Имя материала: Начальный курс финансовой математики

Автор: Медведев Г.А.

6.2 определение неоплаченной суммы долга

 

Когда погашается долг, неоплаченная сумма долга после любого заданного числа платежей может найдена путем составления расписания амортизации. Когда число платежей велико, составление полного расписания становится утомительным и желательно иметь способы его ускорения. Как мы увидим, для этих целей можно использовать соответствующее уравнение стоимостей.

Неоплаченная сумма долга на любую дату представляет собой невозмещенный баланс долга. Точно так же на любую дату настоящая стоимость платежей, которые еще не сделаны, представляет собой невозмещенный баланс долга. Таким образом, мы получаем следующее соотношение эквивалентности : неоплаченная сумма долга на любую заданную дату эквивалентна сумме платежей, которые должны быть сделаны.

 

ПРИМЕР 1 Долг 100 млн рб будет амортизироваться платежами в конце каждого квартала в течение 12,5 лет. Если деньги стоят 3,5 \% , m = 4, найти неоплаченную часть долга в конце седьмого года.

 

РЕШЕНИЕ Способ 1. Сначала определим необходимые амортизационные платежи. Платежи образуют обыкновенный аннуитет с текущей стоимостью 100 млн рб, поэтому

 

100 = R а-|7/8\%     значит   R = 100 /а-|7/8\% = 2,4779 .

 

Так как неоплаченная часть долга в конце 7-го года эквивалентна платежам, которые должны быть сделаны, мы представим на временной диаграмме только платежи последних пяти с половиной лет.

 

28      29      30      31   ...    49 50

            I           I           I           I           I           I          

R        R       R   ...    R R

P

 

Равенство стоимостей дает

 

P = R а22|7/8\% = 2,4779 х 19,93310 = 49,3923 млн рб.

 

Способ 2. Другой способ определения неоплаченной части долга основан на использовании временной диаграммы платежей первых семи лет

 

0      1      2      3   ...   27 28

            I           I           I           I           I           I          

R      R     R   ...    R R+P

100 млн

Заметим, что на временной диаграмме в конце седьмого года помещено Р, обозначающее остающиеся платежи. Теперь мы составим уравнение стоимостей на конец 7-го года в качестве даты сравнения. Это даст

Р + R s5o|7/so/o = ЮО х (1,00875) 28 . Разрешая его относительно Р , мы получим

 

Р = 100(1,000875) 28 - 2,4779 s-|7/8\% = 49,3923 млн рб .

 

При определении неуплаченной части долга мы использовали два подхода. В первом использовалась заключительная часть временной диаграммы и платежи, еще не сделанные. Такой способ иногда называют методом перспективы, так как он использует будущие операции по выплате долга. Во втором способе используется начальная часть временной диаграммы и платежи, которые уже сделаны. Так как этот способ использует уже выполненные операции по выплате долга, его иногда называют ретроспективным методом. Когда все платежи одинаковые, обычно проще использовать первый метод, так как неоплаченная часть долга в любой момент времени совпадает с настоящей стоимостью аннуитета, состоящего из платежей, которые еще предстоит сделать. Таким образом, сразу после k-го платежа неоплаченная часть долга равна

 

р = R а^, . (1)

 

Однако когда заключительный платеж отличается от регулярных, обычно проще использовать второй способ, поскольку сразу после k-го платежа неоплаченная часть долга равна

 

Р = A(1 + i)k - RS-k]i. (2a)

 

Используя тождество (1 + i) k = 1 + i sniki , мы можем переписать предыдущее равенство в более простом виде

 

Р = a - (R - Ai) sTU . (2b) ( При вычислении по этой формуле, к тому же, достаточно пользоваться одной таблицей.  ) Эта формула показывает также , что выплаченная

сумма долга равна (R - Ai) sцi .

 

ПРИМЕР 2 Долг 300 млн рб и проценты при j12 = 6\% амортизируются платежами по 5 млн рб в конце каждого месяца до полного погашения долга. Найти неоплаченную часть долга в конце третьего года.

