Имя материала: Задачи и тесты по финансовой математике

Автор: Капитоненко Валерий Владимирович

4.1. основные понятия и формулы

Инвестиционный процесс — это временная последовательность взаимосвязанных инвестиций (вложений денег), отдача (доходы) от которых также растянута во времени. Период, в течение которого инвестиции будут приносить отдачу, определяет продолжительность проекта с момента его начала и называется жизненным циклом инвестиции.

Под инвестициями в настоящем разделе имеются в виду финансовые ресурсы, направляемые в реальный сектор экономики. Еще один вид инвестирования - в финансовые активы — будет рассмотрен в следующей главе.

Поток наличности (cash flaw). Для описания инвестиционного процесса необходимо прежде всего составить календарный график денежного потока по проекту. Этот поток состоит из инвестиций ■— необходимых объемов капитальных затрат и отдач на них - чистых доходов, получаемых в ходе реализации проекта. Под чистым доходом понимают общий доход (выручку) за вычетом всех платежей, связанных с его получением. В эти платежи входят все расходы (прямые и косвенные) по оплате труда, материалов, налогам, затраты на управление, маркетинг, стимулирование сбыта и пр. Поскольку амортизационные отчисления не вызывают оттока денежных средств, то они учитываются в потоке отдач: прибавляются к сумме чистой прибыли.

В общем случае, когда привлекается заемный капитал, наряду с денежным потоком по проекту следует также учитывать денежный поток заемного капитала. В этом потоке получению ссуды соответствуют положительные платежи, а выплатам в счет ее погашения — отрицательные.

Денежный поток по инвестируемому в проект собственному (акционерному) капиталу получается сложением этих потоков: денежного потока по проекту (капитальные вложения и отдачи) с денежным потоком заемного капитала (объем заимствования и погашающие платежи).

Подчеркнем, что для оценки выгодности инвестиционного проекта основное значение имеет денежный поток по проекту. В случае положительного результата следует также провести анализ денежного потока по акционерному капиталу и выяснить, как влияют условия кредита на эффективность вложения собственных средств.

Перед тем как оценивать эффективность инвестиций, необходимо преобразовать все денежные потоки по проекту к после-налоговому виду.

На оси времен инвестиционный проект можно изобразить двусторонней последовательностью платежей: отрицательные ординаты (вниз) - отток, положительные (вверх) - приток. При табличном задании этому соответствует временной ряд платежей со знаком плюс, который может быть опущен, — поступления, и со знаком минус — оттоки денежных средств. В стандартной, наиболее простой и типичной ситуации денежный поток развивается таким образом, что инвестиции, или отток капитала, предшествуют поступлениям, или его притоку. Однако возможны и другие, неординарные ситуации, когда отток и приток капитала чередуются, и даже «перевернутые» проекты, в которых притоки идут раньше оттоков, например, получение кредитов с последующим погашением.

 

Критерии оценки эффективности инвестиционных проектов

Для инвестора, а также кредитора, если проект кредитуется, важно иметь количественные показатели, оценивающие выгодность проекта в терминах сопоставления требуемых инвестиционных затрат и получаемых экономических результатов.

Показатели без дисконтирования. К этим показателям относятся следующие простейшие характеристики сопоставления капитальных затрат и отдач без учета временного фактора.

Норма прибыли на капитал. Единого общепризнанного алгоритма расчета этого критерия не существует, в частности, в силу множественности приписываемых понятию «доход» измерителей: сумма прибыли и амортизации, доход после уплаты налогов и процентов за кредит, чистая прибыль.

Расчет нормы прибыли на капитал может проводиться двумя способами:

а) исходя из общего или среднего размера вложенного капитала в течение инвестиционного цикла (средних учетных инвестиций):

ЕД/ ІД/

ник =  ПТ    #пк =77            Пт  v /V Л>ст =1о ~Л- (4.1)

у0 y0+yocT//z

где ЕД, — сумма годовых доходов за весь срок; /0 — первоначальные вложения; /ост - остаточная стоимость вложений; Л — сумма износа основных средств, входящих в первоначальные вложения, за всю продолжительность проекта п;

 

б) по отношению к средним учетным инвестициям. В этом случае рассчитанный показатель называется показателем учетной нормы рентабельности и имеет общепринятую аббревиатуру ARR (Accounting Rate of Return).

