Имя материала: Начальный курс финансовой математики

Автор: Медведев Г.А.

10.2 общий случай

 

Мы видели, что формулы

 

S = R s щг    и     A = R а-^

 

можно использовать для оценивания общих аннуитетов, где R определяется формулами

 

R = W /s          или       R = W /а—,-,

 

в зависимости от того, какой из аннуитетов оценивается обыкновенный или полагающийся. Однако, до сих пор молчаливо предполагалось, что n, число рассматриваемых периодов начисления, является целым. Например, если процент конвертировался ежегодно и платежи делались помесячно, формулы использовались только тогда, когда число платежей было кратно 12. Таким образом, они использовались бы для 24 или 36 платежей, но не для 37. Теперь будет показано, что эти формулы справедливы, является ли число n целым или нет. Например, если норма процента является годовой и имеется 37 ежемесячных платежей, вышеприведенные формулы применяются с n = 3 1/12.

 

Пусть W будет платежом обыкновенного общего аннуитета, q - полное число платежей и i - норма процента за период начисления. Пусть p будет числом платежей и m - число периодов начисления для любого удобного интервала времени. Наконец, пусть i' будет нормой процента за интервал платежа, которая эквивалентна . за период начисления. Так как i' является нормой за период платежа и имеется q платежей, ясно, что сумма аннуитета равна

 

S = W sq-|i = W((1 + О - іу/'.

Так как i и i' эквивалентные нормы, мы имеем

(1 + i)p = (1 + i)т    или    1 + i' = (1 + i)т/р Если мы теперь исключим i' , выразив ее через норму i , мы получим

(1+i )(m/p)q _ 1        i      (1+i )mq / p _ 1

S = W1            ;           = W     ;           X        

S    (1+i)m/p _ 1    (1+i)m/p _ 1     i ■

Поэтому

 

S = W  s—,

S          .       mqlpi ■

m/pi

 

Теперь если n является количеством периодов начисления, соответствующих q платежам, делаемым через интервалы продолжительностью m/n , последняя формула может быть записана в

виде S = R sпi , где  R = W (1/ sm7p|i )  и  n = mq/p является числом

периодов в терминах аннуитетов, и эта формула справедлива, является ли n целым или нет.

 

Доказательство для формулы текущей стоимости является подобным и поэтому не приводится. Подобное доказательство также может быть дано для общего полагающегося аннуитета.

 

Единственная трудность в использовании этих формул для всех случаев заключается в том, что не существует таблиц для всех возможных n . Однако, большинство случаев, которые встречаются на практике, могут быть рассчитаны, если вместе с таблицами использовать тождества

 

sk+fi (

1 + i)

Siii + sfi ,

(3)

аТ77- =( k+fi

1 + i

)~f a- + a-,

ki fi

(4)

Sk+fi (

1 +i

ki fi

(5)

a,f- = (

k+fi

1 + i)

ki fi

(6)

 

ПРИМЕР 1 Контракт предназначен для выплаты 1 млн рб в конце каждого месяца в течение 29 месяцев. Найти текущую стоимость, если начисляется 6\% эффективно.

 

РЕШЕНИЕ Способ 1. (Использование тождеств) Платежи образуют обыкновенный общий аннуитет с W = 1 , p = 12 , i = 6\% , m = 1. Точно также, как в главе 5, мы находим, что эквивалентные годовые платежи равны

R - W/ sW7li - 1 / s7ry|6\% = 12,326528 .

 

Так как срок аннуитета равен 29 месяцам, n = 2 5/12 года (периодов платежей) и

A - R апi = 12,326528 а . Теперь выразим функцию а 29/12|6\% с помощью тождества (4)

 

а 2 + 5/12 |б\%   = (1,06) _5/12 а 2|6\%.   + а V^|6\% •

 

Все величины, встречающиеся в слагаемых правой части являются табулированными и мы имеем

 

а 2 + 5/12|6о/о = 0,976013 х 1,833393 + 0,399773 = 2,189189.

 

Поэтому A = 12,326528 х 2,189189 = 26,9851 млн рб .

Способ 2. Этот способ состоит в написании уравнения эквивалентности, использующего в качестве даты сравнения конец периода начисления процентов, ближайший к концу срока аннуитета. Так как срок равен 29 месяцам, конец второго года будет использован как дата сравнения.

 

0    1    2    3   ...   27   28 29

            I           I           I           I           I           I           I          

1   1   1 ...   1    1 1

A

 

Сначала найдем R , эквивалентный годовой платеж, точно также, как в способе  1. Тогда наше уравнение эквивалентности приобретет вид

 

A (1,06) 2 = R s2-|6о\% + Rа 5/ГУІ60/ .

Подставляя численные значения величин правой части, имеем

A (1,06) 2 = 12,326528 (2,06 + 0,399773) = 30,320457 . Следовательно, A = 30,320457 (1,06) "2 = 26,9851 млн рб .

ПРИМЕР 2 Если человек вносит на депозит 1 млн рб в конце каждых 4 месяцев в течение трех лет и 8 месяцев в сберегательный банк, который установил норму процента 4\% эффективно, сколько денег он будет иметь на своем счете через это время ?

 

РЕШЕНИЕ Способ 1. Мы хотим найти сумму обыкновенного общего аннуитета, для которого W = 1 млн рб, p = 3 , m = 1 , i = 4\% и n , число периодов начисления, равно 11/3 . Точно также, как в главе 5 мы находим эквивалентный простой аннуитет с ежегодными платежами. Таким образом,

R = W/ smrjj\< = 1 / sттз|4°\% = 3,039651 .

Сумма аннуитета тогда равна

S = R s пi = 3,039651 ^4\%.

