Имя материала: Задачи и тесты по финансовой математике

Автор: Капитоненко Валерий Владимирович

4.2. типовые примеры

1. Анализ единичного проекта.

Для покупки и запуска оборудования по производству нового продукта требуются капиталовложения в размере 1 млн руб. (1000 тыс. руб.). Проект рассчитан на 7 лет, в течение которых ожидаемый ежегодный доход от реализации данного продукта после налогообложения (т. е. чистый доход) будет равен 200 тыс. руб. Провести анализ данного проекта на основе критериев оценки инвестиционных процессов при условии, что ставка сравнения — 10\% в год.

Решение

Заниженная оценка (4.2) срока окупаемости (при игнорировании временного фактора) этого инвестиционного проекта равна:

Гок= 1000/200 = 5 лет.

Проверим, окупятся ли сделанные инвестиции за этот срок, если учитывать неравноценность денег во времени. Для этого сравним приведенную стоимость полученных за первые 5 лет доходов (PV5) с величиной вложений /= 1000.

PV5= а(5;10) • 200 « 3,79079 • 200 = 758,158.

Таким образом, при использовании уточненной оценки (дисконтированного срока окупаемости) придем к противоположному выводу — 5 лет для окупаемости проекта недостаточно.

А что будет с окупаемостью за весь срок (п = 7)? Чтобы ответить на этот вопрос, вычислим чистый приведенный доход проекта (4.5):

NPV=PV1-I =200- £(1+0,1Г* -1000 =о(7;10) -200 -1000 «

к=

* 4,8684 -200 -1000 = -26,32 тыс. руб.

 

Отрицательный результат показывает, что проект не окупится. Иными словами, жизненный цикл инвестиции продолжительностью 7 лет не обеспечивает требуемого уровня доходности 10\%: наращенная стоимость поступлений по проекту не перекрывает упущенной из-за его реализации выгоды альтернативного варианта:

5 = s (7;10) • 200 « 9,4872 • 200 = 1897,44 < 1000 • 1,17* 1948,7.

В случае инвестирования на заемных под сложную ставку 10\% средствах это означает, что достижимый по проекту финансовый результат недостаточен для погашения кредита.

Если же рассмотреть аналогичный проект продолжительностью в 8 лет, то он окупится в течение последнего года его реализации:

NPV = PV\% -I =200 • £(1 +0,1)"* -1000 =сс(8;10) -200 -1000 .*

к=

ж 5,3349 -200 -1000 =66,98 тыс. руб.

 

Индекс рентабельности (4.6) анализируемого проекта

P/-«i-2ZM8 « 0,974. / 1000

Эта величина меньше единицы, и поэтому его доходность (рентабельность (4.7)) составит:

Р= -26,32/1000 * -0,026 = -2,6\%.

В то же время для восьмилетнего проекта показатель

я/ = ^= 1066198 ^ 067> / 1000

и рентабельность будет положительна:

Р=Р1-1* 0,067 = 6,7\%.

Вычислим внутреннюю норму доходности для исходных данных рассматриваемого примера. Искомая характеристика должна удовлетворять уравнению (4.9):

а(7;/ЛЛ) • 200 - 1000 = 0.

Откуда a(7JRR) = 5. По таблице коэффициентов приведения ренты подбираем IRR:

IRR-9 0,0329 9,5-Ш?* 0,0504'

 

получаем Ш?*9,197\%.

Так как требуемая норма доходности (10\%) выше этого значения, то инвестиция является нерентабельной.

Основываясь на полученных оценках, приходим к выводу о том, что проект следует отвергнуть.

2. Средневзвешенные затраты на капитал (WACC). Рассчитайте средневзвешенную цену капитала компании; структура капитала (соотношение источников финансирования) дана в табл. 4.2.

Как изменится значение показателя WACC, если учесть налоговую защиту по процентным платежам, т.е. с учетом налогообложения прибыли по ставке h = 0,32.

Решение

Подставляя данные таблицы в (4.13), получим:

WACC= 12,0-0,8 + 6,5-0,2= 10,9\%.

Налог на прибыль уменьшает цену капитала до значения / = = 6,5 (1 — 0,32) = 4,42 (проценты за кредит разрешено относить на себестоимость). Отсюда получим скорректированное значение:

№ССскор= 12,0 • 0,8 + 4,42 • 0,2 = 10,484\%.

