Имя материала: Начальный курс финансовой математики

Автор: Медведев Г.А.

4.7 аннуитеты с неизвестными сроками

 

Предположим, что человек занимает 10 млн рб и согласен выплатить долг при норме процента j4 = 4\% платежами по 500 тыс рб в конце каждого квартала в течение необходимого времени. Ясно, что платежи образуют аннуитет, текущая стоимость которого на день займа равна 10 млн рб. То есть

 

10000 тыс рб = 500 х a-| 1\% тыс рб      или     a-| 1\% = 20 ,

 

где n является неизвестным. Обратившись к таблицам, мы увидим, что для целого n полученное равенство не может удовлетвориться, действительно,

 

a22|1\%= 19,66037934     и    a-|10\% = 20,45582113 .

 

В этой ситуации обычно делается 22 платежа по 500 тыс рб каждый, а 23-ий платеж делается меньшей суммой, но достаточной, чтобы расплатиться с долгом.

 

В общем случае, когда заданы A , R и i , практически никогда соответствующий параметр n не бывает целым. Поэтому приходится использовать один платеж, отличающийся от R , чтобы обеспечить эквивалентность выплат. Обычно этот платеж является последним и по величине меньше, чем R , хотя это и не является необходимым. Определение величины последнего платежа производится с использованием все того же уравнения эквивалентности. Рассмотрим это на примерах.

 

ПРИМЕР 1 Предположим, что заемщик в вышеописанной ситуации подписывает сделку с 22-мя поквартальными платежами и последним платежом в конце 23-го квартала величиной F, достаточной для погашения оставшейся части долга. Чему равна F ?

 

РЕШЕНИЕ Представим исходные данные на временной диаграмме

О       1          2          3     ...     21       22 23

            I           I           I           I           I           I           I          

5ООт     5ООт     5ООт    ...    5ООт     5ООт F

10 млн

 

Способ 1. Выпишем уравнение эквивалентности, используя в качестве даты сравнения конец 22-го периода. Это даст

 

F (1,О1) -1 + 5ОО       = 1ОООО х (1,О1) 22 .

 

Разрешая это уравнение относительно F , получим

 

F = ( 12447,16 - 12235,79 )(1,О1) = 231,5 тыс рб.

 

Способ 2. Введем по одному дополнительному платежу 5ОО тыс рб в день окончания 23-го периода и используем эту дату как дату сравнения в уравнении   эквивалентности получившихся платежей

F + 5ОО s-|10\%= 1ОООО х (1,О1) 23 + 5ОО F = 12571,63 + 5ОО - 12858,15 = 213,5 тыс рб.

 

Когда заданы величины S , R и i , расчет серии платежей проводится аналогично.

 

ПРИМЕР 2 Вклады по 1ОООО рб делаются в сберегательный банк по полугодиям при норме процента j2 = 3\% . На какую дату попадает заключительный вклад, не превышающий 1ОООО рб, если сумма на депозитном счете становится равной 3ООООО рб ? Каким будет этот заключительный вклад ?

 

РЕШЕНИЕ Вклады будут образовывать аннуитет с итоговой суммой 3ООООО рб. Поэтому имеет место равенство

 

3ООООО = 1ОООО х s-{ 1,5\%      или     sn ^ = 3О ,

 

где n неизвестно. Из таблиц находим, что

 

s-|15\% = 28,63352О8О    и     s-|1>5\% = 3О,О63О2361 .

Следовательно, нужно сделать 24 вклада по 10000 рб и заключительный вклад F в конце 25-го периода. Представим это на временной диаграмме

 

0     1       2        3    ...    23      24 25

            I           I           I           I           I           I           I          

10т    10т     10т   ...   10т     10т F

300т

 

F определяется из подходящего уравнения эквивалентности.

Способ 1.  В  качестве  даты  сравнения  используем  конец двадцать

четвертого интервала платежа; тогда имеем

 

F (1,015) -1 + 10000 ^-|15\% = 300000 (1,015) -1

 

Разрешаем это равенство относительно F

 

F = 300000 - 290630 = 9370 рб.

 

Способ 2. Добавим по вкладу 10000 рб в каждую строчку диаграммы в конце двадцать пятого периода и выберем эту дату в качестве даты сравнения уравнения эквивалентности.

 

F + 10000 s-|15\% = 300000 + 10000 ,

 

откуда получаем

 

F = 310000 - 10000 х 30,06302361 = 9370 рб.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 |