Имя материала: Начальный курс финансовой математики

Автор: Медведев Г.А.

9.4 метод суммирования до целого

 

Хотя бухгалтера используют линейный метод и метод погасительного фонда, эти методы многими пользователями считаются нереалистичными. Причина в том, что для многих видов физической собственности   обесценивание   происходит быстрее в первые годы и медленнее в течение последних лет. Поэтому получается, что книжная цена является искаженной, вероятно значительно превышающей рыночную цену активов, особенно в первые годы их использования. Следовательно, первоначальная инвестиция остается нетронутой только на бумаге, а не в том смысле, что рыночная цена активов плюс полное обесценивание равны первоначально инвестированной сумме. Если вышеупомянутые рассуждения принять законными, из них следует, что более реалистичный метод анализа обесценивания должен предполагать, что активы быстрее обесцениваются в первые годы и медленнее в последние. Аргументом в пользу этих рассуждений является тот факт, что в большинстве стран такое расписание используется в установлении стоимости автомобилей при налогообложении. Одним из таких подходов является метод суммирования до целого. Применение этого метода иллюстрируется примером.

 

ПРИМЕР Составить расписание для машины примера параграфа 9.2, используя метод суммирования до целого.

 

РЕШЕНИЕ Пусть s будет суммой целых чисел от 1 до n , где n будет продолжительностью использования машины. В нашем случае n = 5 и s = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 . Далее образуем дроби 5/15, 4/15, 3/15, 2/15 и 1/15 . Заметим, что числители являются целыми числами 1, 2, 3, 4, и 5 в обратном порядке. Теперь для получения стоимости ежегодного обесценивания умножим полное обесценивание 30 млн рб на эти дроби. Таким образом, 30 х (5/15) = 10 млн рб равно обесцениванию для первого года: 30 х (4/15) = 8 млн рб равно обесцениванию на втором году и т.д. Расписание обесценивания теперь выглядит так :

 

Год     Ежегодное      Полное Книжная

обесценивание     обесценивание цена

 

1

10

10

23

2

8

18

15

3

6

24

9

4

4

28

5

5

2

30

3

Легко показать, что дроби, образованные описанным в примере способом, всегда дают в сумме 1, независимо от величины n ; следовательно, сумма стоимостей ежегодных обесцениваний всегда равна полному обесцениванию.

9.5 МЕТОД ПОСТОЯННЫХ ПРОЦЕНТОВ

 

Другим методом определения стоимостей ежегодных обесцениваний так, чтобы они были больше в первые годы, является метод постоянных процентов. При таком плане каждое годовое обесценивание является фиксированным процентом предшествующей книжной цены. Когда используется этот метод, обычно устанавливается норма обесценивания, а не оценивается продолжительность использования и стоимость остатков. Норма обычно определяется после тщательного анализа рассматриваемого оборудования.

 

ПРИМЕР 1 Машины определенного типа теряют 10\% своей стоимости ежегодно. Машина стоит первоначально 20 млн рб. Составить расписание, показывающее ежегодное обесценивание полное обесценивание и книжную цену в конце каждого года за 5 лет.

 

РЕШЕНИЕ Стоимость обесценивания для первого года равна 10\% от 20 млн рб, то есть 2 млн рб. Книжная цена в конце первого года будет равна 20 - 2 = 18 млн рб. Для второго года стоимость обесценивания будет равна 10\% от 18 млн рб, то есть 1,8 млн рб и книжная цена будет 18 - 1,8 = 16,2 млн рб. Продолжая таким образом, мы найдем стоимость обесценивания и книжную цену для каждого года. Полное обесценивание для произвольного времени равно сумме стоимостей обесценивания за предшествующие годы или разности между первоначальной стоимостью и книжной ценой. Расписание в окончательном виде следующее:

 

Год      Годовое          Полное           Книжная

обесценивание          обесценивание цена

2          2          18

1,8000 3,8000 16,2000

1,6200 5,4200 14,5800

1,4580 6,8780 13,1220

1,3122 8,1902 11,8098

Следует заметить, что так как машина теряет 10\% своей стоимости каждый год, 90\% стоимости остается. Следовательно, каждая книжная цена равна 90\% от предшествующей книжной цены. Этот факт делает возможным составить расписание путем вычисления в первую очередь столбца книжных стоимостей.

 

Процедуру вычислений примера представим в виде формул. Пусть d будет постоянной нормой обесценивания и   Bk    - книжной ценой в конце к лет. Обесценивание для следующего года тогда равно dBk . Если это обесценивание вычитается из книжной цены Вк , получается новая книжная цена. Отсюда Вк+і = Вк - dBk = Вк (1 - d) . Эта формула устанавливает фактически, что если вещь теряет долю d своей стоимости, то доля оставшейся стоимости равна 1-d . Поэтому каждая новая книжная цена равна предшествующей, умноженной на 1 - d , и книжная цена в конце n лет может быть найдена путем умножения первоначальной стоимости C на   1 - d   n раз. То есть

 

Bn = C (1 - d)n . (1)

 

Эта формула позволяет находить книжную цену в конце любого количества лет, не прибегая к вычислению книжной цены в промежуточные годы.

 

ПРИМЕР 2 Найти книжную цену машины примера 1 в конце 20 лет.

 

РЕШЕНИЕ  Мы имеем C = 20 млн рб, d = 0,1 , и n = 20 . Подставляя эти значения в формулу, получим

В20 = 20 (1 - 0,1) 20 = 20 (0,9) 20 .

Эти вычисления удобно выполнить с помощью логарифмирования

log В20 = log 20 + 20 log 0,9 = 0,88852 .

Отсюда В20 = 2,431529 млн рб .

 

Ранее было установлено, что когда используется метод постоянных процентов, обычно оценивают норму обесценивания и затем вычисляют последовательно книжные цены и стоимости обесценивания. Однако эта процедура не является необходимой, поскольку метод одинаково хорошо работает, если мы предпочитаем оценивать время использования и стоимость остатков оборудования. В этом случае необходимо сначала вычислить норму обесценивания, используя равенство (1), после чего процедура остается той же самой как и до этого. Для определения нормы обычно используют логарифмы.

 

ПРИМЕР 3  Предполагается, что оборудование стоимостью  150 млн рб будет использоваться 6 лет, после чего   его стоимость будет равна 20 млн рб. Если используется   метод постоянного процента, найти норму обесценивания.

РЕШЕНИЕ Мы имеем C = 150 млн рб, B6 = 20 млн рб и n = 6. Подставляя эти значения в уравнение (1), получим

20 = 150 (1 - d) 6   и    (1 - d)6 = 20 / 150 = 2 / 15

Логарифмируя последнее равенство, находим

1 - d = 0,71475   d = 0,28525 = 28,525 \% .

 

Теперь может быть составлено расписание точно таким же образом, как в примере 1. Чтобы облегчить вычисления, можно использовать логарифмы при   последовательном вычислении книжных цен. Так как

 

logB1 = logC + log(1-d)    и     logBw = logBk + log(1-d)

 

По этим формулам последовательно находятся книжные цены и затем составляется расписание.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 |