Имя материала: Начальный курс финансовой математики

Автор: Медведев Г.А.

4.9 определение процентной ставки

 

Когда неизвестна процентная ставка i , но заданы R , n и A ( или S ) , мы вновь обращаемся к формуле (3)

 

A = Ra -.   = R (1 - (1 + i),

 

которая может рассматриваться как уравнение относительно процентной ставки i. Оно может быть преобразовано к виду

 

(A/R)(1 + i)п+1 - (1 + A/R)(1 + i)п + 1 = 0

 

Такое уравнение относится к классу нелинейных алгебраических уравнений и его решение в общем случае не выражается в явной аналитической форме, так что его решение может быть осуществлено только численными методами.

 

Вместе с тем, используя метод линейной интерполяции, можно достаточно просто находить приближенные решения этого уравнения. Продемонстрируем это на примерах.

 

ПРИМЕР 1 Петров вкладывал в сберегательный банк по 25 тыс рб в конце каждого месяца в течение 5 лет. В настоящее время у него на счете накопилось 1625 тыс рб. С какой номинальной нормой процента для m = 12   начисляет проценты сберегательный банк ?

 

РЕШЕНИЕ Обозначим через i месячную норму процента и через j12 - соответствующую номинальную норму. Вклады по 25000 рб образуют аннуитет с итоговой суммой 1625000 рб как показано на нижеследующей временной диаграмме

 

0      1         2         3    ...     58        59 60

            I           I           I           I           I           I           I          

25т      25т      25т    ...    25т      25т 25т

1625т

 

Уравнение аннуитета имеет вид

 

25 s 6ТІ і = 1625     так что    s —i = 65

На основе таблицы для функции составных платежей s -|. составим следующую табличку

 

s_.     65,46611   65,00000 64,64671

6 0 i

і       7/24 \%     ?          1/24 \%

ji2     7/2 \%       ?         3 \%

 

Составляем пропорцию линейной интерполяции

 

j12 - 0,03     65,00000 - 64,64671 0,35329 0,035- 0,03 " 65,46671 - 64,64671 " 0,81940 .

 

Откуда получаем j12 = 0.03216 .

 

ПРИМЕР 2 Фирма продает товар стоимостью 100 млн рб по следующему платежному расписанию : 10 млн рб сразу и 10 ежемесячных взносов по 9&55 млн рб каждый, первый взнос делается через три месяца. Какую номинальную норму для m = 12 предусматривает такое расписание ?

 

РЕШЕНИЕ 10 ежемесячных платежей образуют отсроченный аннуитет с текущей стоимостью 90 млн рб на день покупки как показано на временной диаграмме

 

0      1      2      3         4     ...     11 12

            I           I           I           I           I           I           I          

9.55   9.55       ... 9.55 9.55

90

Уравнение аннуитета имеет вид

90 = 9,55 (а щг - а г|г )      так что      а -{г - а   г = 9,4241 .

 

Вновь обращаясь к таблицам функций составных платежей, составляем вспомогательную табличку

 

j12       9 \%     ?     10.5 \%

.           3/4 \%    ?      7/8 \%

а тт1. - а   .    9.4572    9.4241 9.3704

12 і      2 і

Пропорция линейной интерполяции имеет вид

 

j12 - 0,09     9,4241 - 9,4572 0,0331 0,105 - 0,09 ~ 9,3704 - 9,4572 ~ 0,0868 .

 

Следовательно, j12 = 0.0957 .

 

Применяя приближенные методы интерполяции, следует представлять точность этих приближений. Приведем некоторые данные, касающиеся ошибок при определении нормы процента с использованием интерполяции по таблицам функций составных платежей. Когда i получается   по   таблицам a -|. , результат немного завышается; когда

используются    таблицы  s -|. , результат немного меньше истинного.

Ошибка зависит сильнее от разности между двумя соседними значениями нормы процента в таблице и гораздо слабее - от величины n . Анализ ошибок для всех значений параметров таблиц показывает, что ошибка редко превосходит величину

(n/10)( разность норм процента ) 2 .

Эта величина для расчета i в примере 1 равна

(60/10)( 0,07/24 - 0,01/4 ) = 0,00000104 .

 

и для j12 составляет 0,0000125 . Для примера 2 расчет j12 с точностью до шестого знака дает 0,095719 .

 

УПРАЖНЕНИЯ 4.2

Какие ежеквартальные взносы должны делаться в сберегательный банк, выплачивающий j4 = 3\% , для того, чтобы накопить 50 млн рб за 5 лет?

Найти годовые платежи аннуитета, чья итоговая сумма равна 25 млн рб, если срок равен 10 лет и процентная ставка j1 = 5\% .

Какие одинаковые платежи в конце каждого квартала в течение 20 лет обеспечили бы приобретение дома, который стоит 200 млн рб наличными, если процентная ставка j4 = 5\% ?

Автомобиль стоит 35 млн рб наличными, но может быть куплен за 6 млн рб наличными и остаток в виде ежемесячных платежей в течение 3 лет.

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 |