Имя материала: Начальный курс финансовой математики

Автор: Медведев Г.А.

10.4 доказательство общей теоремы интерполяции

Пусть А будет текущей стоимостью аннуитета, W - периодический платеж, p - число платежей за год, i - норма процента за период конверсии и m - число периодов конверсии в год. Когда вышеперечисленные величины заданы, аннуитет обычно является нестандартным, так что заключительный платеж F , рассчитываемый на дату через один интервал платежа после последнего платежа W , для эквивалентности необходимо определять. Если q , число платежей, определяется путем интерполяции между значениями, соответствующими последовательным целочисленным значениям q , тогда дробная часть f этого решения, умноженная на W , дает заключительный платеж.

 

Доказательство Предположим сначала, что аннуитет является обыкновенным аннуитетом, так что временные диаграммы платежей выглядят следующим образом

 

Интервалы платежа :      0   1   2   3   ...   q   q + 1

            I           I           I           I           I           I          

W W W ...  W F

А

            I           I           I           I           I          

Периоды начисления :    0     1      2   ... n' n"

 

где n' = q (m/p) и n" = (q + 1)(m/p) . Уравнение эквивалентности с исходной датой в качестве даты сравнения имеет вид

 

А = R a-,. + F (1 + i) -n",    где R = W/ s—, .

 

Поэтому

F = (А - Rani )(1 + i)n" (a)

 

Если мы установим a-^ = А / R , тогда n = (q + f)(m/p) , где f лежит между

0 и 1. Интерполирование по n между n' и n" эквивалентно интерполированию по f , что дает

 

Отсюда

А - R a-, = f R (a^,. - a-,.) . (b)

Исключая А из (а) и (Ь) , получим

 

F = f R (an"i - ani )(1 + i)n" .

 

Используя тождество (10) из параграфа 4.4

 

a-, _ a-, = a      , (і +i)n"-n'

n"i        n' i       n"—rii V        / '

приходим к равенству

f = f R an"—n]i (1 +i)n"-n' = f Rsn^]i. (c)

Но n" - n' = m/p и R sTpi = W , поэтому F = f W.

 

Если аннуитет является полагающимся аннуитетом, каждый платеж, включая F , приходится на один период раньше и равенство (а) преобразуется к виду

F = (А - Ran<г )(1 + i)n ,   где R = W/a-pi. Равенство (c) принимает вид

F = f R a^=f Ra-rPl= f W.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 |