Имя материала: Задачи и тесты по финансовой математике

Автор: Капитоненко Валерий Владимирович

3.2. типовые примеры

Условия выдачи и погашения кредитов (займов, ссуд) весьма разнообразны. Вместе с тем независимо от частностей можно выделить две группы взаимосвязанных задач:

1) при заданных параметрах кредита (Д я, /) определить способ его погашения;

2) при заданных ограничениях на использование и погашение заемных средств определить требуемые параметры кредита. 1. Равные срочные уплаты.

Кредит в размере 900 тыс. руб. сроком на 4 года взят под ставку 5\% годовых. Составить план погашения равными срочными уплатами.

Решение

По условию задачи D = 900000, п = 4, / — 0,05. Подставляя эти значения в формулу (3.6), находим Y = 900000/3,54595 = = 253810,6854 руб.

Записываем план погашения долга в виде таблицы (табл. 3.1).

Примечание. D4 совпадает с L4c точностью до первого знака после запятой; указанное расхождение обусловлено принятой точностью вычислений (до четвертого знака). В приложениях можно использовать приближенные с точностью до целых значения {У, /„ D,). При этом чтобы избежать отмеченного выше расхождения, целесообразно замыкающую по долгу выплату полагать равной остатку задолженности на начало последнего года.

2. Равные выплаты по долгу.

Долг в сумме 1 млн руб. требуется погасить за 5 лет равными суммами, выплачиваемыми в конце года. За заем начисляются проценты по годовой ставке 10\%. Составить план погашения.

3. Погашение кредита потоком платежей.

Долг в 100 тыс. долл. решено погасить по специальному графику за 4 года. Ежегодные платежи по первым трем годам определены в размере 40, 20 и 30 тыс. долл. Ставка процента по долгу установлена на уровне 10\%. Определите:

а)         остаток долга на конец третьего (начало четвертого) года;

б)         величину четвертой срочной уплаты;

в)         чему равны ежегодные суммы погашения долга и процентов.

Решение

а)         согласно формуле (3.5) имеем:

L3= 100(1 + ОД)3-40(1 + ОД)2-20(1 + 0,1) - 30 = 32,7;

б)         Y4 = L3(l + 0,1) = 35,97. Эту величину можно также вычис-

лить из уравнения (3.2) финансовой эквивалентности потока по-

гашающих платежей величине долга:

Г4= 100(1 + ОД)4-40(1 + 0Д)3- 20(1 + ОД)2-30(1 +0,1) = = 146,41 - 53,24 - 24,2 - 33 = 35,97;

в)         табл. 3.3 иллюстрирует порядок расчетов выплат по долгу и

процентам.

4. Определение срока, на который берется кредит.

Для выхода на полную мощность предприятие нуждается в кредите на пополнение оборотного капитала. Требуемая сумма -7 млн руб., доступная кредитная ставка - 12\% годовых, длительность операционного цикла (время оборота оборотного капитала) — 1 месяц. Кредит планируется погасить одним платежом. Для получения необходимой для этого суммы предполагается использовать чистую прибыль в размере 1 420 000 руб./мес, которую будет получать предприятие в режиме полной загрузки. В качестве способа накопления этой суммы формируется погасительный фонд с начислением процентов один раз в году по той же ставке 12\%. Определить допустимый для предприятия срок заимствования средств.

Решение

Для получения ответа воспользуемся формулой наращенной суммы ренты (2.1) с характеристиками р = 12, т = 1, / = 0,12, R/p = 110000 и приравняем ее требуемой величине погашающего в конце срока х платежа. В результате получим следующее соотношение:

1420000- (1 + °,12Г1Г1 =7000000 (1 +0,12)*, (1 + 0,12)1/12-1

что дает простейшее показательное уравнение

1,12х = 1,0491

х = -

с решением:

lnl,0491 0,0479

«0,42 года «5 мес.

lnl,12 0,1133

Примечание. Разумеется, ставка погасительного фонда не обязательно совпадает с кредитной ставкой. При различных ставках уравнение, содержащее неизвестную х в показателе степени, уже не будет сводиться к простейшему типу а* = Ь, однако эти трудности носят вычислительный характер и вполне преодолимы.

