Имя материала: Задачи и тесты по финансовой математике

Автор: Капитоненко Валерий Владимирович

3.3. задачи для самостоятельного решения

 

Расчетные задачи

По условиям контракта доходность кредита должна составлять 24\% годовых. Каков должен быть размер номинальной ставки при начислении процентов:

а)         ежемесячно;

б)         поквартально?

Контракт между фирмой А и банком В предусматривает, что банк предоставляет в течение 3 лет кредит с ежегодными платежами в размере 1 млн руб. в начале каждого года под ставку 10\% годовых. Фирма возвращает долг, выплачивая 1 млн 300 тыс. руб.; 1,5 и 2 млн руб. в конце 3-го, 4-го и 5-го годов. Приемлема ли эта операция для банка и если да, то каков его выигрыш?

Предполагается, что в фонд погашения долга Д = 10 000 долл. средства поступают в конце каждого года в течение 5 лет. На средства погасительного фонда начисляются проценты по ставке / = 10\%, ставка по кредиту j = 9,5\%. Предусматривается, что платежи каждый раз увеличиваются на 500 долл. Необходимо разработать план формирования фонда погашения.

Пусть долг, равный 100 тыс. руб., необходимо погасить равными суммами за 5 лет, платежи в конце года. За заем выплачиваются проценты по ставке 5\%. Составить план погашения долга.

Заем 200 000 руб. взят на 10 лет под 8\% годовых. Погашаться будет начиная с конца 6-го года ежегодными равными выплатами. Найти размер этой выплаты.

Ссуда в 30 500 руб. выдана в 2004 г. 1 января по сложной ставке 10\% годовых. Заемщик обязан вернуть долг, выплачивая 8000, 16500 и 6500 руб. последовательно 15.03,07.07 и 21.10 того же года. Кто при такой схеме погашения кредита оказывается в проигрыше: кредитор или должник, и насколько?

По контракту произведенная продукция стоимостью 2 млн руб. оплачивается в рассрочку ежеквартально в течение 5 лет с начислением сложных процентов на оставшуюся сумму долга по годовой процентной ставке 0,12. Определить величины равных платежей, если начало оплаты продукции:

а)         перенесено на полгода после подписания контракта;

б)         отложено на 2 года;

в)         в п. «а» изменяется число платежей в году, а именно они

проводятся каждые полгода;

г)         в п. «б» отсрочка сопровождается сокращением срока оплат

до 4 лет.

Заем был взят под 16\% годовых, выплачивать осталось ежеквартально по 500 д. е. в течение 2 лет. Из-за изменения ситуации в стране ставка снизилась до 8\% годовых. В банке согласились с необходимостью пересчета ежеквартальных выплат. Каков должен быть новый размер выплаты?

Выдана ссуда в 120 тыс. руб. на 1,5 года под 24\% годовых. Должник обязан в конце каждого 2-го месяца выплачивать равными долями долг вместе с процентами (имеются в виду проценты в 1/6 от годовых). Какова сумма разового платежа?

Ссуда в 10 тыс. долл. выдана под 12\% годовых и требует ежемесячной оплаты по 180 долл. и выплаты остатка долга к концу срока в 5 лет. Каков остаток долга?

Долг в сумме 100 тыс. руб. выдан под 10\% годовых на 5 лет. Для его погашения единовременным платежом одновременно с получением ссуды создается фонд. На размещаемые в нем средства начисляются проценты (11\% годовых), причем в погасительный фонд ежегодно вносятся равные суммы. Найти срочные расходы должника на протяжении 5 лет для двух вариантов погашения процентов:

а)         ежегодно;

б)         разовым платежом в конце срока.

При выдаче ссуды на 180 дней под 10\% годовых по простой ставке кредитором удержаны комиссионные в размере 0,5\% суммы кредита. Какова эффективность ссудной операции в виде годовой ставки сложных процентов при условии, что год равен 360 дням?

Кредит в 20 млн руб. выдан на 2 года под ставку 10\%. Согласно договору все проценты должны быть выплачены одной суммой в начале срока. Определить:

а)         план погашениях минимальным числом выплат;

б)         может ли срочная уплата второго года равняться 10 млн руб.?

