Имя материала: Задачи и тесты по финансовой математике

Автор: Капитоненко Валерий Владимирович

6.1. основные понятия и формулы

До сих пор мы имели дело с задачами, для решения которых не требовалось учитывать действие стохастических факторов и вероятностный характер финансового рынка и инвестиционных процессов. Вместе с тем, реальность такова, что фактические реализации найденных решений могут отличаться от предписанных этим решениям «средних» вариантов. Вызванные данными расхождениями потери, а возможно, и приобретения зависят от меры случайности рассогласований, а также от их амплитудных характеристик (величины рассогласований). В финансовой сфере это несоответствие ожиданиям порождает так называемый финансовый риск, обусловленный влиянием «случая» и информационной неопределенности. Рассматривая подверженный финансовому риску результат в зависимости от вызывающих его причин, придем к понятию факторов риска. Иначе говоря, результат — функция, а факторы риска — ее аргументы. В общем случае числовые значения этих аргументов — случайные величины, и, следовательно, риск результата частично зависит от риска учитываемых факторов, а его оставшаяся часть объясняется влиянием «внешней» случайности.

В условиях риска будущий результат взвешивается по двум критериям: один дает прогнозную характеристику (математическое ожидание), а другой — меру изменчивости (дисперсию). Выбор действий зависит от оценки согласования этих разнонаправленных критериев; как правило, рисковость варианта возрастает с ростом ожидаемой результативности. При этом стремление к наивысшему ожидаемому результату сдерживается опасениями его высокой колеблемости. На что решится оперирующая сторона, зависит от ее отношения к риску, от того, в каких отношениях она готова обменять дополнительные порции риска на дополнительные порции выигрыша.

Вместе с тем дисперсия — это лишь один из возможных измерителей риска. В приложениях, а также в финансовой теории имеется множество других показателей, в том числе основанных на вычислении вероятностей, например, нежелательных событий, а также косвенные измерители, числовые значения которых корреспондируют с финансовой надежностью хозяйствующих субъектов, и прочие.

 

6.1.1. Меры риска

Характеристики рассеяния

Дисперсия. При действии стохастических причин любое конкретное значение финансового результата г является реализацией определенной случайной величины R. При этом ожидаемый результат оценивается математическим ожиданием М(К), а его риск — дисперсией D(R):

D(R) = M(R - M(R))2 = M(R)2 - (M(R))2. (6.1)

Чем больше дисперсия (вариация), тем в среднем больше отклонение, т.е. выше неопределенность и риск.

Среднеквадратическая характеристика риска. Зачастую за степень рискованности принимают также величину среднеквад-ратинеского отклонения (СКО)

а(Л) = 7ДЛ), (62)

называемую риском анализируемого показателя R: дохода, эффективности вложения и т. д. в зависимости от конкретного содержания.

Оценка риска акции во времени. Для оценивания риска в зависимости от длительности временного периода опираются на математическое описание ценовой динамики акций, принятое в известной модели Блэка—Шоулса. В ее обозначениях риск акции а измеряется стандартным отклонением доходности, представленной как непрерывно начисляемый процент в расчете на год (в виде десятичной дроби), а ц — ожидаемое значение годовой ставки. Согласно свойствам этой модели математическое ожидание доходности и ее риск достигнут за время Т (в долях года) значений:

ц(7>цГ;  а(Г) = а.л/Г. (6.3)

Опираясь на эти формулы, можно переходить от оценок дисперсии, а значит, и риска для одного периода к оценкам в расчете на другой период. Например, для определения годовой дисперсии по известной недельной дисперсии ее следует умножить на 52.

Вместе с тем соотношения (6.3) весьма приближенны, что подтверждается реальными данными, и простота предлагаемого способа противоречит точности получаемых с его помощью характеристик.

Коэффициент вариации. Для результата, задаваемого объемными показателями (доход, валовой выпуск, издержки и т.д.), в качестве информативной меры риска используется такая относительная характеристика рассеяния, как коэффициент вариации:

\%Я)=°ій-я (64)

 

Если же показатель R дает относительную характеристику результата, например доходность, то для измерения риска достаточно ограничиться абсолютной мерой рассеяния o(R).

Среднее абсолютное отклонение. Этот показатель основан на оценивании линейных уклонений случайных значений результата R от его математического ожидания:

р(Л) = MR - M(R). (6.5)

Связь между линейным (R — M(R)) и квадратичным отклонениями (R — M(R))2 устанавливается с помощью известного неравенства Чебышева. Согласно ему, вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания не меньше, чем на заданный допуск 5, не превосходит ее дисперсии, деленной на 52:

Вер(|/?-Л/(Л)|>8)<-^^.