В частном случае разовых начальных инвестиций /0 и равных ежегодных отдач Д (Д{ = Д2 = ... + ДЛ = Д) норма прибыли равна:

Величина отдачи Д

//рік —            ——.

Объем инвестиций /0

Простой (недисконтированный) период окупаемости. Смысл этого показателя заключается в вычислении периода, необходимого для возмещения вложений за счет полученных доходов. Например, если некоторое мероприятие дает ежегодную прибыль П, то чистый ежегодный доход составит: £=(1 -л)П+А,

где п — налоговая ставка;

А — амортизационные отчисления в расчете на год.

 

Тогда упрощенный, без учета временной неравноценности доходов, показатель срока окупаемости (Гок) находится из уравнения

((1-Л)П+А).Г0К«/,

где /— сумма всех инвестиций, и

Ток=1/Е (4.2)

При неравных значениях отдачи {Et} период окупаемости определяется минимальным сроком л, при котором:

 

1£,-/>0. (4.3)

/=і

Обычно управляющий устанавливает некий максимальный период окупаемости и отклоняет все инвестиционные предложения, период окупаемости которых больше этого максимума.

Приведенные затраты. Использование данного показателя опирается на принцип сравнения затрат при тождественных результатах. Сравниваемые по затратам варианты различаются ежегодными текущими издержками С и капитальными вложениями К, которые с помощью показателя приведенных затрат сводятся к одной величине

W=C+j-K. (4.4)

Здесь в качестве j принимается минимально допустимая инвестором норма отдачи на его вложения (процент на капитал); ее еще называют нормативным показателем эффективности капиталовложений для данного хозяйствующего субъекта. Величину/ К можно толковать как ежегодные проценты, упущенные из-за отвлечения денег в данный проект. По результатам сравнения выбирается вариант г с наименьшим значением приведенных затрат:

Cr + jKr = min(Q+jKs).

Сюда же относится случай, когда проекты можно условно привести к одинаковым результатам, скорректировав для этого издержки на их осуществление. Пусть, например, рассматриваемые варианты различаются и по объемам производства, и по расходам. Тогда в качестве коэффициента приведения затрат к одинаковой производительности (тождественному результату) следует использовать следующую формулу:

 

Здесь Z>max — максимальная производительность из представленных вариантов, которая рассматривается как тождественный результат, к которому приводятся вариантные затраты; Ds — производительность по каждому варианту.

Нормативный срок окупаемости. Пороговое значение j в формуле приведенных затрат (4.4) можно рассматривать как устанавливаемый инвестором норматив эффективности своих вложений (нормы прибыли на капитал). Ему соответствует нормативное значение срока окупаемости, которое, аналогично (4.2), удовлетворяет следующему условию:

JKTQK=K.

Отсюда видно, что нормативный срок окупаемости есть величина, обратная нормативной эффективности:

7-ок=1/у.

Дисконтные показатели. С помощью этих показателей сопоставимость разновременных инвестиционных затрат и чистых доходов производится с учетом времени посредством их расчетного приведения (дисконтирования) к началу проекта.

Чистый приведенный доход (net present value — NPV). Данный показатель равен разности современных величин потока доходов от проекта и потока вызвавших их инвестиционных затрат:

NPV^Erf  - Z/,y' • (4.5)

доходы инвестиции

Здесь и в дальнейшем у' — дисконтный множитель по ставке сравнения /:

Подпись: Чистый наращенный доход (net future value — NFV).Данный по¬казатель равен разности наращенных на дату окончания п вели¬чин потока доходов {Et} и потока инвестиционных затрат {/,}:
NFV=NPV'(+i)n.
Индекс рентабельности
Сумма приведенных доходов
Подпись: PIСумма приведенных инвестиционных затрат " Z/У '

В отличие от NPVэтот показатель является относительным — он характеризует уровень доходов на единицу затрат: чем больше значение индекса рентабельности, тем выше отдача каждого рубля, инвестированного в данный проект.

Рентабельность. Этот показатель оценивает эффективность инвестиционных затрат по отношению к результату, измеряемому величиной чистого приведенного дохода:

p=NPV

г/у

причем, как легко установить,

РІ=Р+ 1.