Имеются два варианта получения годового кредита в 90 тыс. руб., возвращаемого одним платежом в конце года:

а)         при учетной ставке 10\%;

б)         при процентной ставке 10\%.

Определить платежи по каждому варианту и лучший для заемщика вариант.

При выдаче ссуды на 180 дней под 8\% годовых кредитором удержаны комиссионные в размере 0,5\% суммы кредита. Какова эффективность ссудной операции в виде годовой ставки сложных процентов? В пределах года начисление идет по простому проценту, кредитному году соответствует временная база в 360 дней.

Покупатель приобрел телевизор стоимостью 3,6 тыс. руб. При этом он сразу уплатил 25\% стоимости, а на оставшуюся сумму получил кредит на 6 месяцев под 20\% годовых по простой ставке. Кредит погашается ежемесячными платежами. Требуется:

а)         составить план погашения с помощью правила числа 78;

б)         составить план погашения равными суммами по основно-

му долгу и выплатой процентов, начисляемых на его оставшуюся

часть;

в)         определить, какая из двух схем предпочтительнее для долж-

ника и чему равна его ежемесячные переплаты по невыгодной

схеме.

Потребительский кредит выдан на 3 года на сумму 10 тыс. долл. по ставке 10\% годовых. Определить доходность этой ссуды в виде годовой ставки сложного процента.

ЗАО « Белый парус» 2 октября 2002 г. реализовало товар в кредит по простой ставке 17,5\% годовых на сумму 3,24 млн руб. с оформлением векселя на срок погашения 12 января 2003 г. Через 60 дней векселедержатель обратился в банк для проведения операции по учету векселя. Банк предложил учесть вексель по простой дисконтной ставке равной 21,25\%. Определить:

а)         сумму, полученную фирмой за проданный товар;

б)         сколько средств заработает банк в результате сделки с век-

селедержателем;

в)         чему равна доходность операции учета в виде простой годо-

вой ставки.

 

Аналитические задачи

В результате освоения новой технологии ожидаемый руководством прирост прибыли предприятия в ходе его дальнейшей деятельности составляет величину Д. Процесс внедрения занимает один год и финансируется с привлечением заемных по ставке / средств объемом D. Определить срок возврата кредита, если в качестве источника его погашения оговаривается только величина Д.

Ипотечная ссуда размером D выдана на Глет под годовую ставку простых процентов г и погашается равными ежемесячными выплатами. Их сумма равняется годовой выплате, которая состоит из погашения основного долга и процентов. Погашение основного долга производится равными годовыми суммами. Начисленные при этом условии проценты прибавляются к величине ссуды, и сумма всех срочных годовых уплат должна быть равна этой величине. Получить выражение для ежемесячных платежей заемщика для схемы с постоянными годовыми платежами.

Ипотечная ссуда размером D выдана на срок Глет под годовую ставку сложного процента /. Составить график ежемесячных погасительных платежей, удовлетворяющий следующим ограничениям. Первые т месяцев расходы должника (в конце месяца) растут с постоянным темпом g, достигают наибольшего значения, а затем в оставшиеся до погашения п месяцев не меняются, т. е. постоянны (т + п = 127).

Условия займа D могут предусматривать два периода его погашения: льготный, в течение которого выплаты в счет погашения долга не производятся, и следующий за ним период с отсутствием этой льготы. Пусть долг D необходимо погасить в течение п лет, платежи в конце года, а установленная кредитная ставка равна г. Льготный период имеет продолжительность Z,, а затем и вплоть до окончания кредитного срока погашение производится по схеме равных выплат по основному долгу. Получить формулы расчета плана погашения для двух вариантов льготы:

а)         в льготном периоде срочные уплаты состоят из одних про-

центных платежей;

б)         на весь срок льготного периода заемщик освобождается от

каких бы то ни было выплат по кредиту.

Кредит в сумме D выдан под ставку г, которая ниже, чем доминирующая на денежном рынке ставка j. Согласно договору этот кредит должен быть погашен за п лет равными срочными уплатами с регулярной выплатой льготного процента г. Определить абсолютные и относительные потери кредитора.

