Имя материала: Задачи и тесты по финансовой математике

Автор: Капитоненко Валерий Владимирович

5.1. основные понятия и формулы

 

Виды ценных бумаг

Большинство задач данной главы относится к вопросам количественного анализа финансовых операции с ценными бумагами. В этой связи используемый здесь и далее термин «ценная бумага» означает законодательно признанное свидетельство права на получение ожидаемых в будущем доходов при конкретных условиях. Рынок, где товарами являются ценные бумаги, называется рынком ценных бумаг. Этот рынок включает в себя первичный рынок, где происходит первичное размещение эмитированных ценных бумаг, и вторичный рынок, где происходит их обращение.

Первичные ценные бумаги. Облигация — это ценная бумага, удостоверяющая отношение займа ее владельца (кредитора) по отношению к эмитенту (заемщику) и дающая ему право на получение фиксированных доходов в счет погашения предоставленного эмитенту займа. Облигация имеет номинальную стоимость, или номинал N, который присваивают облигации в момент ее эмиссии. Часто облигации имеют купон, который характеризуется купонной ставкой q, что дает владельцу купонный доход, равный доле q от номинала.

В зависимости от принятой эмитентом схемы погашения различают следующие основные виды облигаций.

«Вечная» облигация — свидетельство бессрочного займа; по ним производится только выплата процентов (купонных доходов), капитал не возвращается, точнее, эмитент указывает на возможность их выкупа, не связывая себя конкретным сроком. К ним условно можно отнести купонные облигации с настолько отдаленным сроком погашения, что можно пренебречь текущей стоимостью их номинала.

Бескупонная облигация с погашением по номиналу (приобретается с дисконтом).

Облигации с периодической выплатой купонных доходов, погашаемые в конце срока.

Акция — это ценная бумага, подтверждающая долевое участие (титул собственности) ее владельца в капитале акционерного общества и дающая ему право на часть прибыли, производимой данным капиталом и периодически выплачиваемой в виде дивидендов. Акции делятся на обыкновенные (включают право на участие путем голосования в принятии основных решений) и привилегированные. Дивиденд по обыкновенным акциям корректно определять в рублях на одну акцию. В отличие от обыкновенных акций при выпуске привилегированных устанавливается фиксированный уровень дивиденда. Поэтому их, как и облигации, можно относить к ценным бумагам с фиксированным доходом и говорить о ставке дивиденда в процентах к номиналу.

Депозитные сертификаты. Эти сертификаты (аналог сберегательных сертификатов для физических лиц) эмитируют и выдают банки в обмен на размещаемые у них средства.

Вексель — ценная бумага, представляющая письменное обязательство уплатить определенную денежную сумму и дающая его держателю право требовать от должника его выполнения. Вексель может быть простым или переводным (тратта).

Производные ценные бумаги. Из производных ценных бумаг отметим фьючерсы и опционы. С этими бумагами имеют дело спекулянты и хеджеры. Спекулянты покупают и продают фьючерсы (опционы) с целью получения выигрыша; напротив, хеджеры покупают и продают эти бумаги, чтобы исключить рискованную позицию на спотовом рынке. Эта позиция может быть обусловлена их бизнесом, в ходе которого они или производят, или используют базисный актив.

Эти инструменты относятся к срочным контрактам. В общем случае под срочным контрактом понимается договор на поставку с оговоренной датой определенного актива, в качестве которого могут выступать различные материальные ценности, товары, валюта, ценные бумаги. Финансовые производные ценные бумаги имеют дело с финансовыми активами - облигациями, акциями, валютой.

Фьючерс. Идея контракта на будущее (фьючерса) состоит в реализации следующей типовой схемы: продавец контракта берет на себя обязательство продать, а покупатель — купить актив в определенный срок в будущем по цене, фиксируемой в момент сделки.

Валютный фьючерс — фьючерсный контракт на валюту с указанием объема поставки, месяца и цены исполнения в соответствии с правилами стандартизации, принятыми биржевой торговлей.

Опцион. Эта ценная бумага отличается от фьючерса тем, что один из контрагентов, в соответствии с правилами опциона, имеет оплаченное им другому контрагенту право отказаться от выполнения сделки: продажи или покупки актива. Таким образом, опцион обозначает срочную сделку, по которой одна из сторон приобретает право купить или продать по фиксированной цене предмет контракта, а другая сторона обязуется за денежную премию обеспечить при необходимости реализацию этого права.

Опционы обычно делятся на два класса — европейского и американского типов и бывают двух видов: колл-опционы (право купить) и пут-опционы (право продать).