 

Чтобы использовать таблицы для определения величины s^|4\% , мы используем тождество (5). Тогда получим

 

s—-|    = (104) -1/3 s-i   - а-,-,

4-1/314\%      1>UH7 4|4\%       1/3|4\% •

Все величины правой части табулированы и мы имеем

s 4-^3|4\% = 0,987012 х 4,246464 - 0,324712 = 3,866597.

 

Отсюда S = 3,039651 х 3,866597 = 11,7531 млн рб.

Способ 2. Выпишем уравнение эквивалентности, использующее конец четвертого года в качестве даты сравнения, так как она является концом периода начисления ближайшего к концу срока аннуитета.

 

0    1    2    3    ...   10    11 12

            I           I           I           I           I           I           I          

1     1     1     ...   1     1 (1)

S (1)

Мы добавили дополнительный 1 млн рб в обеих строках диаграммы в конце 4 лет (12 периодов начисления). Уравнение эквивалентности для этой даты имеет вид

 

S (1,04) 1/3 + 1 = R s4|4\%,

 

где R имеет то же самое значение как в первом варианте.

 

S (1,04) 1/3 = 3,039651 х 4,246464 - 1 = 11,907770 S = 11,907770 (1,04) -1/3 = 11,7531 млн рб.

 

Когда нужно определить платежи общего аннуитета, используется та же самая процедура, как и в главе 5. Однако, с целью упрощения вычислений в качестве даты сравнения следует выбирать конец периода начисления, ближайший к дате, на которую известна эквивалентная стоимость аннуитета.

 

ПРИМЕР 3 Стоимость автомобиля равна 40 млн рб наличными. Он покупается за 5 млн рб наличными и остаток возмещается равными платежами в конце каждого месяца в течение 20 месяцев. Какими должны быть эти платежи, если норма процента равна 7\% эффективно ?

 

РЕШЕНИЕ Платежи будут образовывать обыкновенный общий аннуитет с текущей стоимостью A = 35 млн рб, p = 12 , m = 1 , i = 7,5\% . Так как срок аннуитета равен 20 месяцам, или 5/3 года, ближайший конец периода начисления для аннуитета с эквивалентной стоимостью A = 35 попадает на четыре месяца раньше даты покупки. Представим временную диаграмму, показывающую это

 

-4     -3     -2     -1       0    1 ...  19 20

            I           I           I           I           I           I           I           I          

(W)   (W)   (W)    (W) W ...  W W (W)   (W)   (W) A+(W)

 

Мы добавили 4 платежа (W) к аннуитету и эквивалентной стоимости A, как показано на диаграмме. Пусть R будет эквивалентный ежегодный платеж; выпишем уравнение эквивалентности, использующее 4 месяца до даты покупки как дату сравнения. Так как все временные интервалы должны быть выражены в годах, мы получаем

 

r а-,     = R а—,     + A (1 075) -1/3

1V     27,5\%     А     1/37,5\% ^^'"'v

R ( a2|7,5\%- aІ73|7,5\%) = 35 (1,075) "1/3 •

Отсюда R (1,477983) = 34,166348 теперь преобразуем эти годовые платежи • Тогда получим или R = 23,11687 млн рб^ Мы платежи     R     в ежемесячные

 

W = R s17I2|7)5\% = 23,11687 х 0,080599 = 1,8632 млн рб^

 

ПРИМЕР 4 Некто занял 1 июня 8 млн рб , которые он будет возмещать десятью одинаковыми ежемесячными платежами, первый из которых будет сделан 1 сентября • Если деньги стоят j2 = 8\% , какими должны быть эти платежи ?

 

РЕШЕНИЕ Представим данные на временной диаграмме •

 

0    1     2      3   •••   11 12

            I           I           I           I           I           I          

(W)   (W)    W  ...  W W

8 (W) (W)

 

Два дополнительных платежа (W) добавляются к аннуитету и к эквивалентной сумме 8 млн рб, как показано на диаграмме• Выпишем равенство стоимостей с датой займа в качестве даты сравнения^ Это дает

 

r a-,    = 8 + R a—,

1V     2|4\%      °     1V     1/314\% '

 

где R являются эквивалентными полугодовыми платежами и время измеряется полугодиями • Разрешая это уравнение относительно R и подставляя численные значения, получим

 

R (a2|4\%-aї7з|4°/„ ) = R (1,561383) = 8    или   R = 5,123664^

 

Тогда W = R sr76|4\% = 5,123664 х 0,163955 = 0,84 млн рб^

 

Конечно, проиллюстрированные методы можно использовать, не прибегая к помощи таблиц^ В этом случае придется использовать логарифмирование для определения значений функций составных платежей •

ПРИМЕР 5 По контракту приходится выплачивать 2 млн рб в конце каждых двух недель в течение 100 неделе Найти эквивалентную наличную сумму такого контракта, если деньги стоят j12 = 7,2 \% •

 

РЕШЕНИЕ Здесь W = 2 , q = 50 , p = 26 , i = 0,006 , m =12 , n = qm/p = 23 1/13 • Настоящая стоимость этого обыкновенного общего

аннуитета будет A = R aц( , где R = W/ smr/Ji • Таблицы не содержат

необходимых значений, так что функции составных платежей приходится вычислять с использованием логарифмирования^ Для этого, комбинируя два последних равенства и заменяя функции составных платежей их явными выражениями, мы получим

 

V        m /pi J nu

W        i           1 - (1 + i)~П

(1 + i)     - 1 i

Следовательно,

A = 2 (1 - (1,006) -23 1/13) / (1,006) 6/13 - 1) Используя логарифмирование для вычислений, получим

(1,006) 6/13 = 1,002765    и    (1,006) -23 1/13 = 0,871056^

Поэтому

A = 2 (1 - 0,871056) / (1,002765 - 1) = 93,27 млн рб •

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 |