Имя материала: Начальный курс финансовой математики

Автор: Медведев Г.А.

10.5 другие виды аннуитетов

 

Имеется несколько других видов аннуитетов, которые иногда встречаются. Некоторые из них кратко рассмотрены ниже.

 

Увеличивающиеся аннуитеты Этот термин применяется к последовательности периодических платежей W , 2W , 3W , ... , qW , каждый из которых на W больше предыдущего пока не будет сделано q платежей. Как обычно, пусть i обозначает норму процента за период конверсии, m _ число периодов конверсии в год, p _ число платежей в год и n = qm/p число периодов начисления в течение срока аннуитета. Для того, чтобы найти итоговую сумму такого аннуитета, мы рассмотрим    его    как   совокупность     q следующих отдельных

аннуитетов : один аннуитет с q платежами по W, другой аннуитет с q - 1 платежами по W, третий аннуитет с q - 2 платежами по W и т.д., все эти аннуитеты заканчиваются в одно и то же время, как показано на временной диаграмме

Каждый из аннуитетов будет эквивалентен простому аннуитету с платежами по    R = W / 8фі  и со сроками    qm/p ( = n ),   (q - )m/p ,

(q - 2)m/p , ... , 2m/p и, наконец, m/p . Поэтому итоговая сумма увеличивающегося аннуитета равна

 

^      ±v   пі      ±v   {q-1)m/pi           {q-2)mlpi        T Щі

 

Если функции составных платежей представить в явной форме и выполнить упрощающие преобразования, тогда получим

 

S = R ((1+ і)п + (1+ i){q-1)m/p + ... + (1+ і)m/p - q)/i

 

Сумма в скобках этого выражения является геометрической прогрессией с q членами, первый член равен (1+і) п , и знаменателем (1+і) п . Используя формулу для суммы геометрической прогрессии, мы получим

 

S = R       п --      -m/p) - q) / і = R ((s~nі / атгрг) - q) / і (7)

 

последнее упрощение использует деление числителя и знаменателя предшествующей дроби на і.

 

Если требуется найти настоящую стоимость или другую эквивалентную стоимость увеличивающегося аннуитета, рекомендуется сначала определить его итоговую сумму из равенства (7), а затем преобразовывать ее к желаемой дате.

Уменьшающиеся аннуитеты Уменьшающийся аннуитет отличается от увеличивающегося аннуитета только тем, что первый платеж равен qW и каждый последующий платеж на W меньше предыдущего до тех пор пока не достигнут заключительный платеж W . Так как этот аннуитет может рассматриваться как сумма q различных аннуитетов, начинающихся в одно и то же время, проще определять формулу для его настоящей стоимости, а не для итоговой суммы. Формула имеет вид

 

A = R (q - (ацi / smppl)) / i , (8)

 

где R = W / smfpi. Ее  доказательство  подобно доказательству формулы

для увеличивающегося аннуитета и предлагается сделать читателю в качестве упражнения. Если уменьшающийся аннуитет должен быть рассмотрен для даты, отличающейся от начальной, рекомендуется сначала вычислить его настоящую стоимость, а затем преобразовать ее к требуемой дате.

 

Наконец, следует заметить, что если аннуитет является увеличивающимся или уменьшающимся полагающимся аннуитетом, R , встречающееся в равенствах (7) или (8) следует вычислять с помощью

равенства (1) главы 10, R = W/атрр\{.

 

Аннуитеты, выплачиваемые непрерывно Этот тип аннуитетов относится к сбору конечных сумм денег T , в каждый период начисления, когда деньги собираются непрерывным потоком в течение периода. Хотя непрерывные аннуитеты в реальном бизнесе не встречаются, они достаточно близко приближаются в определенных практических случаях, таких как поток монет в системе городского метро.

 

Для получения формул для текущей стоимости и итоговой суммы такого аннуитета необходимы два соотношения из анализа

 

p m/p - 1) — m In , когда p-»0 (9) (1 + 1/jc) х — e = 2,71828... ,   когда  Jt— 0 (10)

 

Настоящая стоимость обыкновенного общего аннуитета может быть записана в виде

 

A = W o-i. /s—,.. (11)

Пусть Т = р W будет равно полным платежам аннуитета за год. Тогда

 

А = Т i а-i / (Р ((1+0 m/p - 1)) .

 

Если мы устремим р к бесконечности и используем предел из соотношения (9), мы получим

 

А — Т i °ц г / (m ln    ,   когда р — 0. (12)

 

Подобным образом

 

S — Т i s-|. / (m ln       ,   когда p — 0 . (13)

Это последнее соотношение может быть записано в виде

Аннуитеты с процентами, начисляемыми непрерывно Возвращаясь к равенству (11), будем считать р постоянным, i = j/m , n = tm , где t  равно продолжительности полного года. Тогда

Если теперь m устремить к бесконечности, соотношение (10) при x = m/j дает

 

А — W (1 - e -jt ) / (ej/p- 1) ,   S — W (ejt - 1) / (ej/p- 1) .

