Имя материала: Начальный курс финансовой математики

Автор: Медведев Г.А.

5.2 преобразование обыкновенных общих аннуитетов в простые аннуитеты

 

Введем обозначения :

W - платежи общего аннуитета;

p - количество платежей общего аннуитета в год;

і - норма процента за период конверсии;

m - число периодов начисления процента в год;

R - платежи обыкновенного простого аннуитета, который является эквивалентной заменой общего аннуитета, делаемые m раз в год.

 

Если аннуитет заменяется другим аннуитетом, то очевидно должны быть выполнены следующие два условия : а) норма процента должна быть той же самой или эквивалентной; b) стоимости обоих аннуитетов должны быть одинаковыми в любой момент времени.

 

Обыкновенный общий аннуитет с платежами W , делаемыми p раз в год, и нормой процента i за период конверсии с m периодами конверсии в год и обыкновенный простой аннуитет с платежами R , делаемыми m раз в год удобно представить на временных диаграммах :

 

0     1/p     2/p     3/p   ...    (p-1)/p 1

 

W      W      W   ...       W W

 

0        1/m       2/m    ...     (m-1)/m 1

            I           I           I           I           I          

R      R    ...      R R

 

Для того, чтобы эти аннуитеты были эквивалентными, определим норму процента і' за интервал платежа общего аннуитета, которая эквивалентна норме i за период начисления процента. Тогда ( см. раздел 2.6 )

 

(1 + і)р = (1 + і) т . (1)

Если теперь приравнять аннуитеты в конце года, получим

 

R s-,   = W s-,

mi pi

 

Заменяя функции составных платежей s-v и s-, их явными выражениями в обеих частях (2), будем иметь

(1 +i)- -1    (1 +1 оp -1

R-        = W-   

i           i'

 

(3)

С помощью (1) это равенство упрощается к виду

R/i = W/i'.

Разрешая (1) относительно i' находим, что

i' = (1 + i)т/р - 1 , Подставляя это в (4) окончательно получаем

 

(4)

 

R = W—

(1 + i)

i

 

(5)

 

Дробь в правой части этого равенства является обратным значением

функции

п i

для дробного параметра n = m/p

Так что справедливы равенства

1

R = W—

m/pi

 

и

 

W = Rs—,

—pi

 

(6)

 

Понятно, что значение дроби m/p в общем случае может быть любым. Однако практически встречается один из следующих вариантов : a) m/p является целым числом : в этом случае для анализа общего аннуитета можно использовать обычные таблицы для целочисленных значений параметра; b) m/p является дробью вида к/12 , к = 1, 2, 3, 4 или 6 , поскольку такие дроби встречаются довольно часто для них также составлены соответствующие таблицы функций составных платежей.

ПРИМЕР 1 Сидоров получает пенсию 5 млн рб в конце каждого года. Какие ежемесячные выплаты эквивалентны этой сумме, если деньги стоят     = 6\% ?

 

РЕШЕНИЕ Здесь W = 5 млн рб, p = 1, i = 1/2 \% , m = 12 и нужно определить R.

 

0          (1 год) 1

 

5 млн

 

0          1          2       ...            11 12

            I           I           I           I           I          

R         R       ...           R R

 

Использование равенства (6) дает

 

R = 5000 / ^Г2|05\% = 405,35 тыс рб .

 

Таким образом, Сидоров мог бы получать ежемесячно 405350 рб вместо получения 5 млн рб в конце года. Такой результат получился бы, если бы мы воспользовались уравнением эквивалентности с датой сравнения в конце года.

 

ПРИМЕР 2 Заменить платежи по 500 тыс рб в конце каждого квартала на полугодовые платежи, если норма процента 5\% , m = 2 .

 

РЕШЕНИЕ Мы имеем W = 500000 , p = 4 , i = 2,5 \% и m = 2.

 

0          1          2          3 4

            I           I           I           I           I          

500т    500т     500т 500т

 

0                     1 2

            I           I           I          

R R

 

Из уравнения (6) получаем

 

R = 500/ s^2i25\% = 500 x 2,01242284 = 1006,2 тыс рб .

Таким образом, полугодовые платежи 1006,2 тыс рб эквивалентны поквартальным платежам 500 тыс рб при норме процента j2 = 5 \% .

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 |