Американские опционы могут исполняться в любой момент времени до даты истечения срока их действия, а европейские — только на дату окончания контракта.

 

Доходность ценных бумаг и операций с ними

Для инвестора доходность вложений в ценную бумагу определяется величиной дохода, полученного на единицу вложенных средств.

Внутренняя доходность ценной бумаги. При достаточно длительном сроке (п) владения ценной бумагой наиболее адекватным измерителем ее доходности является показатель внутренней нормы прибыли (IRR) потока платежей, состоящего из затрат (/) на приобретение ценной бумаги и полученных за время владения ею доходов: {Et, /=1,2,п). Как и для инвестиционных проектов, этот показатель эффективности определяется следующим уравнением:

-I+ZEtQ + IRR)4 = 0. (5.1)

/=і

Вместе с тем в практических расчетах, а тем более для коротких диапазонов дальновидности инвестора используют показатели, основанные на прямом (без дисконтирования) сопоставлении возможной прибыли и затрат.

Доходность облигации. Доходность, как правило, сводится к годовому исчислению и показывает эффективность вложений инвестора (отношение прибыли к затратам).

Текущая доходность. При определении текущей доходности предполагается, что прибыль инвестора формирует только текущий доход, т.е. тот, который начисляется по отдельным порциям за квартал, полугодие, год. Поэтому в качестве текущего дохода чаще всего рассматривают доход, выплачиваемый по купонам. Допускается также рассмотрение в качестве текущего дохода выплаты в виде дисконта, если бескупонное долговое обязательство эмитировано на срок менее года.

Текущая доходность за год = Доход (процентные выплаты за год)

•100\%;

Рыночная цена (цена приобретения) Текущая доходность за год = (5.2)

Доход (дисконт) _    по краткосрочному обязательству

•100\%.

(Номинал-дисконт) Срок до погашения

 

Конечная (полная) доходность. В случае, когда в расчет принимается полный доход за весь срок владения, полученный как в виде дивидендов, так и за счет разницы между покупной ценой и ценой продажи, говорят о конечной (полной) доходности.

Процентные выплаты за весь срок + + Прибыль от перепродажи

Конечная     Срок владения облигацией(в годах) 1ЛЛО/

доходность=—-       —100\%. (5.3)

(годовая)    Рыночная цена (цена приобретения)

 

Если срок владения облигацией заканчивается ее погашением, то в качестве составляющей полного дохода в формуле (5.3) место прибыли от перепродажи займет разница между номиналом и покупной ценой (дисконт), и в этом случае

Процентные выплаты за весь срок +

            + Дисконт     

Конечная    Срок обращения облигации(в годах) 1ЛЛО/ (5.4)

доходность=—         —*       -100\%.

(годовая)      Рыночная цена (номинал-дисконт)

 

Доходность акции. Показатели доходности по акциям устроены по тем же правилам, что и одноименные характеристики (5.2), (5.3) для облигаций.

Текущая доходность. При определении текущей доходности предполагается, что прибыль инвестора формирует только текущий доход в виде дивиденда.

Текущая доходность = акции

=          Дивиденды за год  1Q (5.5)

Рыночная цена (цена приобретения)

 

Конечная (полная) доходность. В случае с акциями инвестор в отличие от держателя облигации может получить дополнительный доход, только продав акцию на вторичном рынке. Вариант погашения здесь отсутствует, и поэтому вместо двух записей (5.3), (5.4) придем к следующей формуле:

Конечная доходность _ акции(годовая)

Дивиденды за весь срок + Прибыль от перепродажи

Срок владения акцией (в годах) ^

Рыночная цена (цена приобретения)   ^ ^

х100\%.

 

Доходность операций с ценными бумагами. Возможна ситуация, когда инвестор продает ценную бумагу, не успев получить по ней доход: купонный — для облигации, или дивиденд в сделках с акциями. В этом случае говорят о «доходности операции с ценной бумагой»:

Доходность операции с облигацией (с акцией)

Прибыль от перепродажи 1ЛЛЛ/ (5.7)

=          IUUtd.

Цена приобретения

 

В формуле (5.7) за период начисления принят промежуток времени между датами покупки и продажи (срок владения). Отсюда, опираясь на правило простых процентов, получим годовую доходность:

Доходность операции _ с ценной бумагой (годовая)

Прибыль от перепродажи

Срок владения (в годах) ^00\%

Цена приобретения

 

В том случае, когда для сравнения финансовых операций применяют сложный процент, следует использовать эффективную ставку (1.4). Тогда показатель годовой доходности примет вид:

Эффективная доходность операции _ с ценной бумагой (годовая)

і

(5.9)

Цена продажи Цена покупки срок владения(в годах)

-1.