«Дисконтированный» период окупаемости

Ток = min я,

(4.7)

при котором

Е^У* Z/У • (4.8)

t= инвестиции

Очевидно, что в случае дисконтирования срок окупаемости превышает одноименную характеристику, не учитывающую неравноценности денег во времени.

Внутренняя норма доходности (internal rate of return — IRR). Численное значение этого показателя равно той ставке процента, при которой чистый приведенный доход проекта равен нулю. Инвестируя под эту ставку, мы получим финансовый результат, равносильный капитализации с тем же процентом всех полученных в ходе реализации проекта доходов.

Пусть {is,}, {/,} — календарные графики доходов и инвестиций. Тогда внутренняя норма доходности q является корнем уравнения

 

££Д1 + <7Г'-1/,(1+<7Г'=0. (4.9)

доходы инвестиции

 

Левая часть уравнения (4.9) - многочлен от неизвестной

1

X =      .

1+*

Для однозначного определения величины IRR данный многочлен должен иметь только один положительный корень. Это будет справедливо для денежных потоков, у которых отток (последовательные инвестиции) сменяется притоками, в сумме превосходящими этот отток.

В общем случае положительных корней может быть несколько или они могут отсутствовать, и поэтому задача отыскания IRR становится некорректной. От этого недостатка свободен показатель модифицированной внутренней нормы доходности, который можно применять для анализа проектов с неоднократно чередующимися инвестициями и доходами.

Модифицированная внутренняя норма доходности (MIRR). Для пояснения данного показателя будем исходить из возможности инвестора получать доходность на вложенные средства, равную ставке сравнения /. Тогда современная величина инвестированных в проект средств составит:

/(0) = Е/Д1+/Г, (4.10)

инвестиции

а будущая стоимость чистых доходов (на завершающую дату проекта):

£(л) = Х£,(1+/Г'.

доходы

 

Показатель MIRR определяется эффективной ставкой процента, которая, исходя из начальной суммы /(0), позволяет получить финансовый результат S(n):

■Л/п

MIRR =

1(0).

-1,

(4.12)

где п — продолжительность проекта.

 

В литературе описаны различные варианты построения MIRR, в том числе и такие, в которых текущая стоимость инвестиций /(0) и будущая стоимость поступлений S(n) определяются по разным ставкам дисконтирования. Для инвестиций это в случае заемного капитала — стоимость кредита, а для поступлений — доходность их реинвестирования.

 

Анализ единичного проекта

В применении к единичному проекту перечисленные выше критерии позволяют выявить его целесообразность по сравнению с альтернативным вложением, доходность которого / задает ставку дисконтирования.

по

Условия целесообразности. В табл. 4.1 приводятся типовые решения в зависимости от числовых оценок инвестиционного проекта длительности Т.

Эти выводы носят рекомендательный характер. Переход от целесообразности к окончательному выбору зависит от субъективной оценки инвестором степени расхождения в условиях-неравенствах и тех целей хозяйственной деятельности, которых он стремится достичь. Так, проект с NPV = О, позволяющий увеличить масштабы производства, имеет дополнительный аргумент в свою пользу: в случае его реализации улучшится соотношение доли рынка, принадлежащей фирме.

В общем случае принятие инвестиционных решений зависит не только от критериев их эффективности, но также от финансовой состоятельности проекта и его влияния на показатели предприятия в целом, однако эти вопросы нами не рассматриваются. В связи с этим в предлагаемых задачах условия финансовой состоятельности проектов считаются выполненными и выбор проводится по критериям их экономической эффективности.

Анализ с учетом заемного капитала. Для его проведения целесообразно использовать следующее соотношение:

NPVCK = NPVn?0EKT + NPV3K. (4.13)

Иначе говоря, чистая приведенная стоимость денежного потока по собственному капиталу равна сумме одноименных характеристик денежных потоков по проекту и кредиту.

Анализ на основе сравнения двух вариантов: «с проектом — без проекта». Этот прием исходит из возможности анализа эффективности инвестиционного проекта путем сопоставления двух будущих альтернативных ситуаций:

фирма осуществила свой проект;

фирма не осуществляла этого проекта.