Ссуда D выдана на срок п (в годах). При ее выдаче удерживаются комиссионные G в размере g (в виде десятичной дроби) от суммы займа. Сделка предусматривает начисление процентов по ставке /. Какова доходность этой операции в виде годовой ставки сложных процентов при условии, что ссуда выдается по ставке:

а)         простого процента;

б)         сложного процента?

Рассматриваются два варианта покупки одного и того же товара на условиях коммерческого кредита с погашением по схеме равных срочных уплат (табл. 3.4).

Покупатель контракта выбирает тот вариант, у которого современная величина расходов на обслуживание долга будет меньше. Пусть q — ставка сравнения, по которой он дисконтирует погашающие задолженность платежи. Требуется:

а)         показать, что отношение сравниваемых современных вели-

чин можно представить в виде произведения следующих сомно-

жителей:

 

А2   Р2 а(п{іі) -( + ду»2'

 

Содержание первого множителя очевидно, второй характеризует влияние ставок процентов по кредиту и их сроков (а(л, /) -коэффициент приведения простой годовой ренты), третий — влияние принятой для сравнения ставки q

б)         получить уравнение относительно срочности кредита п

(одинаковой по каждому варианту), при которой контракты бу-

дут равно выгодны для покупателя.

Ссуда в размере Р выдана на п лет под простые проценты по годовой ставке /. При выдаче ссуды были удержаны комиссионные в размере g\% от суммы кредита. Какова доходность операции в виде годовой ставки сложных процентов?

Кредит в сумме Р предоставлен сроком на Глет под переменную ставку сложного процента ix i2 іт. Доказать, что поток срочных уплат Yt = itP, t = 1, 2,.., Г— 1; YT = ітР'+ Рфинансово эквивалентен правилу разового погашения и поэтому его можно использовать как один из способов обслуживания задолженности в случае переменных процентов.

 

Ситуационные задачи

Банк предоставил господину N кредит с 4 марта по 16 июля того же года под 30\% годовых по простой ставке. Номинальная величина кредита составляет 45 тыс. руб. Затраты банка по обслуживанию долга в размере 1\% от суммы кредита были удержаны вместе с начисленными процентами в момент выдачи кредита. Господин N16 июля выплатил банку только 25 тыс. руб. Банк согласился на продление погашения кредита до 16 августа под 36\% годовых с начислением процентов за период отсрочки в конце срока. Какова реальная величина кредита, полученного господином N, и какую сумму он должен выплатить банку 16 августа?

Господин N намеревается купить с помощью ипотечного кредита однокомнатную квартиру стоимостью 30 ООО долл. Согласно условиям договора, для интересующего его варианта начальный взнос составляет 10000 долл., а затем по окончании первого месяца и в течение 7,5 лет он должен будет выплачивать по 350 долл. ежемесячно. Соискателя квартиры волнует, насколько соответствуют эти выплаты ставке ипотечного кредита 12\%. Не завышены ли они? А как думаете вы?

На покупку дачного домика взят потребительский кредит 300 тыс. руб. на 8 лет под 8 простых процентов. Его нужно погашать равными ежеквартальными выплатами. Найти:

а)         размер выплаты;

б)         чему равна годовая ставка сложного процента, под которую

выдан кредит.

Для занятия предпринимательской деятельностью господину Иванову требуется кредит в размере 300 тыс. руб. Возможности возврата этой ссуды, основанные на ожидаемой прибыли, он оценивает допустимыми дл^ него ежегодными выплатами по 70 тыс. руб. каждая. Банк кредитует под ставку 5\% годовых и согласен на предлагаемый размер срочной уплаты в счет погашения кредита. Составить план погашения долга.

Фермер купил в кредит систему для очистки воды за 20 тыс. долл. Он обязан погасить этот кредит ежемесячными платежами в течение года, выплачивая при этом проценты за долг переложной ставке в 6\%. Хозяин магазина продает этот контракт финансовой компании, которая, желая получить доход по ставке 12\%, добивается соответствующего изменения стоимости контракта. Сколько должна заплатить компания хозяину магазина?

Домостроительная фирма продала дом за 12 млн руб., предоставив покупателю потребительский кредит на 3 года по простой годовой ставке 10\%. Согласно договору этот кредит должен быть погашен равными ежегодными выплатами. Определить доходность этой операции для домостроительной фирмы.