3. Денежные потоки инвестиционного проекта.

Коммерческая организация рассматривает целесообразность приобретения новой технологической линии. Стоимость линии составляет 10 млн долл., срок эксплуатации - 5 лет, износ на оборудование начисляется методом прямолинейной амортизации по 20\% годовых. Выручка от реализации продукции прогнозируется по годам в следующих объемах, тыс. долл.: 6800, 7400, 8200, 8000, 6000. Текущие расходы по годам оцениваются следующим образом: 3400 тыс. долл. в первый год эксплуатации линии с последующим ежегодным ростом их на 3\%. Данный проект не выходит за рамки традиционной финансово-хозяйственной деятельности с ценой авансированного капитала (WACC) 19\%. Ставка налога на прибыль 30\%. Целесообразен ли данный проект к реализации?

Решение

Для получения ответа необходимо рассчитать чистый поток денежных средств и определить характеристики этого потока, оценивающие эффективность проекта. Ниже приведена сводная таблица исходных (жирный шрифт) и расчетных значений денежных потоков, в том числе и потока чистых денежных поступлений (табл. 4.3).

Таблица 4.3

 

 

 

№ п/п

Показатель

Год

0-й

1-й

2-й

3-й

4-й

5-й

1

Объем реализации

 

6800

7400

8200

8000

6000

2

Текущие расходы (С, = С,_Г 1,03)

 

3400

3502

3607

3715

3827

3

Износ (амортизация) (10000-20\%)

 

2000

2000

2000

2000

2000

Используя данные нижней строки, найдем показатель чистого приведенного дохода:

JW=-10000 + 2980 —І—+3329 —Ц-+3815 —4+

1,19    1,192 1,193

+3599—Цг+2121—]—= -198 тыс. 1,194 1,195

 

Отсюда понятно и без вычислений, что IRR данного проекта не превосходит WACC- 19\%, его индекс рентабельности меньше единицы, и если учитывать неравноценность денег во времени, то проект себя не окупит. Согласно полученным выводам, проект следует отвергнуть.

4. IRR и MIRR.

Рассмотрим проект со следующим потоком денежных средств:

 

Год

0-й

1-й

2-й

Денежный поток

-100

+200

-75

Определить:

а)         сколько значений внутренней нормы доходности имеет

данный проект?

б)         чему равен критерий модифицированной внутренней нор-

мы доходности, если альтернативные издержки равны 20\%?

в)         привлекателен ли данный проект?

Решение

а) данный проект завершается оттоком капитала. Эта неординарная ситуация вполне реальна и может быть связана, например, с необходимостью демонтажа оборудования, затратами на восстановление окружающей среды и т.д. Знак в потоке денежных средств меняется два раза, поэтому следует ожидать, что определить внутреннюю норму прибыли с помощью показателя IRR не удастся.

В самом деле, уравнение (4.9) в нашем случае примет вид

-100 + 200х-75х2 = 0

и имеет корни

хх = 2, х2 — 2/ з-

Откуда для отыскания внутренней нормы доходности получим два уравнения:

—А2

1 + д [2/3

 

Им отвечают два значения IRR:

ял=± 'Л;

б) приводя все затраты к началу, а все поступления — к окончанию проекта, найдем по формулам (4.10), (4.11) значения /(0) = = 100 + 75 • (1 + 0,2)_2« 152,08, 5(2) = 200 1,2 = 240 и, пользуясь определением (4.12), вычислим величину

MIRR =

S(2) ДО)

1/2

-1 =

240 152,08

1/2

-1 *0,256 =25,6\%;

 

в) опираясь на понятие альтернативной ставки, вычисленному показателю можно дать следующее толкование. Данный проект финансируется за счет того, что мы не используем альтернативной возможности вложения средств под ставку 20\%. Текущая оценка этих вложений равна 1(0). (Дело обстоит так, как будто мы кредитуем наш проект по ставке 20\%.) Поступающие средства можно реинвестировать под ту же ставку с возвратом в конце срока в размере S(2). Отсюда понятно, что показатель MIRR — доходность (по сложному проценту) вложения /(0), дающего финансовый результат S(2). Так как величина MIRR = 25,6\% перекрывает ставку сравнения / = 20\%, то проект привлекателен. Данный вывод подтверждается также и значением показателя NPV « * 14,58, которое положительно.