 

РЕШЕНИЕ Так как число платежей и величина заключительного платежа неизвестны, проще использовать ретроспективный метод. Пусть P обозначает неоплаченную часть долга в конце третьего года. Тогда P эквивалентно всем платежам, сделанным после трех лет, и может быть использовано для обозначения всех этих платежей на временной диаграмме

 

0       1        2       3    ...    35 36

            I           I           I           I           I           I          

5        5        5    ...     5 5+P

300

 

Записывая уравнение эквивалентности с использованием конца 36-го периода в качестве даты сравнения, получим

 

P + 5 s36|o,5o\% = 300 х (1,005) 36.

 

Производя вычисления, получим P = 162,324 млн рб. Метод амортизации часто используется при ликвидации долга, возникающего из-за покупки собственности. При этом неоплаченная часть долга часто упоминается как доля покупателя. Выплаченная часть долга вместе с наличным платежом, если он был, называется долей покупателя. Таким образом мы получаем соотношение

 

Доля покупателя + Доля продавца = Стоимость собственности (3)

 

Слова «стоимость собственности» относится к первоначальной продажной цене, которая может быть или не быть ее настоящей рыночной стоимостью.

 

ПРИМЕР 3 Дом стоимостью 100 млн рб продается за 30 млн рб наличными и серию платежей ежемесячными взносами в течение 15 лет. Если норма процента равна j12 = 6\% , найти доли продавца и покупателя в стоимости дома в конце шестого года после сделки.

 

РЕШЕНИЕ Так как амортизируется 70 млн рб

 

70 = r я            или r = 70 / а—,    = 0 5907

IKJ     1V     18^1/2\% J           1     1801/2\% ,

 

которые ежемесячно выплачиваются. Неоплаченная часть стоимости дома в конце 6 лет может быть найдена или методом перспективы или ретроспективным методом, но метод перспектив в этом случае будет проще. Представим выплаты за последние 9 лет на временной диаграмме

 

72       73       74       75   ...   179 180

            I           I           I           I           I           I          

r        r        r   ...    r r

p

 

Приравнивание стоимостей дает

 

p = r а18^|1/2\% = 0,5907 х 83,29342446 = 49,2014 млн рб,

 

которые являются неоплаченной частью стоимости дома, или долей продавца в конце 6 лет. Так как первоначальная цена дома была 100 млн рб, доля покупателя равна

 

100 - 49,2014 = 50,7986 млн рб.

 

ПРИМЕР 4 Петров купил участок земли стоимостью 100 млн рб, заплатив 40 млн рб наличными и остальное ежемесячными взносами по 0,5 млн рб до полной выплаты стоимости участка. Если норма процента равна 5\% эффективных, найти долю Петрова в конце десятого года.

 

РЕШЕНИЕ Так как число платежей неизвестно, удобней использовать ретроспективный метод. Платежи по 0&5 млн рб образуют общий аннуитет, поэтому мы сначала найдем эквивалентный годовой аннуитет. Таким образом, мы имеем

 

r = w/s^   = 0,5 / s=

= 0,5 х 12,27257753 = 6,136289 млн рб,

как годовые платежи, эквивалентные ежемесячным по 0,5 млн рб. Представим платежи для первых 10 лет на диаграмме

 

0      1      2      3      4   ...    9 10

            I           I           I           I           I           I           I          

R     R      R      R   ...   R R

60 млн

 

На диаграмме R является годовым платежом и P является неоплаченной частью стоимости участка в конце 10 лет и заменяет все последующие платежи. Выписывая уравнение эквивалентности на дату сравнения в конце 10 лет, получим

 

P + R s ГТ|5\% = 60 х (1,05) 10 ,

откуда

P = 60 х 1,62889463 - 6,136289 х 12,57789254 = 20,5521 Тогда доля Петрова

Доля покупателя = 100 - 20,5521 = 79,4479 млн рб .

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 |