5. Потребительский кредит. Покупатель приобрел в кредит холодильник по цене 4000 руб. При оформлении кредита он внес 1000 руб., обязавшись погасить остальное в течение 6 месяцев, делая ежемесячно равные взносы. Определить:

а)         сумму, которую покупатель должен выплачивать ежемесяч-

но, если продавец требует за кредит 6\% в год;

б)         реальную доходность кредитной операции для продавца

при условии, что имеется возможность помесячного реинвести-

рования;

в)         рассчитать график погашения процентов и основного долга.

Решение

а)         Сумма кредита с начисленными процентами составляет ве-

личину:

S = 3000(1 + 0,06 • 0,5) = 3090 руб.

Следовательно, ежемесячно покупатель должен выплачивать продавцу 3090/6 = 515 руб.;

б)         реальная доходность измеряется ставкой сложного процен-

та. Обозначим номинальную годовую ставку через j. Тогда поме-

сячная ставка сложного процента: х = у/12. Имеем уравне-

ние: 515(1 — (1 + х)~6)/х = 3000 с областью допустимых значений

х * -1, х * 0. Заменой переменной z = 1 + х придем к уравнению

5, 825z7~6,825z6+ 1 = 0. Из ограничений на допустимые значения

х вытекает, что z * 0, z * 1. Это уравнение имеет два положитель-

ных корня: Z = 1 и Zi « 1,00852* из которых допустимым является

только второй. Откудах = 0,00852 и, следовательно, годовая став-

ка./ = 12х = 0,10224. Таким образом, реальная доходность для кре-

дитора j = 10,2\% превышает объявленную им простую ставку пот-

ребительского кредита / = 6\% на 4,2\%;

в)         по условиям примера общая сумма начисленных процентов

/ = 90, а запись,(3.11) примет вид: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2),

(6; 1).

Согласно (3.12) для определения последовательных процентных погашений следует разделить величину / = 90 на части пропорционально числу оставшихся выплат, т.е. в соотношении 6:5:4:3:2:1. Воспользовавшись сформулированным правилом, найдем суммы в счет уплаты процентов:

/j = 90 • 6/(6 + 5 + 4 + 3 + 2+ 1) = 540/21 * 25,71;

/2= 90 • 5/21 * 21,42; /3* 90 • 4/21 = 17,14; /4= 90 • 3/21 * 12,86;

/5= 90 • 2/21 * 8,57; /6= 90 • 1/21 * 4,28.

Помесячная разность между срочной уплатой и процентным платежом выделяется на погашение основного долга:

D{ = 515 - 25,71 = 489,29; D2 = 515 - 21,42 = 493,58; Z>3= 515 - 17,14 = 497,86; D4= 515 - 12,86 = 502,14; Z)5= 515 - 8,57 = 506,43; D6= 515 - 4,28 = 510,72.

Имея эти значения, найдем остаток основного долга на начало каждого месяца:

Lx = 3000; L2 = 3000 - 489,29 = 2510,71;

L3 = 2510,71 - 493,58 = 2017,13; L4 = 2017,13 - 497,86 = 1519,27; L5= 1519,27 - 502,14 = 1017,13; L6= 1017,13 - 506,43 = 510,7.

Сумма D6 погашения долга в конце срока полностью списывает оставшуюся задолженность L6: Z)6 = Z6 = 510,7. Нетрудно убедиться, что проценты уменьшаются, а суммы, погашающие долг, растут.

6. Стандартная ипотека. Ипотечная ссуда в размере 300 тыс. руб. выдана сроком на 15 лет. Погашение - в конце каждого месяца, номинальная годовая ставка — 12\%. Определить сумму ежемесячного платежа и остаток долга на конец пятого года погашения.

Решение

Равные ежемесячные выплаты размером К образуют простую ренту длительности п = 15 • 12 = 180 единичных периодов (месяцев) начисления процента под ставку / = 12\% /12=1\%. Следовательно, ее наращенная величина

.(і+о,оіГ-і

0,01

и для определения Кимеем уравнение

S(Y) - 300(1 +0,01)180,

т. е.

