Имя материала: Начальный курс финансовой математики

Автор: Медведев Г.А.

4.6 определение платежей аннуитета

 

Основное уравнение аннуитета (1) определяет взаимоотношения между величинами S , R , n и i. Подобным образом, равенство (3) определяет зависимость между A , R , n и i . В каждом из этих случаев если мы знаем три из этих величин, четвертая может быть определена Когда известны S , n и i , периодические платежи аннуитета находятся из уравнения (1)

R =

S

= S

1

 

ni

 

(13)

 

Для быстрого определения R при отсутствии вычислительных средств составлены таблицы величины    (1/ s     ) для    обычно используемых

значений параметров n и i.

 

Когда даны A , n и i, формула для R получается из равенства (3)

А

1

R =

a

 

n|i

= A

a

 

n|i

(14)

 

Подпись: нет необходимости иметь
а

Для быстрого определения (1/

специальную таблицу, так как по выражается через табулированную

добавлением известного параметра i .

 

тождеству (12) величину      (1/ s

эта величина ) простым

n|i

 

Следует заметить, что формулы (13) и (14) справедливы только для обыкновенных аннуитетов. Когда определяются платежи полагающихся или отсроченных аннуитетов, не следует использовать эти формулы. В таких случаях нужно возвращаться к общей процедуре определения составляющих аннуитета, выписывая уравнение эквивалентности.

 

ПРИМЕР 1 Сберегательный банк начисляет проценты по норме j4 = 3\% . Какой величины вклады необходимо делать в конце каждого квартала, чтобы накопить за 5 лет 1 млн рб ?

 

РЕШЕНИЕ Представим исходные данные на временной диаграмме 0     1    2     3    4    ... 18    19 20

            I           I           I           I           I           I           I           I          

R   R      R    R   ...    R    R R

1 млн

 

Выпишем уравнение эквивалентности для даты сравнения в конце двадцатого периода начисления. Это дает

 

1 млн рб = R  S 2у|0,0 0 7 5 .

 

Разрешая его относительно R , получим

 

R = 1/ s 2¥|0 0 0 7 5 = 1 х 0,04653063 = 46530,63 рб.

 

ПРИМЕР 2 Стиральная машина стоит 500 тыс рб наличными. Она может быть приобретена также в рассрочку путем начального платежа 200 тыс рб и одинаковыми ежемесячными взносами в течение двух лет. Найти величину ежемесячного платежа, если деньги стоят j12 = 3,5\% .

 

РЕШЕНИЕ Представим исходные данные на временной диаграмме

 

0      1      2     3   ...   22    23 24

            I           I           I           I           I           I           I          

200   R   R   R ... R   R R 500

 

Месячная норма процента равна (7/24)\% . Уравнение эквивалентности с датой покупки в качестве даты сравнения имеет вид

 

2 4 |7 / 2 4

 

Разрешая его относительно R , получим

 

R = 300 х (1/а ЇТІ7/24   ) •

 

Из тождества (12) находим

(1/а _,       ) = (1/s_,       ) + 0,07/24 = = 0,04028606 + 0,00291667 = 0,04320273 .

Поэтому R = 300 х 0,04320273 = 12,96 тыс рб .

 

ПРИМЕР 3 Студент занимает 2 млн рб, чтобы заплатить за обучение в течение года. Он обещает возместить долг с процентами при j2 = 4,5\% десятью полугодовыми взносами. Первая выплата будет сделана через три года после получения займа. Какими должны быть эти взносы ?

 

РЕШЕНИЕ Представим исходные данные на временной диаграмме

 

0     1      2   ...    5     6      7    ...   14 15

            I           I           I           I           I           I           I           I          

R     R   ...   R R

2 млн

 

Способ 1. Запишем уравнение эквивалентности, используя конец пятого полугодия в качестве даты сравнения

 

R а пг|2,25о\% = 2 х (1,0225) 5 млн рб .

 

Умножение этого равенства на (1/ а —12 2 5 \% ) дает

 

R = 2 х (1,0225) 5 х (1/ а      , 25 \% ) млн рб = = 2 х 1,11767769 х 0,11278768 млн рб = 252,11 тыс рб .

 

Способ 2. Добавим дополнительные платежи в концах первых пяти периодов в обе строки платежей. Тогда диаграмма преобразуется к следующему виду

 

0       1       2    ...    5      6     7    ...   14 15

            I           I           I           I           I           I           I           I          

(R)  (R) ... (R)   R   R ...  R R 2 млн (R)  (R) ... (R)

 

Уравнение эквивалентности для дня получения долга в качестве даты сравнения имеет вид

 

R а—,  = 2000000 + Rа-, .

15 12 , 2 5 \%   5|2 , 2 5 \%

 

Разрешая его относительно R , получим

R = 2000000/( a —,    - a        ) =

^      15 12 , 2 5 \%       5|2 , 2 5 \% '

= 2000000/(12,61216551 - 4,67945253) = 252,11 тыс рб .

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 |