Фирма желает построить здание под офис. Она получила предложение от двух строительных организаций построить подходящее для нее здание. Первое здание стоит 20 млн руб., строители требуют два авансовых платежа по 5 млн руб.: первый — в момент заключения контракта, второй — через 2 года после этого. Готовое здание сдается после второго авансового платежа, и на оставшуюся сумму предоставляется кредит на 3 года под 6\% годовых, который должен погашаться равными ежегодными платежами. Второе здание стоит 22 млн руб. Строители желают получить три авансовых платежа по 2 млн руб.: первый — в момент заключения контракта, второй - через год, третий — еще через год. Готовое здание сдается после третьего авансового платежа и на оставшуюся сумму строители предоставляют фирме кредит на 5 лет под 4\% годовых, который должен погашаться равными ежегодными срочными уплатами. Какой контракт выгоднее для фирмы, если свои альтернативные издержки она оценивает ставкой / = 10\%?

Зажиточный Иванов решил поддержать не слишком богатого приятеля и предложил ему денег взаймы: «Вот возьми, здесь — сто двадцать тысяч. Встанешь на ноги — отдашь, и никаких процентов». Дотошный Петров уточнил: «До окончания аспирантуры еще два года, а после я тебе все верну: каждый месяц по десять тысяч».

Найти абсолютный Ww относительный w грант-элемент предоставленного займа, учитывая, что добряк Иванов отказался от доступной ему возможности кредитования под ставку 12\% годовых.

Начиная с текущего года Урюпинский университет в правилах приема предусмотрел возможность обучения в кредит. Так, для абитуриентов отделения математики, недобравших одного проходного бала, этот кредит равен стоимости пятилетнего обучения на платной основе и составляет 25 тыс. долл. Руководство университета, не сомневаясь в кредитоспособности своих выпускников, установило следующие правила займа: кредит выдается на 10 лет под 10\% годовых; первые 5 лет, пока студент учится, он ничего не платит, в оставшуюся пятилетку ссуда погашается в конце каждого года равными взносами.

Допустим, что заемщик предполагает использовать на эти нужды половину годовой зарплаты, которую он будет получать по окончанию университета. На какой минимально возможный для себя уровень среднемесячной зарплаты он надеется?

10.       Информируя о своей деятельности на рынке потреби-

тельского кредитования, банк «Товары для дома» дает следую-

щий «рекламный» пример:

микроволновая печь, которая вам понравилась, стоит 5500 руб.;

первый взнос (20\%) при покупке в кредит составит всего 1100 руб.;

допустим, вы готовы погасить оставшуюся часть стоимости за 16 месяцев. В этом случае ваш ежемесячный платеж составит 422 руб. 40 коп.-;

таким образом, вы переплачиваете за товар около 4 руб. 90 коп. вдень;

вы можете выбрать другую, более удобную для вас схему погашения кредита.

Для расчетов ежемесячного платежа (размер кредита • коэффициент платежа) используйте табл. 3.5.

Требуется:

а)         определить, зависит ли доходность ссудной операции от ве-

личины первого взноса;

б)         найти номинальную ставку і потребительского кредита на

микроволновую печь и годовую доходность j этой финансовой

операции для банка;

в)         определить, за сколько месяцев можно накопить требуе-

мую сумму в 5500 руб. с помощью пополняемого депозита, если

ваш начальный вклад — 1100 руб., дополнительные ежемесячные

взносы - 442,4 руб., проценты начисляются ежеквартально исхо-

дя из годовой ставки 12\%;

г)         сравнить табличные варианты по номинальной и действи-

тельной ставке.

 

Тесты

1. Как будет в годовых бухгалтерских балансах отмечаться задолженность предприятия по кредиту в объеме £>, выданному под ставку і на срок Г при использовании схемы равных процентных выплат:

растет;

убывает;

сохраняет постоянное значение D для первых (Т — 1) балансов;

задолженность в балансе с номером Г равна нулю.

2.         Рассматриваются следующие схемы обслуживания долгос-

рочной задолженности:

а)         равными срочными уплатами;

б)         разовое погашение в конце срока;

в)         равными процентными выплатами.