5. Анализ взаимоисключающих проектов.

У компании АБВ имеется четыре инвестиционных проекта, каждый из которых вполне приемлем, но принять можно только один. Данные о проектах представлены следующими временными рядами (табл. 4.4)

Требуется оценить целесообразность выбора одного из них по критерию:

а)         чистого приведенного дохода (NPV)

б)         внутренней нормы прибыли (IRR);

в)         сроку окупаемости (дисконтированному) (Гок), если цена

капитала 12\% .

Решение

Сравниваемые значения показателей найдем с помощью функций ЧПС и ВСД финансового анализа Excel способом диалоговых окон «Мастера функций». В результате получим следующую таблицу числовых оценок по каждому проекту (табл. 4.5).

Если проекты рассматривать изолированно, то каждый из них может быть одобрен, поскольку они удовлетворяют всем критериям. Однако если проекты являются альтернативными, то заведомо следует отвергнуть проект 1, поскольку он уступает по всем критериям проекту 2. Что касается оставшихся проектов, то выбор не очевиден, так как критерии их оценок противоречивы. Если руководствоваться требованиями поставленной задачи, то получим следующие ответы: а) проект 2; б) проект 3; в) проект 4.

6. Точка Фишера.

Рассматриваются два альтернативных проекта (табл. 4.6).

Требуется:

а)         найти точку Фишера;

б)         сделать выбор при г = 8\% и при г = 15\%.

Решение

а) Точка Фишера для потоков А и Б может быть найдена как IRR приростного потока (А - Б), или, что то же самое, (Б - А) (см. табл. 4.6).

б) за этой точкой (г = 15\%) проект с большим значением IRR будет превосходить и по показателю NPV, т. е. предпочесть следует проект А; до этой точки(г = 8\%) выбор должен быть в пользу проекта Б.

7. Показатель приведенных затрат.

Предприятие имеет возможность выбрать агрегат из трех предложенных вариантов, каждый из которых обеспечивает выпуск запланированного годового объема продукции. Варианты различаются себестоимостью годового выпуска и капитальными вложениями (табл. 4.7).

Какой вариант предпочтет предприятие при нормативе эффективности, принятом на уровне 15 \%? Решение

По условию варианты характеризуются одинаковой производительностью, но различаются размерами капитальных и текущих затрат. Поэтому для выявления наилучшей альтернативы можно воспользоваться показателем приведенных затрат (4.4). Вычисляя, найдем его значение для каждого варианта:

^ = 70 + 0,15-400 = 130, ^2= 61 + 0,15-450 = 128, ^3= 52 + 0,15-500 = 127.

Сравнивая, приходим к выводу, что предприятие предпочтет третий вариант как обладающий минимальными приведенными затратами.

8. Сравнение разновременных проектов одинаковой производительности. Для выпуска однородной продукции можно использовать технологию А или технологию Б. Требуемое по каждому варианту оборудование имеет одинаковую производительность,

В какую технологию выгоднее вложить деньги: А или Б, если ставка сравнения 6\%? Решение

Для выявления предпочтительного варианта применим принцип сравнения затрат при одинаковых результатах, приспособив его для проектов разной длительности. Для этого воспользуемся методом эквивалентных ежегодных затрат, составляющих по каждому проекту аннуитет той же срочности и имеющий ту же приведенную стоимость. Вычисляя, получим: PV(A) = 28,36; эквивалентный ежегодный платеж Я(А) = 10,61; />К(Б)=21,00; эквивалентный ежегодный платеж Я(Б) = 11,45.

Считая эти проекты повторяемыми 2 и соответственно 3 раза, придем к сравнению затрат в пределах общего срока п = 6. Так как эквивалентные ежегодные затраты варианта А меньше (10,61 < 11,45), то отвечающая ему технология выгоднее, чем технология варианта Б.

Игнорируя разницу в длительности проектов, мы придем к противоположному выводу. В самом деле, если исключить возможность циклического повторения проектов, то сравнение по показателю NPV при одинаковых производительностях технологий А и Б равносильно сравнению дисконтированных затрат РУ(А), РУ(Ъ). Для варианта А эти затраты больше (28,36 > 21,00), поэтому при таком сравнении выгодным становится вариант Б.

