і)п .

 

Подставляя в это равенство значения S и A по формулам (1) и (3) и сокращая обе части равенства на R , получим

 

s_.  = (1 + і) п а -,  . (11)

ni        х          7          ni        х 7

 

Эта формула и определяет первое тождество, связывающее рассматриваемые функции.

Далее, из определения

 

(і + і )" -1

"Iі і

 

следует, что

 

1 + і s        = (1 + і) п .

 

Поделив это равенство на (11), мы получим второе тождество

 

11

тг+1 = az~ (i2)

 

Оба тождества (11) и (12) справедливы для любых значений параметров " и і .

 

В дополнение к только что полученным тождествам можно добавить и ряд других важных тождеств. Некоторые из них предлагается получить в порядке выполнения нижеследующих упражнений. Важность этих тождеств можно оценить тогда, когда при расчетах необходимо определять значения функций составных платежей для таких " , которые лежат за пределами имеющихся таблиц.

 

ПРИМЕР При приобретении дома необходимо заплатить 20 млн рб в день покупки и выплачивать 750 тыс рб ежемесячно в течение следующих 20 лет. Если деньги стоят j12 = 6\% , какова стоимость дома на день покупки ?

 

РЕШЕНИЕ Поместим исходные данные на временную диаграмму

 

0           1            2           3      ... 240

            I           I           I           I           I          

20 млн   750 тыс   750 тыс   750 тыс ...   750 тыс

X

 

Уравнение эквивалентности с датой сравнения в день покупки

X = 20000 + 750 х а —, .

2 4 0 |0 , 0 0 5

 

Обычно таблицы для функций составных платежей содержат значения этих функций для n , не превышающих 200. Поэтому значение функции а 2jo-|0 0 0 5 не может быть получено из таблицы непосредственно и его

нужно определять некоторым другим способом. Мы используем тождество, основанное на формуле (10) ( см. также упражнение 4 ).

 

а—-, = (1 + i)-ка—,    + а—, .

 

При n = 200 , к = 40 , i = 0.005 это тождество дает

 

а          ,        = (1,005) "40 а   ,        + а _, =

2 4 0 |0 ,0 0 5       V   ■>         J           2 0 0 |0 , 0 0 5 4 0 |0 , 0 0 5

= 0,81913886 х 126,24055430 + 36,17222786 = 139,58077 так что эквивалентная стоимость дома на день покупки

X = 20000 + 750 х 139,58077 = 124685,6 тыс рб. УПРАЖНЕНИЯ 4.1

Доказать справедливость следующих равенств

(1 + i) я-,   = s  ,   - 1.

(1 + i) а -, =     а          , + 1.

s           -, =       + (1 + i)п s-, = (1 + i) k        + s-, .

а —_, =           + (1+ i) n а -, = (1+ i)'k а      + а .

s —-і = s -і      - (1 + i) n а —, = (1 + i) - k s -і   - а —і .

а —-1 = а -і     - (1 + i) - n s -> = (1 + i) k а -,    - s -> .

n + k   i            n^^^       4       7          ki        x          y          ni ki

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 |