Расположить в порядке убывания остатка задолженности на любую промежуточную дату:

6, в, а;

а, б, в;

а, в, б;

в, а, б.

3.         Кредитная ставка равна 14\%.Определить период времени,

по истечении которого процентные деньги сравняются с величи-

ной основного долга:

10 лет;

5 лет;

всегда будут меньше;

имеющейся информации недостаточно.

4.         Компания «Аромат-престиж» нуждается в краткосрочном

(до года) кредите в 10 млн руб. для создания запасов к Рождеству.

Банк А предлагает кредит под 8\% годовых с удержанием комис-

сионных в размере 5\% суммы кредита. Банк Б предлагает ссуду

под 10\% без дополнительных условий. Какой банк предлагает

лучшие условия? При каком размере комиссионных предлагае-

мые условия будут равно выгодны?

А;

Б;

1,82\%;

2\%;

6,15\%.

5.         Кредит I, = 10000 долл. выдан по сложной ставке 10\% годо-

вых на 3 года и погашается в рассрочку ежегодными платежами.

Первые две выплаты в счет его погашения равны 800 и 1200 долл.

Обозначим задолженность на начало 2-го и 3-го годов, оставшу-

юся после очередного взноса, через L2 и Lv Расположить величи-

ны Lj, L2, L3 в порядке убывания:

£3, L2, Lx

L2, L3, L\

L3, Lu L2.

6.         У господина TV имеется 4 возможных варианта заимствова-

ния необходимой ему суммы под 8\% годовых на 180 дней с мо-

мента подписания договора:

по простой ставке начисления процентов;

под ставку сложного процента;

при условии, что применяется простая учетная ставка;

по сложной учебной ставке.

По всем рассматриваемым вариантам принята одна и та же временная база, равная 360 дням. Какой вариант вы бы ему рекомендовали?

7.         Банк учитывает вексель за п месяцев до срока его оплаты по

простой учетной ставке годового процента d. Как меняется до-

ходность этой операции, измеряемая годовой ставкой сложных

процентов, с увеличением срока от момента учета до момента оп-

латы векселя:

изменение доходности в зависимости от п носит немонотонный характер;

растет;

убывает;

может расти, а может и убывать в зависимости от числового значения d.

8.         Рассматриваются два способа льготной реструктуризации

кредиторской задолженности. По первому варианту заемщику

прощаются проценты, по второму — основной долг. Какая из

схем выгоднее для кредитора, если период отсрочки равен 4 го-

дам, а ставка по кредиту — 20\%.

вторая;

первая;

выгодность схемы зависит от величины задолженности.

9.         Стиральная машина стоит 7900 руб. При покупке ее в кре-

дит на 4 месяца выплачивается первый взнос, а оставшаяся сум-

ма погашается ежемесячными платежами, составляющими 28\%

от размера кредита. Определить номинальную годовую ставку

потребительского кредита на стиральную машину:

36\%;

56\%;

для ответа на вопрос необходимо знать величину первого взноса;

все ответы неверны.

10.       При выдаче ссуды на 180 дней под 10\% годовых по прос-

той ставке кредитором удержаны комиссионные в размере 0,5\%

суммы кредита. Какова эффективность ссудной операции в виде

годовой ставки сложных процентов при условии, что год равен

360 дням:

11,05\%;

11,36\%;

10,25\%;

все ответы неверны.

11.       При выдаче кредита в 6000 руб. на 60 дней под 30\% годо-

вых по простой ставке кредитором в момент его предоставления

были удержаны проценты. Какова доходность кредитной опера-

ции, измеряемая простыми процентами?

32,46\%;

30,95\%;

31,58\%;

иной ответ.

12.       Кредит в 20 млн руб. выдан на 2 года под ставку 10\%. Сог-

ласно договору все проценты должны быть выплачены одной

суммой в начале срока. Исходя из этого финансовый менеджер

предложил руководству четыре варианта погашения кредита. В

каких вариантах или варианте он ошибся?

(3,471074; 10; 9);

(4,2; 0; 19,118);

(3,471074; 0; 20);

(4,2; 15; 2,618).

13.       Долг, равный 300 тыс. руб., необходимо погасить за 3 года.