Г- 100 • (5,9958 - 1) = 499,58 У= 300 • 5,9958.

Теперь можно определить ежемесячный взнос: F= 3,6 тыс. руб. = = 3600 руб.

Наращенная за 5 лет величина ссуды при условии помесячного начисления процентов составит сумму

S5= 300(1 + 0,01)60= 300 • 1,8167 = 545,02,

наращенная величина произведенных выплат есть:

3,6- 100-(1,0160- 1) = 294,012.

Применяя формулу (3.14), найдем остаток:

L5= 545,02 - 294,012 = 251,008 тыс. руб. = 251008 руб.

Замена одного займа другим.

Господин N в течение 5 лет должен один раз в квартал выплачивать 500 д.е. в счет погашения ссуды, взятой под 8\% годовых. В связи с отъездом за границу через 2 года он попросил пересчитать величину ежеквартальной выплаты, чтобы успеть рассчитаться. Как изменится величина квартального платежа?

Решение

Величина ссуды

D = 500 • сс(20; 8/4) = 500 • 16,351 = 8175,5.

Поэтому искомый ежеквартальный платеж R должен удовлетворять уравнению

R • сс(8;8/4) = 8175,5,

откуда

Л= 81175,5/7,325= 1116,1 д.е.

Реструктуризация кредиторской задолженности.

В настоящее время обязательство заемщика перед кредитором составляет 1000 д.е. Финансовое состояние предприятия-должника не позволяет ему погасить эту задолженность по предусмотренной кредитным договором ставке в 8\% даже с рассрочкой в 4 года. Вместе с тем при снижении ставки до 5\% отсрочка в погашении кредита по схеме равных срочных уплат возможна и выплачиваемые предприятием средства не нарушают нормальных условий его функционирования. Кредитор согласился на выплаты по льготной ставке. Определить общие потери кредитора, т. е. величину предоставленной заемщику льготы. Решение

Выплаты по льготной ставке вычислим из уравнения: Y- а (4; 5) = 1000. По таблице коэффициентов приведения ренты находим: а (4; 5) =3,5459; отсюда Y— 282,016. Применяя базовую ставку, определим финансово-эквивалентную величину долга, погашаемую заемщиком:

A-Y- сс(4; 8) = 282,016 • 3,3121 = 934,065.

Таким образом, субсидия кредитора заемщику составит:

К= 1000 - 934,065 «65,935 ден. ед.

В пересчете на конечную дату общие потери кредитора совпадают с наращенной суммой:

S = 65,935 • (1 + 0,08)4 = 89,704 ден. ед.

Еще один способ решения основан на оценке ежегодных потерь кредитора. В случае равномерного погашения по ставке в 8\%, срочная уплата будет равна:

Z*= 1000/а(4; 8)= 1000/3,3121 = 3019232,

а ежегодные потери кредитора:

A = Z- Г= 19,907.

Тогда предоставляемая заемщику льгота Л соответствует современной величине этого потока:

Л = А • <х(4; 8) = 19,907 -3,3121 * 65,934,

что совпадает с полученным ранее ответом: Л = К« 65,93.

9. Ссуда с удержанием комиссионных. При выдаче ссуды на 180 дней под 10\% годовых по простой ставке кредитором удержаны комиссионные в размере 0,5\% суммы кредита. Какова эффективность ссудной операции в виде годовой ставки сложных процентов при условии, что год равен 360 дням?

Решение

Очевидно, что доходность рассматриваемой кредитной операции не зависит от размера ссуды. Поэтому номинальную сумму кредита можно принять за единицу. Тогда фактическая сумма, которую получит заемщик при удержании комиссионных, уменьшится до величины S0 = 1 — 0,005. Для расчета эффективной ставки воспользуемся формулой (1.4), полагая в ней:

ST=(l +0,1 • 180/360)= 1,05, 50 = 0,995, Г = 180/360 = 0,5:

1,05 0,995

-1*0,114=11,4\%.

Авансовое удержание процентов.