Сравнение ситуаций производится на основе сравнения присущих им потоков наличности. Решение принимается в пользу той ситуации, для которой текущая стоимость (ТС) порождаемого ею потока окажется выше.

Заметим, что, вычитая из первого потока (с проектом) второй (без проекта), мы придем к потоку наличности анализируемого инвестиционного процесса; при этом, как легко понять, характеристика этого проекта:

NPV= ТСХ - ТС2.

Анализ в условиях инфляции. Рост цен увеличивает как выручку, так и издержки производства, в результате чистые доходы номинально возрастают относительно не учитывающих инфляцию значений. Вместе с тем будет повышаться и номинальная ставка дисконтирования у, которая меняется в соответствии с условием:

1 +у = 0 +0(1

Отсюда понятно, что учет инфляции через рост отдачи и ставки сравнения оказывает двоякое воздействие на результативность инвестиций: увеличение за счет индексирования платежей и снижение при их дисконтировании. В целом при умеренной инфляции, не порождающей резких изменений в экономике, эти тенденции взаимно уравновешиваются вплоть до ситуации, когда их влиянием на оценки эффективности можно пренебречь.

В качестве поясняющего примера рассмотрим проект с разовой инвестицией /0 и потоком наличности {П,} до выплаты налога на прибыль. После налогообложения прибыли по ставке г и с учетом амортизационных отчислений At чистый доход составит:

£,= (1 - т))(П,-Л) +Л= 0-4)11,+л- Л. В отсутствие инфляции показатель МРКравен:

NPV = Z{l-m'+y]A'-I0. 7     (1+/)' °

При нейтральной инфляции с темпом г размер поступления П, возрастает каждый год в (1 + г) раз, а учитывающее амортизацию слагаемое, в соответствии с правилами ее начисления, не меняется. Корректируя ставку дисконтирования, получим характеристику NPV, учитывающую действие инфляции:

NPV     _т(1-л)П,(1 + г)' +r]At і    ((1+/)(l+г))'

Полученную формулу можно переписать в виде двух слагаемых Sb S2, таких, что величина первого из них

 

не зависит от инфляции, а ее влияние сказывается (в сторону уменьшения) только на втором слагаемом: s2=z     34       

/ ((1+0(1+г)/

 

Ставка дисконтирования. Числовые значения используемых для оценки инвестиционных проектов дисконтных показателей существенно зависят от выбора ставки приведения /. В учебных задачах эта ставка, как правило, сообщается в исходных условиях и проблема ее назначения не ставится.

Зачастую данную ставку процента трактуют как альтернативные издержки, имея в виду доходность альтернативного вложения, которой жертвует инвестор, отвлекая средства в анализируемый проект. Однако это чересчур упрощенное толкование, под которое в случае предполагаемой нами определенности подпадает, например, доходность вложений в государственные облигации. Во многих ситуациях удобно также использовать ставку, по которой инвестор (фирма) может взять в долг.

Еще один подход — использование средневзвешенной цены капитала (Weighted Average Cost of Capital — WACC), Этот показатель отражает сложившийся на предприятии минимум возврата на вложенный в его деятельность капитал и рассчитывается как усредненная величина ставок привлечения (цены) капитала по используемым источникам средств (облигации, акции, кредиты и т.д.):

WACC=±ik-dk, (4.14)

k=

где       ik — цена £-го источника привлечения;

dk =       — удельный вес £-го источника в общей их сумме.

 

Средневзвешенные затраты на капитал используются для оценки инвестиций, касающихся бюджетов долгосрочных вложений; поэтому в расчетах этого показателя источники краткосрочных средств не учитываются. Чтобы отразить влияние налогов, в качестве ставки дисконтирования рассматривают цену капитала после налогов. Для этого в слагаемых (4.14), отвечающих долговым обязательствам, корректируют цену источника привлечения, полагая iK = ik( — г|), где ті — ставка налога.

Показатель WACC рекомендуется в качестве ставки дисконтирования для оценки новых инвестиций, не нарушающих принятых традиций производственно-хозяйственной деятельности данной компании. Формула работает для «среднего» проекта, и дает минимально приемлемую норму его доходности, обеспечивающую выплаты по акционерному и заемному капиталу.