За заем выплачиваются проценты по ставке 10\% годовых. Распо-

ложить в порядке возрастания среднего срока срочной уплаты

(дюрации) следующие схемы погашения:

а)         равными частями долга;

б)         разовое погашение в конце срока;

в)         равными процентными выплатами;

а, &, в;

а,в, б;

в, а, б;

в, б, а.

14.       Пусть кредит, равный 4 млн 840 тыс. руб., необходимо по-

гасить равными процентными выплатами за 2 года. Предприя-

тию, решившему создать фонд погашения основного долга, достаточно выделить на эти цели в настоящее время 4 млн. руб., однако отвлечение одновременно такой суммы из хозяйственного оборота нецелесообразно. Предпочтение отдается варианту внесения двух равных платежей (в конце 1-го и 2-го годов), обеспечивающему создание такого же фонда. Определить размер требуемого платежа:

2125672 руб.;

2213456 руб.;

2304762 руб.;

4)         в исходных данных не хватает числового значения ставки

начисления процентов на размещаемые в фонде средства.

15. Кредит в 1000 д.е. выдан под сложную ставку 20\% годовых сроком на 3 года. В потоке погасительных платежей известны первые две срочные уплаты: Yx = 100, Y2 = 400. Исходя из требования финансовой эквивалентности, определить третью срочную уплату У3. Выделить в каждой срочной уплате часть, которая идет на возврат основного долга, и процентную выплату, для чего использовать правило: «погашение долга произвольными суммами с начислением процентов на остаток». Чему равны проценты, выплаченные по кредиту, при такой схеме погашения?

728;

604;

736;

все ответы неверны.

 

Ответы и решения

Расчетные задачи

1. a) j = 0,21705; б) j = 0,22100. При решении применить определение эффективной ставки (1.4) или формулу (1.5): (1 +j/m)m= 1,24; т = 12 (а) и т = 4 (б). 2. Приемлема, выигрыш банка можно оценить через превышение на конец 5-го года наращенной суммы погашающих платежей (55) по сравнению с наращенной суммой ссужаемых средств (С5): V = S5 - С5 = 5,223 - 4,40561 = 0,81739 млн руб. = = 817390 руб.

3. Решению соответствует табл. 3.6.

1 оя-^

5.         Y а(5; 8) • у(5; 8) = У(1 -1,08'5)      = Y -3,9927 0,6806 =200000,

0,08

v 200000 л

у »       » 73600 руб.

2,7174

6.         Согласно договору выплаты должны производиться через 74,

188 и 294 дня с даты выдачи кредита. Современная величина потока

этих выплат: PV* 29576,12, что меньше величины долга D = 30500.

Таким образом, кредитор недополучит сумму 5= 923,88 руб.

Примечание. Расчет порядкового номера дней по каждой выплате удобно проводить в Excel. Например, по первой дате в ячейку Excel следует ввести запись: = «15.03.04» — «01.01.04 и нажать клавишу Enter.

7. a) K-ct(19;3) = 2-(l +0,03); Y= 2,06/14,3238 «0,14382 млн руб.* * 143820 руб; б) У - ос (13;3) = 2 • (1 + 0,03)7; Y= 2 ■ 1,22987/10,635 =

Подпись: 7,36008 =  0,31591 млн руб. *= 0,23129 млн руб = 231290 руб.; в) Y • а (10; 6) = 2; Y = = 0,27174 млн руб. = 271740 руб.;

г) Y • ос (9; 3) = 2(1 + 0,03)7; У=

7,7861

« 315910 руб. В расчетах предполагалось, что в течение года число начислений процентов совпадает с числом платежей. Близкие результаты получатся, если считать, что проценты для всех рассматриваемых вариантов начисляются один раз в году, т. е. использовать формулу (2.1), полагая т = 1.

Для определения размера выплаты имеем уравнение 500 • а (8; 4) = Y- а(8;2), отвечающее балансу текущих стоимостей срочных аннуитетов постнумерандо. Откуда Y= 459,5 д.е.

У= 120 / а(9;4) = 120/7,435 * 16,14 тыс. руб. = 16140 руб.

1,05 > 0,995

Остаток долга: 10 • Ц5; 12) - 180 • s(60; 1) = 10000 • 1,7623 -- 180 • 81,6697 = 17623 - 14700,546 = 2922,454 долл.