 

Доходность, скорректированная с учетом налогов. Существенное влияние на доходность оказывают налоги, уплачиваемые с доходов по ценным бумагам. При необходимости их учета прибыль, соотнесенную в формулах доходности с затратами инвестора, уменьшают на величину налоговых выплат. Тогда все вышеприведенные формулы в скорректированной таким образом записи будут определять доходность с учетом налогообложения. Например, из формулы (5.6) получим, что для акции

 

Конечная доходность с учетом = налогообложения (5.10)

Дивиденды - налоги с дивидендов + Прибыль - Налоге прибыли

            Срок владения акцией (в годах)            х

Рыночная цена (цена приобретения)

х100\%

 

Доходность вложений в производные ценные бумаги. Поток платежей по таким бумагам является производным и зависит от потока платежей по базисному активу. Поэтому доходность вложений в эти бумаги зависит от изменения цены базисного актива, впрочем, как и доход от биржевых операций с ними, который в явном виде определяется спекулятивной разностью цен.

Согласно правилам биржевой торговли валютными фьючерсами для открытия одной позиции (приобретения одного фьючерсного контракта) участник должен внести порядка 10\% от объема заключенного контракта по текущему курсу. Пусть для определенности эта сумма равна Р руб., а т — количество календарных дней, в течение которых изменялась котировочная цена по данному контракту. В этих обозначениях доходность вложения по ставке простого процента можно рассчитать по формуле

 

Доходность = (Изменение котировочной цены) 360

(годовая)       р          т °)

 

В качестве еще одного примера рассмотрим доходность вложения в опцион «колл». Этот опцион дает право приобрести через Глет пакет из N акций по цене Р0 долл. за каждую и ставке премиального вознаграждения в размере X долл. за акцию. Допустим, что к назначенному сроку цена акции поднимется до величины Рт. Тогда прибыль инвестора за срок владения Т составит величину

Tl = (PT-P0)N-XN.

Сопоставляя эту прибыль с затратами 3 = X - N, получим следующую формулу:

Прибыль

Конечная доходность = Срок владения (в годах) .j00\% =

(годовая)       Затраты °

(PT-P0)N-XN

            Т          100\%.

XN

 

(5.12)

 

Курсовые стоимости ценных бумаг

Курс ценной бумаги — это та цена, по которой она продается и покупается на рынке ценных бумаг. Курсовые стоимости выявляются (формируются) на этом рынке в ходе взаимодействия спроса и предложения.

Участники сделок с ценными бумагами, соблюдающие золотое правило: «покупайте дешево, продавайте дорого», принимают решения исходя из прогнозируемых ими значений рыночной цены. Для определения того, во сколько оценит рынок ту или иную ценную бумагу, они анализируют значительное число влияющих факторов как фундаментального, так и текущего характера. В методическом плане для решения этих вопросов широко применяются статистический подход и различные финансово-математические модели.

Основным методом в предлагаемом сборнике задач являются правила обработки потоков платежей. Приложение этих правил для оценки курсов первичных ценных бумаг исходит из рассмотрения только двух факторов: дохода по ценной бумаге и ставки сравнения /. При таком подходе за теоретически справедливую оценку курсовой стоимости принимают величину текущей стоимости потока приносимых ею доходов {Yk, к = 1, 2, п) за весь срок ее действия.

Курсовая стоимость      У У г    ,    ,   Уп (*л\%

ценной бумаги        +     (1 + /)2 ц+у'

 

Здесь ставка сравнения / определяется доходностью альтернативного вложения с теми же характеристиками надежности (риска), что и ценная бумага.

При полной определенности эта ставка может приравниваться банковскому проценту по депозитам. Тогда величина (5.12) показывает, сколько надо положить денег на банковский счет, чтобы получать те же доходы, что и по ценной бумаге.

При случайных доходах расчеты проводят на основе средних значений, а ставки дисконтирования получают из безрискового процента / добавлением к нему премии за риск. Размер требуемой премии определяется с помощью показателя «бета вклада» на основании результатов теории равновесия на конкурентном финансовом рынке (Capital Asset Pricing Model — Модель ценообразования капитальных активов). Для задач данной главы упомянутые результаты применяться не будут, и потому более подробные сведения о них здесь не приводятся.