 

Вышеприведенные формулы применяются к аннуитетам, для которых платежи делаются конечное число раз в год, но процент конвертируется непрерывно.

Аннуитеты с непрерывными платежами и непрерывно конвертируемым процентом В качестве последнего варианта рассмотрим аннуитет, для которого и платежи и процент являются непрерывными. Пусть T = p W будет полный годовой платеж, и пусть n = tm , где t равно полной продолжительности года. Если m и p могут увеличиваться до бесконечности, использование соотношений (9) и (10) дает

 

A — T (1 - e -jt ) /j   ,    S — T (ejt - 1) /j .

 

Если мы не требуем, чтобы платежи аннуитета все были одинаковыми, очевидно, число различных теоретически возможных типов аннуитетов практически неограниченно. Несмотря на то, что было бы возможно получить формулы для практически любых типов ситуаций, которые могут появиться, значительно более важным является ясное понимание основных принципов того, как они получаются.

 

УПРАЖНЕНИЯ 10

Иванов занял 100 млн рб и подписал обязательство выплачивать 2 млн рб основной суммы в конце каждого года в течение 50 лет вместе с процентом 5\% от суммы, которой он еще владел. После 10 лет контракт был продан инвестору, который захотел иметь 6\% эффективно за свою инвестицию. Найти цену продажи. (Указание: использовать тот факт, что выплаты основной суммы образуют обыкновенный аннуитет, а выплаты процентов образуют уменьшающийся аннуитет.)

Петров вносит 10 млн рб в начале каждого года на счет фонда, выплачивающего возмещение с эффективным процентом 5\% . Основная сумма будет разделена между его тремя дочерьми через 10 лет. Его сын получает все проценты от фонда в конце каждого года. Если сын инвестирует свои проценты в сберегательный банк, который накапливает при 3\% , т = 4 , сколько он будет иметь через 10 лет ? Будет ли его сумма превышать долю сестер ?

Городское метро собирает 100000 жетонов (каждый жетон стоит 2000 рб) в течение каждого дня практически непрерывным потоком. Найти настоящую стоимость этих поступлений в течение 365 дней, если деньги стоят а) 4\% эффективно, б) 3\% конвертируемые непрерывно.

Найти итоговую сумму и настоящую стоимость аннуитета, выплачивающего 10 млн рб в конце каждого года в течение 20 лет, если процент конвертируется непрерывно при 3\% .

Оформляется контракт, по которому выплачивается 500 тыс рб в конце каждого месяца первого года, 450 тыс рб в конце каждого месяца вторго года, и т.д. Ежемесячные платежи каждого последующего года на 50 тыс рб меньше ежемесячных платежей предыдущего года в течение полных 10 лет. Найти настоящую стоимость этого контракта, если деньги стоят 6\% , т = 12. (Указание: учесть, что суммы каждого из 10 обыкновенных аннуитетов образуют уменьшающийся аннуитет.)

По системе товары-почтой продаются вещи по следующему плану: 10\% цены наличными и 10\% цены в месяц в течение 10 месяцев. Какая эффективная норма процента реализуется при такой торговле ?

Оформляется контракт, по которому выплачивается 500 тыс рб в конце каждого полугодия в течение 7,5 лет и дополнительно 10 млн рб в конце этого срока. Чему равна настоящая стоимость контракта, если деньги стоят j1 = 5\% ?

Страховой полис подразумевает платежи 70 тыс рб в начале каждого квартала в течение 25 лет и выплатит 10 млн рб по смерти страхователя. Сколько времени должна продолжаться жизнь страхователя, чтобы компания не разорилась при стоимости денег 4\% эффективно ?

Иванов занял 10 млн рб 1 июля и такую же сумму 15 августа. Он согласен выплатить эти долги восемью одинаковыми ежемесячными платежами, начиная с 1 ноября. Если учесть проценты 8\% , т = 2 , какими должны быть платежи ?

 

Сколько ежеквартальных платежей по 3 млн рб потребуется, чтобы выплатить покупку автомобиля стоимостью 45 млн рб , если выплачивается 8 млн рб наличными и процент начисляется согласно ставке j12 = 5\% ? Каким будет завершающий платеж ?

Мебельная фабрика продает товары по одной из следующих схем: 25\% скидка на цены при покупке наличными или 25\% стоимости наличными и остальное в виде 12 одинаковых ежемесячных платежей без всяких процентов. Какая эффективная процентная ставка делает эти схемы эквивалентными ?

Земельное хозяйство стоит 800 млн рб. Фермер платит 50 млн рб наличными и будет выплачивать оставшийся долг в течение следующих 50 лет равными платежами 1 декабря, 1 марта и 1 июня ежегодно. Какими будут эти платежи, если хозяйство покупается 1 сентября и процентная ставка равна 6\% эффективно ?

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 |