Имя материала: Начальный курс финансовой математики

Автор: Медведев Г.А.

4.8 определение заключительного платежа с помощью интерполяции

Когда A , R и i ( или S , R и i ) заданы, уравнение аннуитета A = R а пi ( или S = R s -| i ) может быть разрешено относительно n или путем

интерполяции или при помощи логарифмирования. Процедура расчета простая, но появляется проблема   интерпретации   нецелого решения.

Например, если уравнение аннуитета приводит к равенству а пi = 20 , как встретилось в предыдущем  разделе, интерполяция дает результат п  =  22,42696.   Легко проверить, что произведение дробной части этого решения на величину периодического платежа дает точное значение заключительного платежа F, определяемого в примере 1 ,

 

500000 х 0,42696 = 21348 рб.

 

Оказывается это имеет место и в общем случае.

 

Пусть даны A , R и i . Значение п определим с помощью интерполяции. Представим п в виде k + f , где k - целое число, а f - дробная часть, f < 1. Тогда F = f R равно заключительному платежу, выплачиваемому через один период после последнего платежа R и обеспечивающему эквивалентность платежей. Докажем это. Из уравнения аннуитета имеем а -і = A/R . Составим таблицу данных

 

k        k + f     k + 1

 

a -і      A / R      a -—,

k|i        k + 1 i

 

Из уравнения пропорции получим

 

J_ =     - a Лі

1          a          1   -   a —і

k + 1   i            k i

 

Знаменатель этой формулы можно вычислить по формуле (10) при п = 1 с учетом того, что a -,. = (1 + i) -1 . Это дает следующее выражение для f

О + i)

 

Умножая это равенство на R(1 + i) -k_1, получим

 

f R (1 + і) "ы = A - R aAi.

 

С другой стороны, если F определять при помощи уравнения эквивалентности с датой сравнения в начале первого интервала платежа, мы получим согласно диаграмме

О      1       2       3    ...    k-l     к k+l

            I           I           I           I           I           I           I          

R      R      R   ...    R      R F

A

 

следующее уравнение эквивалентности стоимостей

 

A = R aF|. + F(1 + i) -kA .

 

Сравнивая этот результат с предыдущим, убеждаемся, что в условиях линейной интерполяции F = f R , что и требовалось.

 

Таким образом, когда уравнение аннуитета   a -|. = A/R разрешается

относительно n приближенно при помощи линейной интерполяции, дробная часть n может интерпретироваться как дробная часть R , необходимая в качестве заключительного платежа F , когда F выплачивается одним периодом позже последнего платежа R .

 

В заключение заметим, что точное значение n находится из уравнения аннуитета, записанного в явной форме

 

1 - (1 + i) ~n A

a -і  =   = —

nv        i R

 

что может быть переписано более удобно

 

(1 -iA/R)(1 + i)п = 1 .

 

Логарифмируя это равенство и выражая затем n , получим его точное значение в виде

 

n = - (log(1 - iA/R)) / log(1 + i).

 

К сожалению, это выражение не поддается практической интерпретации.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 |