а) 26057 руб.; б) 25860 тыс. руб.

12.

ч2

-1 = 0,1136 = 11,36\%.

а) 3,4711 - выплата процентов в начале срока; 20 — погашение основного долга в конце второго года; б) может.

Решению собтветствует табл. 3.8.

1,04 0,995 )

-1*0,0925=9,25\%.

16. а) план погашения при первом способе (табл. 3.9).

в) второй способ предпочтительнее. Ежемесячные переплаты по первому способу составят:

А, = 0; А2 = 7,5; А3 = 15; А4= 22,5; А5 = 30; А6= 37,5.

14,36\%.

а) определим будущую стоимость векселя к погашению:

 

FV = 3240000 -(1 +0,175 •—) =3400650 руб. 360

При учете векселя банк выплатит фирме (векселедержателю) сумму:

Р0 = 3400650(1 - 0,2125 • 42/360) = 331642 руб.;

б)         при погашении векселя банк реализует дисконт:

П = 3400650 - 331642 = 84308 руб.;

в)         21,79\%.

Примечание. Дисконтирование по учетной ставке производится чаще всего при условии, что год равен 360 дням, а число дней в периоде обычно берется точным.

 

Аналитические задачи

Воспользуемся условием финансовой эквивалентности наращенных сумм долга и выплат по нему:

 

- 1п(1-/)//Д)

Откуда п-       —.

1п(1+/)

Начисленные за срок Г простые проценты:

/= Dr+ (D- D/T)r+ ... + (D - (Т— l)D/T)r=Dr(T+ 1)/2.

Годовая выплата состоит из погашения основного долга и процентов:

? = (D/T)( +г(Г+ 1)/2).

Таким образом, величина ежемесячного платежа равна:

D Л 741

р =              1+ г

2Т 2

Согласно условию ежемесячный платеж Yt = У\^~1, t = 1,m Yt = Y^n~ t — m + 1, m + n, и график выплат определяется величиной первого взноса. Для отыскания этой величины следует приравнять сумму современных величин возрастающей (Л{) и постоянной (А2) части потока {Yt} размеру долга D.

А = Yxyd-(gyD   ^ ^K^-'Q-y") . = 1       (1-gy)    '   2 //12

УІ5т"ут+ (1-у")

l

(1-у)

(1-у) (1+//12) Из уравнения /^(У]) + /^(^і) = А найдем У, = Z): (МяуГ , „«-1-і (і-ул)"

-+£ у

4.а)У,=/)т, / = 1,...,і;        =(/)-_£_.(/-і))г+-5-, / = 1, n-L;

n-L

 

б)   У,=0, / = 1,...,і;  Уі+, нЬ—^тЦ-))г+- D

n-L

D = D( + r)L, t=, n-L.

5. Срочная уплата: Yt = У = Z> / а(и; r), t < п. Современная величина всех платежей по займу: А = У • а(п; j) < D. Таким образом, потери кредитора можно оценить превышением: W=- D( — a(n;j)/ а(п; г)), или относительной величиной: w = 1 — a(n;j)/ а(п; г).

Примечание. Величины W, w называются абсолютным и соответственно относительным фант-элементом.

 

і; 6)V =

і+/

І/я

 

-1.

7. а) При равномерном погашении кредита срочная уплата У= Р/а(п, і). Современная величина потока таких уплат Л = У- (1 -— (1 + q)~")/q. Записывая эти формулы для каждого варианта, получим требуемое разложение на множители отношения Ах/А2; б) условие равной выгодности сводится к равенству современных величин Аи А2, что дает следующее уравнение относительно искомого значения п:

1 - (1 + /,)-" _ix Рх 1-(1 + /2Г"   k Рг'

я          ll + ni g\%

 

9. Для доказательства можно воспользоваться методом математической индукции.

 

Ситуационные задачи

1.         39525; 20620. Срочность кредита равна числу дней между 4

марта и 16 июля (134 дня). Фактически полученная сумма

D = 45000(1 - 0,3-134/360 - 0,01) = 39525 руб. На 16 июля остаток долга составит:

£>ост= 45000 - 25000 = 2000, а начисленные за 31 просроченный день (с 16 июля по 16 августа) проценты составят:

,   2000.0,36-31 _

/ =        :           = 620 руб.

