Имя материала: Начальный курс финансовой математики

Автор: Медведев Г.А.

8.9 определение нормы доходности

Возможно, наиболее важная задача, касающаяся облигаций, состоит в определении инвестиционной нормы, которую облигация будет обеспечивать, когда будет куплена за данную цену. Только решив эту задачу, инвестор может определить, которая из нескольких облигаций обеспечивает наилучшую инвестицию. К сожалению, решение этой задачи не выражается в явной аналитической форме, но имеются численные методы получения решения этой важной задачи с различной степенью точности и различающиеся по сложности. Два из них мы рассмотрим.

 

Метод средних Когда сумма денег инвестируется только на один период, норма процента может быть найдена делением полученных процентов на инвестированную сумму. Когда рассматривается более, чем один период и изменяются как процентные платежи, так и основная сумма, приближенное значение нормы может быть получено путем деления среднего процентного платежа на среднюю основную сумму. Процедура станет ясной на примере.

 

ПРИМЕР 1 За облигацию 10 млн рб выплачивается 300 тыс рб процентов каждые 15 января и 15 июля. Она будет выкупаться за 11 млн рб 15 января 2000 г. Рыночное предложение 15 января 1990 г. было 120. Какова приблизительная норма доходности, если облигация покупается в этот день ?

РЕШЕНИЕ Покупная цена облигации равна 12 млн рб, так как дата продажи совпадает с датой начисления процентов. Выплаты, которые покупатель будет получать, если он будет держать облигацию до даты погашения, составят 20 процентных платежей облигации по 300 тыс рб каждый, давая в сумме 6 млн рб, и цену выкупа 11 млн рб. Таким образом, он платит 12 млн рб и получает в сумме 6 + 11 = 17 млн рб или чистый выигрыш 17 - 12 = 5 млн рб. Этот полный выигрыш реализуется за период 10 лет, или 20 периодов начисления, так что средний выигрыш за период равен 5000 / 20 = 250 тыс рб. Так как первоначально облигация стоила 12 млн рб и выкупается за 11 млн рб, ее средняя стоимость равна (12 + 11) / 2 = 11,5 млн рб. Теперь мы приблизительно определяем инвестиционную норму делением среднего выигрыша за период на среднюю сумму, инвестированную в облигацию. Это дает приблизительно i = 0,25 / 11,5 = 0,02174 или примерно j2 = 0,0435 .

 

Естественно появляется вопрос о точности только что описанного метода и на него нет удовлетворительного ответа. В большинстве случаев можно надеяться, что точность составляет около десятой доли процента, так что для только что рассмотренного примера мы можем полагать, что номинальная норма лежит между 4,3 процента и 4,4 процента. Когда желательна большая точность, следует прибегнуть к процедуре уточнения метода средних путем интерполяции, которую опишем ниже.

 

Метод интерполяции Этот метод состоит в вычислении покупных цен для различных инвестиционных норм пока не найдутся две такие цены, которые ограничат сверху и снизу реальную покупную цену, между которыми и производится интерполяция. Очевидно, что нужно выбирать для вычисления только такие две покупные цены, для которых известны правильные инвестиционные нормы. Это можно сделать практически всегда, если сначала аппроксимировать норму при помощи метода средних.

 

ПРИМЕР 2 Вычислить норму доходности для примера 1 путем интерполяции.

 

РЕШЕНИЕ По методу средних, использованному при решении примера 1, мы нашли, что норма равна приблизительно j2 = 4,35\% . Поэтому теперь мы вычислим покупные цены, которые обеспечивают

j2 = 4\% и j2 = 4,5\% .

Р(для j2= 4\%) = 11 + (0,3 - 0,2) а-|2\% = 12,3081 млн рб Р(для J2 = 4,5\%) = 11 + (0,3 - 0,2475)        = 11,8381 млн рб

 

Представляя данные в виде таблицы, мы имеем

Покупная цена

j , m = 2

 

12,3081

12,0000

11,8381 2\%

 

2,25\%

4\%

 

4,5\%

 

 

Составим пропорцию

12,3081 -12,0000

4\% - j

0,3081

j - 4\%

12,3081 -11,8381    4\% - 4,5\% '      0,4700     0,5\% ' Это дает j2 = 4,328\% .

 

Относительно точности нормы доходности, которую дает интерполяция, существует следующее эмпирическое правило: когда норма доходности облигации найдена интерполяцией, результат также немного больше истинного значения. Однако ошибка редко превосходит (n/5) , умноженное на квадрат разности использованных норм.

 

Из только что сформулированного эмпирического правила следует, что ошибка в определении j для примера 2 должна быть не более 0,00005. На самом деле, можно показать при помощи более точных расчетов, что ошибка равна 0,00003.

 

Оба описанные в этом параграфе метода одинаково хороши для облигаций, покупаемых между датами начисления процентов. Естественно, вычисления несколько более утомительны, но процедура, по существу, точно такая же. Если используется метод средних, мы можем взять или (P+C)/2 , или (Q+C)/2 как среднюю стоимость облигации. Аналитическое исследование показывает, что (Q + C) / 2 дает немного более точный результат.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 |