Оценка облигаций. Облигации имеют номинальную N и курсовую цену Р. Согласно положению о фондовых биржах, курс облигации указывается в процентах к ее номинальной стоимости:

 

Курс(\%) = КурС0ВаЯ ЦЄНа-100\%. Номинал

 

«Вечная облигация». Для такой облигации поток доходов образует бесконечную постоянную ренту с купонным платежом

Y= Купонная ставка • Номинал = г| • N,

и за оценку ее курсовой стоимости принимается современная величина этого потока

Курсовая =   Купонная ставка     Ношшал

стоимость   Ставка сравнения (банковская)

 

или в процентах:

 

/л/ч   Купонная ставка іллл/   ті 1ЛЛП/        /с 1СЧ

Курс(\%) = — 100\% =— 100\%. (5.15)

Ставка сравнения /

 

Бескупонная облигация с погашением по номиналу. Полагая в (5.12) У] = Y2 = ... = Yn_x = 0, Yn = N, получим оценки курсовой стоимости и курса для я-периодной облигации с нулевым купоном, выраженные через ее номинальную стоимость N:

Курсовая _   N  ."купсГ\%1 - 100\%           /с ,гч

стоимостьКУР°(\%)(5л6>

 

Облигации с периодической выплатой купонных доходов, погашаемые в конце срока. Пусть дата покупки совпадает с датой купонного платежа или с датой выпуска. В этом случае придем к следующему потоку доходов:

Yx - Y2 = ... = Yn_x = rN, Yn = r]N+ N.

Подставляя эти значения в (5.12) и преобразовывая, получим следующую оценку:

Подпись:  (5.17)

где к =

 

і"

N

(1 + /)'

Формула (5.17) связывает текущую цену Рс современной величиной финальной выплаты УУи четко выделяет роль купонного процента г|. В частном случае купонной ставки, равной ставке сравнения (г| = /), курсовая стоимость (5.17) совпадает с номинальной ценой (Р = N).

Если покупка производится в промежутке между купонными платежами, то при оценке курса следует учесть ту часть дохода, которая причитается продавцу за его долю купонного периода.

Привилегированная или обыкновенная акция с известным размером дивиденда. Акции эмитентом не погашаются. Поэтому в данном случае получим ту же оценку, что и для вечной облигации:

 

Курсовая =   Дивиденд (\%)         

стоимость   Ставка сравнения (банковский процент)

 

х Номинал

Дивиденд на акцию (руб.)

Банковский процент

(5.18)

 

Данное соотношение отражает одну из фундаментальных закономерностей фондового рынка: стоимость акций возрастает с ростом дивиденда и убывает пропорционально размеру банковской ставки.

Обыкновенные акции с переменным потоком дивидендов. Помимо рассмотренных, могут быть и иные варианты потока дивидендных выплат. Для регулярных потоков переменных платежей, например, с постоянным абсолютным и с постоянным относительным приростом, оценки курсов сводятся к известным формулам современных величин. Некоторые из них будут даны в ответах к задачам по данной теме.

Обыкновенные акции со случайным потоком дивидендов. В этом случае задача о курсовой стоимости существенно усложняется из-за необходимости учета стохастического фактора. Для этого в принятой нами потоковой схеме переходят к детерминированным эквивалентам случайных выплат или случайной доходности: платеж, или ставку дисконтирования, корректируют с учетом риска. Правила подобной корректировки относятся к методам стохастической финансовой математики и для решения задач детерминированного анализа не требуются.

Наряду с курсовой стоимостью для игроков на рынке ценных бумаг значительный интерес имеет вопрос о приемлемой цене, например, покупки; для ее оценивания подходят те же формулы, что и для курса. При этом за ставку дисконтирования можно принять любую устраивающую инвестора доходность, а в качестве будущих выплат — их субъективные и достаточно грубые приближения. Если расчетное значение этой цены окажется выше рыночной, то покупка целесообразна, в противном случае, когда рынок оценивает дороже, покупать не следует.

Производные ценные бумаги (деривативы). Что касается производных финансовых инструментов, то для определения их курсов используются иные принципы. Так, для валютных фьючерсов назначение цены (фьючерсного курса) сводится к прогнозу будущего движения котировок и является определяющим фактором при принятии решения об открытии или закрытии позиций. Оценка стоимости опциона, например, на акции основывается на принципе воспроизводимости случайных доходов по нему с помощью динамического портфеля из этих акций и безрискового банковского счета (облигаций). Тогда за стоимость опциона (оценку премии за опцион) принимается начальная цена имитирующего этот опцион портфеля (формула Блэка-Шоулса).

Адекватность оценок, основанных на указанных выше принципах, подтверждается значениями котировок, устанавливаемых на рынке деривативов. Упоминание об этих «недетерминированных» постановках носит информационный характер и не дает основания для их включения в задачи предлагаемого сборника.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 |