360

Таким образом, господин N 16 августа должен будет выплатить банку сумму:

S = 20000 + 620 = 20620 руб.

2.         Завышены. Текущая стоимость потока выплат:

7С= 350 • ct(90; 1) « 350 • 59,16088 « 20706 долл.

Таким образом, переплата господина N— 706 долл.

а) Ежеквартальная выплата равна 300 000-1,64/32 = 15375; б) для искомой ставки j имеем уравнение:

15375-а(32;у/4) = 300000.

Откуда а(32;у(4) = (1~(1 + у/4) П) «19,51.

У/4

Применяя встроенную в Excel функцию для расчета внутренней ставки, получаем:у/4« 3,33\%, т. е.у « 13,3\%. Итак, кредит выдан фактически под 13,3\% годовых сложных процентов.

Срочность п кредита найдем из уравнения: 70 • сс(я; 5) = 300. Для отыскания его корня можно воспользоваться функцией Excel для расчета числа периодов. В результате получим значение п = = 4,94284. На практике это означает, что первые 4 года срочная уплата равна 70 тыс. руб., а в последнем году она будет меньше, так как год неполный. Заключительная уплата в 5-м году должна быть равна сумме остатка долга (D0CT) на начало 5-го года и начисленных на этот остаток процентов (/5):

Z>0CT = 300(1 + 0,05)4~70 • 5(4; 5) = 300 • 1,2155063 - 70 • 4,3101250 = = 364,65189 - 301,70875 * 62943, /5= ID = 0,05 • 62943 « 3147. Откуда

Г5 = 62943 + 3147 = 66090.

Этот ответ можно получить исходя из требования финансовой эквивалентности, которое выполняется при условии, что замыкающий платеж:

У5 = 300(1 + 0,05)5 - 70 • 5(4; 5)(1 + 0,05) * 66090 руб.

Цена контракта для финансовой компании равна текущей стоимости потока выплачиваемых фермером платежей, дисконтированных по ставке і = 12\%/12 = 1\%: PV= 19373,74 долл.

14,3629\%.

Современная ценность контракта с первой строительной организацией равна 16821121,76 руб., со второй — 16730756,89 руб. Следовательно, контракт со второй организацией несколько выгоднее, чем с первой.

Без существенной потери точности будем поток платежей по займу рассматривать как дискретную ренту с месячным периодом начисления процентов. Текущая стоимость такого потока:

А= 10000 -а(12; 1)-у(2; 12)« 10000- 11,2551 • 0,7972 * 89726.

Абсолютный грант-элемент

W= D-A = 120000 - 89726 = 30274 руб.;

относительный грант-элемент: w = (D — A)/D « 0,25 = 25\%.

Более точный результат получится при рассмотрении дискретной ренты с начислением процентов один раз в году.

9. К концу 5-го года задолженность составит:

Z,5= 25000 • 1,15= 25000- 1,61051 = 40262,75 долл.

Величина предстоящих годовых выплат равна:

Г= L5/a(5; 10) « 40262,75/3,79079 * 10621,203.

Таким образом, студент надеется на годовой доход R = = 21242,4059 долл., или в среднем 1770 долл. в месяц.

 

10. а) Не зависит; б) /==40,2\%; j= 1,0556і2- 1 = 91,5\%; в) * 9,6 мес; г) рассмотрим, например, базовый вариант и 4-месячный кредит. Не ограничивая общности, цену можно принять за единицу, а первый взнос считать нулевым. По правилам потребительского кредита (1 + і/З) I 4 = 0,285. Откуда / = 42\%. Месячная ставка сложного процента умес определяется уравнением: 0,285 • ос(4, Умес) = 1, т.е. Умес = 0,0545. Переходя к эффективной годовой ставке, найдем j= 1,054512- 1 «89\%.

Тесты

1. (3); (4). 2. (1). 3. (2). 4. (2), (3). 5. (3). 6. (2). 7. (2). 8. (1). 9. (1). 10. (2). 11. (3). 12. (2), (4). 13. (2). 14. (3). 15. (3).

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 |