Если исходить из предположения непрекращающегося выпуска однородной продукции как условия нормального ведения производственно-хозяйственной деятельности, то верным следует признать вывод, основанный на сравнении эквивалентных платежей Л(А), R(B).

Требуется оценить целесообразность выбора одного из них в зависимости от принятого критерия эффективности и при условии, что ставка сравнения равна 10\%.

Решение

Для более короткого проекта: NPV(A) = 9,1 млн руб., Р1(А) = = 1,09 = 109\%, IRR(A) = 20\%, Г0К(А) * 1, а значения одноименных характеристик для проекта В равны: NPV(h) = 21,6 млн руб., Р/(Ъ) = 1,432 = 143,2\%, IRR(B) = 35,4\%, 1 < Г0К(Б) < 2. Без устранения временной несопоставимости оценок проект А по основным показателям (NPVn IRR) уступает варианту Б.

Элиминируем влияние разрыва в продолжительности инвестиционных циклов. Для этого рассмотрим в качестве конкурирующего с Б расширенный проект А, полученный трехкратным повторением варианта А.

 

А

-100

120

 

 

 

 

-100

120

 

 

 

 

-100

120

А

-100

20

20

120

Проект А имеет следующие значения критериев: NPV(A) = = 24,87 млн руб., Р1(А) = 1,25 = 125\%, IRR(A) = 20\%, 2 < Г0К(А) < < 3. По критерию УУРКпроектАуже предпочтительнее проекта Б, поэтому выбор между исходными проектами (А, Б) в пользу Б не представляется бесспорным. Обратим внимание на то, что IRR(A) = IRR(A) = 20\%. Согласно определению показатель IRR — внутренняя годовая ставка доходности вложений, поэтому и в общем случае эта характеристика будет иметь одинаковые значения для исходного проекта и того, который получен его периодическим возобновлением. Таким образом, для «периодического» проекта достаточно ограничиться вычислением NPV, так как его оценка по показателю IRR будет та же, что и в укороченном варианте.

10. Оптимальный выбор нескольких проектов. Фирма имеет возможность инвестировать ежегодно до 10 млн руб. В качестве возможных объектов вложения рассматриваются четыре проекта, заданные следующими денежными потоками, млн руб. (табл. 4.9).

Рассматриваемые проекты поддаются дроблению, т.е. можно реализовывать не только целиком каждый из анализируемых проектов, но и любую его часть; при этом берется к рассмотрению соответствующая доля инвестиций и денежных поступлений.

Требуется составить портфель проектов с максимальным значением показателя чистого приведенного дохода, если ставка дисконтирования — 10\%.

Решение

Для решения необходимо построить математическую модель задачи. Обозначим через хи х2, х3, х4 подлежащие определению масштабы реализации этих проектов. Ввиду аддитивности показателя УУ/'Кчистый приведенный доход портфеля, состоящего из jch jc2, х3, х4 частей каждого проекта, составляет величину

Z=ixkNPVk.

 

Применяя Excel, найдем для каждого проекта численное значение показателя NPV.

 

Проект

1

2

3

4

NPV

21,4

16,07

11,94

13,22

Подставим эти данные в формулу Z и запишем критерий оптимизации формируемого портфеля проектов:

Z=21,4*,+ 16,07х2.+ 11,94*3+ 13,22*4-> max.

Перейдем к ограничениям, которые налагаются на выбор неизвестных {*,}. По условию, начальные вложения ограничены 10 млн руб. Поэтому

10*! + 5х2+ 5х3< 10.

В начале 2-го года бюджет капитальных вложений может быть увеличен за счет поступлений по реализуемым проектам. С учетом этого придем к следующему неравенству:

40*4 ^ 10 + 30*i + 5*2 + 5*3.

Части внедряемых проектов не могут быть отрицательны, следовательно,

*1, *2, *з, *4 ^ 0.

Построенная модель представляет задачу линейного программирования, которую можно решить в Excel с помощью команды Сервис, Поиск решения.

В результате расчета получим следующий оптимальный план инвестиций. Вначале все 10 млн руб. должны быть инвестированы во второй проект (*2опт = 2), а по окончании 1-го года следует приступить к реализации «уполовиненного» четвертого проекта (*4опт = 5), первый и третий проекты в портфель не включаются (*,опт = 0; *3опт = 0). При таком плане инвестиций величина чистого приведенного дохода достигает наибольшего значения: NPVmax = 38,75 млн руб.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 |