Отсюда понятна непригодность данного показателя при изменении структуры инвестируемого капитала и уровня надежности проектов по сравнению с существующими активами фирмы.

При расчетах критериев эффективности (4.5) — (4.12), как правило, используется постоянная ставка дисконтирования, однако при некоторых обстоятельствах, меняющих ставку сравнения /, ее прогнозируемые значения следует учитывать в таких же изменениях (по годам) ставки дисконтирования.

 

Анализ конкурирующих проектов

Сравнение по нескольким критериям. Необходимость подобного анализа возникает, например, при выборе одного проекта из нескольких. Ограничимся задачей выбора наиболее эффективного инвестиционного процесса из множества возможных проектов. Для каждого из них можно определить численные значения критериев эффективности (4.5) — (4.12). В результате придем к задаче многокритериального выбора, для которой, в силу присущей оценкам противоречивости, может и не оказаться проекта, доминирующего по всем критериям. Конфликтность оценок проявляется в ситуации, когда проект, превосходящий по одному из критериев, скажем, NPV, уступает по другому, например IRR или (и) Ток.

При наличии разнонаправленных оценок рекомендуется брать за основу показатель NPV. Вместе с тем в практической деятельности инвестору, ранжируя критерии, зачастую приходится опираться на субъективные соображения исходя из экономического смысла используемых им показателей и с учетом риска. Последнее, в том числе, означает, что возможные неточности в прогнозах денежного потока могут дать ошибочный по показателю NPV вывод: проект, который ранее рассматривался как прибыльный, окажется убыточным. В отличие от этого критерий IRR менее чувствителен к ошибкам прогноза: при прочих равных условиях чем больше IRR по сравнению с ценой капитала, тем больше «резерв безопасности проекта». В определенных ситуациях, например, при наличии острой потребности в деньгах, на первое место выступает критерий минимизации срока окупаемости, а при выборе одного проекта из ряда примерно одинаковых по значению NPV— требование максимизации эффективности вложений, т.е. PL

В общей постановке для решения многокритериальной задачи выбора можно использовать известный прием ее сведения к оптимизации с одной целевой функцией, полученной суммированием исходных оценок с назначаемыми им весами.

Сравнительная характеристика критериев NPV и IRR. Критерий IRR имеет смысл для проектов с одним чередованием знака в потоке платежей. В этом случае оценки NPVn IRP. согласованы при условии, что чистый приведенный доход одного из этих проектов доминирует независимо от выбора альтернативной ставки. Если это не так, то существует ставка, при которой оба проекта имеют одинаковые NPV, так называемая точка Фишера. Соответствующее ей значение коэффициента дисконтирования служит пограничной ставкой между ситуациями, которые «улавливаются» критерием NPVyl не «улавливаются» критерием IRR.

Сравнение проектов разной длительности. При сравнительном анализе таких проектов следует учитывать возможность продуктивного использования денежных поступлений по каждому из них в виде финансового результата, приведенного к одной и той же будущей дате. Если за эту дату принять срок окончания самого длинного проекта, а возможность вложений оценивать альтернативной ставкой /, то, как легко понять, числовые значения критериев оценки сравниваемых проектов не изменятся. Это означает, что при сделанном допущении относительно доходности сопутствующего инвестирования сравнительный анализ разных по продолжительности проектов проводится так же, как и для проектов с одинаковыми сроками.

Подобный подход, однако, не учитывает допустимости повторной реализации каждого из рассматриваемых проектов, что соответствует повторению инвестиций с доходностью, равной внутренней норме прибыли соответствующего инвестиционного процесса. На основе данного предположения используют специальные методы, позволяющие элиминировать влияние разрывов в продолжительности инвестиционных циклов. Поясним их суть на примере двух проектов А, Б продолжительностью пА и пъ.

1. Каждый из проектов рассматривается как повторяющийся столько раз, чтобы в результате получился наименьший общий срок их действия. Тогда сравнение исходных проектов сводится к сравнению гипотетических инвестиционных процессов, порождаемых кратным повторением проектов А и Б в пределах общего срока.

Сравниваемые проекты считаются повторяемыми бесконечное число раз с периодичностью, равной их продолжительности. В этом случае сравнение проектов сводится к сравнению бессрочных аннуитетов с платежами NPVA, NPVb и периодами пА и пъ соответственно.