При выдаче кредита на 60 дней под 30\% годовых по простой ставке кредитором в момент предоставления кредита были удержаны причитающиеся ему проценты. Номинальная величина кредита составляет 60000 руб. Каковы реальная сумма ссуды и доходность кредитной операции?

Решение

Процентный платеж за кредит /= (60000 • 60/360) -0,3 = 3000. Из-за авансового удержания этих процентов реальная сумма предоставленного кредита составит величину Р = 60000 - 3000 = = 57000 руб. Погашаемая заемщиком в конце срока величина основного долга: D = 60000, поэтому доходность кредитной операции:

j = (3000/57000) • 360/60 * 0,3158 = 31,58\%.

Примечание. Авансовому удержанию процентов в условиях задачи соответствует формула Р= D( - /7/360), где D = 60000; / = 0,3; / = 60. Это означает, что назначаемая банком ставка / может рассматриваться как учетная ставка простого процента.

Сравнение коммерческих контрактов. Судостроительная фирма предложила два варианта оплаты стоимости заказа 8 млн руб.:

а) 5\% - при заключении контракта, 5\% — при спуске судна на воду (через год), далее в течение 5 лет равные расходы по обслуживанию долга;

б) 5\% - при заключении контракта, 10\% основного долга и выплата процентов на остаток при спуске судна на воду (через год), затем погашение задолженности в течение 8 лет равными расходами.

Пусть процент за кредит одинаков в обоих случаях — 10\% (годовая ставка сложного процента). Выберите предпочтительный для покупателя контракта (заемщика) вариант при условии, что ставка сравнения, на которую он ориентируется, равна 15\%.

Решение

Для решения задачи необходимо определить потоки платежей в каждом варианте и сравнить их современные величины, вычисленные по ставке дисконтирования 15\%. Легко понять, что с учетом авансовых выплат остаток долга на начало второго года составит:

1 = Д1 +/)- 7,(1 +/)- Y2, где Yb Y2 — срочные уплаты.

Согласно условиям D = 8, / = 0,1; при этом = У2(І) = = 8 • 0,05 = 0,4 для первого варианта и соответственно У,(2) = = 8 • 0,05 = 0,4; У2(2) = 8 • 0,1 + (8 - 0,4) 0,1 = 1,56 для второго. Подставляя эти значения в формулу задолженности L, найдем суммы интересующих нас остатков по каждому варианту:

1(1) = 8 • 1,1 - 0,4 • 1,1 - 0,4 = 7,96 млн руб.; 1(2) = 8 • 1,1 - 0,4 • 1,1 - 1,56 = 6,8 млн руб.

Расходы на погашение задолженности L найдем по формуле определения равных срочных уплат (3.6):

У= L/a(n, /).

Отсюда

У<]) = 1(1)/а(5,Ю) = 7,96/3,7908 = 2,0998, У*2)= Ц2)/а(8,10) = = 6,8/5,3349= 1,2746.

Теперь нужно сравнить следующие финансовые потоки по каждому из вариантов:

а)         (0; 0,4), (1;0,4), (2; 2,0998),(6; 2,0998);

б)         (0; 0,4), (1; 1,56), (2; 1,2746),(9; 1,2746).

В этих вариантах замыкающие потоки, состоящие из равных выплат, имеют при ставке 15\% следующие текущие стоимости:

Щ1) = 2,0998 • (сс(5,15) = 3,3522) • 1/1,15 = 6,1208; Щ2) = 1,2746 • ( а(8,15) = 4,4873)) • 1/1,15 = 4,9735.

Прибавляя эти оценки к результату приведения двух первых уплат, найдем значения современных величин потока выплат для каждого варианта погашения кредита:

А{) = 0,4 + 0,4 • 1/1,15.+ 6,1208 * 6,8686; А(2) = 0,4 + 1,56 • 1/1,15 + 4,9735 = 6,73.

Таким образом, А(2) < А{) и, следовательно, для покупателя контракта выгоднее второй вариант. Выбрав его, он сэкономит сумму

А = >4(1) - А(2) = 0,1386 = 138600 руб. и в перспективе может получить выигрыш:

V= 138600 • (1 + 0,15)9 = 138600-3,5179 «487581 руб.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 |