Имя материала: Начальный курс финансовой математики

Автор: Медведев Г.А.

Глава 10 общие аннуитеты

 

10.1 ОБЩИЕ ПОЛАГАЮЩИЕСЯ АННУИТЕТЫ

 

Аннуитет называется общим полагающимся, если период платежа отличается от периода начисления процентов и платежи делаются в начале периодов платежей. Исследование общих полагающихся аннуитетов аналогично исследованию общих обыкновенных аннуитетов, в нем общие полагающиеся аннуитеты преобразуются в обыкновенные простые аннуитеты, после чего исследуются как в главе 5.

 

Пусть W будет платежом общего аннуитета, i - норма процента за период начисления, m - количество периодов конверсии в год, p - число платежей аннуитета в год и R - платеж эквивалентного простого аннуитета. Временная диаграмма, представленная ниже, показывает два эквивалентных аннуитета за 1 год.

 

0    1    2    3   ...  p - 2    p - 1 p

            I           I           I           I           I           I           I          

W   W   W   W ...     W W

 

0        1        2      ...     m - 1 m

            I           I           I           I           I          

R     R    ...    R R

 

Соотношение между платежами двух аннуитетов могут быть установлены путем следующих простых рассуждений. Если первое W на диаграмме представить на конец года, общий аннуитет стал бы обыкновенным и соотношение между аннуитетами, описывалось бы равенством (6) главы 5. Поэтому сумма в конце года для вышеописанного аннуитета превышает одногодичную сумму обыкновенного общего аннуитета на сложный процент, который нарастает в течение года благодаря платежу W . Сложный процент был бы равен W(1 + i)т - W, что можно было бы записать в виде  W i s—. .

Но это является суммой обыкновенного аннуитета с платежом W i за период начисления в течение 1 года. Поэтому каждый платеж R , соответствующий полагающемуся аннуитету, на W i больше, чем он был бы, если бы общий аннуитет был обыкновенным аннуитетом. Отсюда мы заключаем

R = W/s           = W(i + 1/ s-f-, ) = W/ а—,-, (1)

т / pu   V         т / pu '  т / pu

 

или в эквивалентном виде

 

W = Rа—і-у . (2)

 

Эта формула была получена несколько другим путем в параграфе 7.2. (1) и (2) можно получить методом, использованном в параграфе 5.2, используя начало или конец года как дату сравнения. Но это мы оставляем для одного из последующих упражнений.

 

Когда m/p является дробным, можно воспользоваться таблицами для определения а—i-v . Напомним, что таблицы для значений 1/ а не

составляются, так как эта величина только на i отличается от 1/ s mm~/ji , для которой таблицы имеются.

 

ПРИМЕР 1 Если норма процента равна j2 = 5\% , какая сумма, выплачиваемая в конце каждой половины года аннуитетом, эквивалентна сумме 500 тыс рб, выплачиваемой в начале каждого месяца ?

 

РЕШЕНИЕ Данные платежи образуют общий полагающийся аннуитет с W = 500 и p = 12. Желаемые платежи будут образовывать обыкновенный простой аннуитет. Так как m = 2 и i = 0,025 , мы имеем

 

R = W/а—^у = 500 /.

Далее

 

1 / а     = 0,025 + 1/ s ^6|2 5 0\% = 0,025 + 6,06219991 = 6,08719991

 

и поэтому R = 500 х 6,0871999 = 3043,6 тыс рб являются желаемыми полугодовыми платежами.

 

ПРИМЕР 2 Если норма процента равна j4 = 4\%\% , найти аннуитет, выплачиваемый в начале каждого месяца и эквивалентный платежам 10 млн рб в начале каждого пятилетнего периода.

 

РЕШЕНИЕ Здесь общий полагающийся аннуитет должен быть заменен другим общим полагающимся аннуитетом. Это делается сначала заменой данного аннуитета на обыкновенный простой аннуитет, выплачиваемый поквартально, а затем преобразованием простого аннуитета в общий полагающийся аннуитет, выплачиваемый помесячно. Для первого этапа решения мы возьмем 5 лет как основную единицу измерения времени вместо одного года. Тогда p = 1 и m = 20.

10

0        1        2  3     ...     19 20

            I           I           I           I           I           I          

R       R            R     ...     R R

Так как W = 10 , i = 1\% , m/p = 20 , мы имеем

R = W /а—,-,   = 10/   = 10 х 0,05541531 = 0,554153

как платежи эквивалентного простого аннуитета, выплачиваемые поквартально. Далее мы заменим простой аннуитет общим полагающимся аннуитетом с платежами, выплачиваемыми в начале каждого месяца. Для этого преобразования построим временную диаграмму на 1 год.

0             1            2             3 4

            I           I           I           I           I          

R         R         R R

0   1   2   3   4   5   6   7    8   9 10  11 12

            I           I           I           I           I           I           I           I           I           I           I           I           I          

W W W W W W W W W W W W

Мы имеем p = 12 , m = 4 , i = 1\% , R = 0,554153 , тогда

W = R a^jj = 0,554153 а      = 0,554153 х 0,331128 = 0,1835 млн рб.

Другие задачи, касающиеся общего полагающегося аннуитета, такие как нахождение нормы процента или срока, рассматриваются точно таким же способом как в главе 5. Существенным отличием является только использование равенств (1) и (2) для преобразования данного аннуитета в эквивалентный вместо равенств (6) главы 5.

 

0 1

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 |