Для каждого проекта находят эквивалентную ему постоянную ренту, приведенная стоимость которой равна NPV проекта, иными словами, рассчитывают величину платежа R с помощью формулы (3.6):

R       NPV* ■ R NPV*

а(лА,/) а(яБ,/)

 

Опираясь на эти данные, сопоставимый анализ проектов сводят к сравнению бессрочных финансовых потоков с теми же значениями платежей ЛА и Яъ.

Эти же приемы годятся для одинаковых по результатам, но разных по срокам проектов,, для которых сопоставимый анализ проводится на основе сравнения потоков затрат.

Методам, основанным на повторе исходных проектов, присуща определенная условность, заключающаяся в молчаливом распространении исходных условий на будущее, что, естественно, не всегда корректно. Поэтому к применению этих методов нужно подходить осознанно, в том смысле, что если исходным параметрам сравниваемых проектов свойственна достаточно высокая неопределенность, можно не принимать во внимание различие в продолжительности их действия и ограничиться расчетом стандартных критериев.

Формирование портфеля проектов. До сих пор в качестве возможного приложения методов оценки инвестиций мы ограничивались задачей выбора одного проекта из ряда возможных, куда, в том числе, включался и вариант альтернативного инвестирования по ставке /. Естественным расширением данной постановки является задача выбора нескольких проектов из ряда возможных. Содержательно эта задача относится к известной проблеме формирования бюджета капитальных вложений, «идеальное» решениє которой предполагает извлечение максимально возможной при действующих ограничениях выгоды.

На практике зачастую довольствуются приближенными, но простыми в процедурном плане решениями, полученными в зависимости от выбранного критерия оценки: внутренней нормы доходности (IRR), чистого приведенного дохода (NPV), рентабельности инвестиций (Р). При использовании относительного показателя (IRR, Р) все доступные проекты упорядочиваются по его величине. Далее проводится их последовательный просмотр, и они отбираются при условии, что тестируемый показатель превышает пороговое ограничение (цена капитала, «планка» рентабельности) и, кроме того, выполняется бюджетное ограничение, учитывающее возможности привлечения дополнительного капитала.

Вместе с тем качество решения можно существенно повысить за счет его оптимизации с помощью методов математического программирования. Для этого прежде всего требуется построить математическую модель оптимального портфеля проектов. Основные элементы формализации подобных моделей определяются требованиями математического описания критериев задачи и ее ограничений. В качестве примера приведем ряд исходных предпосылок, которые следует отразить при построении модели:

проекты могут быть как независимыми, так и альтернативными;

проекты могут быть как неделимыми, так и дробными, которые допускают «пропорциональную» реализацию;

включение очередного проекта в бюджет капиталовложений предполагает нахождение источника его финансирования;

существует ряд ограничений по ресурсному и временному параметрам, которые необходимо учитывать при разработке бюджета.

Вместе с тем многообразие реальных ситуаций существенно перекрывает возможности «заготовок», и адекватность конструируемых моделей во многом зависит от квалификации решающих задачу специалистов.

В качестве «хрестоматийного» примера подобных моделей упомянем так называемые оптимизационные модели в вариантной постановке. Для них в качестве исходного «кирпичика» используются неделимые инвестиционные проекты и отвечающие им двоичные неизвестные, которые для отбираемых проектов принимают значение 1, а для неотбираемых - 0. Все проекты перенумеровываются, и каждому ставится в соответствие вектор его характеристик: упорядоченных во времени затрат, результатов и интересующих инвестора оценок эффективности.

Система критериев и ограничений формируемой модели записывается в виде взвешенных по двоичным переменным сумм соответствующих компонент этих векторов. Более того, благодаря булевым свойствам этих переменных с их помощью можно записать различные специальные ограничения, например, по совместимости отбираемых проектов, их общему числу, предшествованию во времени и т.д. и т.п. В результате получается задача двоичного программирования, решаемая известным методом ветвей и границ.

В заключение отметим, что добавление дробных проектов с непрерывными неизвестными частями их реализации расширяет эту вариантную постановку до задачи смешанного программирования.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 |