 

Полудисперсия. Эта мера риска учитывает рассеяние только в сторону неблагоприятных значений. Для максимизируемого показателя отклонения в меньшую сторону от его среднего значения сопряжены с риском потерь, а движения в противоположном направлении дают выигрыши и определяют уже не риски, а шансы. Полудисперсия эти положительные сдвиги не учитывает, они приравниваются нулевым значениям, а вычисляется только по отрицательным отклонениям (R — M(R)) < 0. Для дискретной случайной величины R = г,-с вероятностьюР(этот измеритель риска определяется суммой взвешенных по вероятностям значений квадратов неблагоприятных отклонений от среднего M(R) = т:

D = 1 РМ-т)2. (66)

2 i)<m

 

Аналог этого показателя для непрерывной случайной величины рассчитывается интегрированием на области ее отрицательных уклонений с плотностью вероятностей J{r) в роли весовой функции:

Dx = J (r-m)2f(r)dr.

 

Дисперсионные характеристики риска. Эти показатели основаны на известной формуле разложения дисперсии, согласно которой

D(R) = DM (R/X) + MD (R/X). (6.7)

Физический смысл составляющих дисперсии в (6.7) следующий. Дисперсия условного математического ожидания DM(R/X) характеризует ту часть флуктуации переменного результата R, которая вызвана влиянием фактора риска X. Средняя условная дисперсия MD(R/X) характеризует ту часть общей дисперсии переменной R, которая вызвана совокупностью всех остальных факторов, кроме влияния переменной X.

Из приведенной трактовки следует, что измеряемый дисперсией риск разлагается на две части: риск, обусловленный влиянием учитываемого фактора X, и риск по всем неучитываемым факторам. Характер преобладания между учитываемыми и неучитываемыми факторами по их влиянию на риск результата устанавливается в зависимости от сопоставления величины вклада каждого из слагаемых в сумме (6.7).

Для множественного случая формула (6.7) может быть представлена следующим образом:

DR = DM(R/XU    Хп) + MD(R/Xb Хп),

где слагаемые имеют схожую интерпретацию, но применительно не к одному, акя выделенным факторам риска Х{ Хп.

Размах (разность между наибольшим и наименьшим значениями). Если все сведения о возможных значениях сводятся лишь к заданию диапазона R є [а, Ь] без указания каких-либо вероятностных характеристик, говорят о риске неопределенности.

Допустим, что результат R зависит от п факторов Хх, Хп с известными границами изменения каждого фактора. При таком задании информации вопрос о проведении финансовой операции можно моделировать известными схемами игры с природой, а в качестве измерителя рисков опираться на максимумы потерь по отношению к наилучшим в различных состояниях природы решениям.

 

Вероятностные риски

Уклонения при вероятностях. Статистические меры риска (6.1) — (6.7) определяются по всему диапазону изменения случайного параметра R и фактически являются скалярной сверткой двух характеристик риска: уклонения от ожидаемого значения и его вероятности. Зачастую в приложениях маловероятными значениями R можно пренебречь и использовать для оценки риска либо вероятность изменения параметра R в заданной области, либо выявление области, в которой этот параметр будет изменяться с заданной вероятностью.

Соответствующие характеристики риска можно получить по результатам обработки эмпирических данных исходя из гистограммы относительных частот или используя аппроксимацию нормальным распределением с заданными моментами т = M(R) и а2 = D(R):

Вер(|Л - т < 5) = 2Ф (5/а), (6.8) где <b(x) = -jL=je~z2/2dz - функция Лапласа.

Величина при риске (Value at risk — VAR). Оценки риска отклонениями от среднего в обе стороны характеризуют риск нестабильности. В общем случае нестабильность может порождаться как нежелательными, так и выигрышными расхождениями от среднего. Для учета только неблагоприятных уклонений можно использовахь квантильные характеристики распределения вероятностей и найти такое 5, что для заданного уровня значимости р, например 95\%:

Вер(/и - Ж 6) = р. (6.9)

Величина (5) позволяет с заданной доверительной вероятностью (р) предсказать уровень максимально возможных потерь на временном периоде, для которого оценивается риск. Полученная таким образом оценка называется величиной при риске (VAR) и определяет потери при наихудшем стечении обстоятельств. Для достаточно высокого уровня значимости р потери, превосходящие числовое значение VAR, соответствуют пренебрежимо редким событиям и, принимая инвестиционные решения, их можно не учитывать.

Прикладные VAR модели различаются в зависимости от выбранной числовой характеристики потерь и вида ее вероятностного распределения, длительности целевого периода, назначаемого уровня доверительной вероятности и методами расчета: по относительным частотам, с использованием моментных характеристик или с помощью имитационного моделирования.

Риск разорения. Этот риск порождается такими большими «минусовыми» отклонениями (R < M(R)), которые не оставляют возможности рискующему их компенсировать. Вероятность осуществления подобного события определяет меру риска разорения.

Пусть W" — начальный капитал инвестора, который получает случайный доход R. За меру риска его деятельности можно принять вероятность разорения. Тогда стремление инвестора к минимизации этого риска побуждает его к поиску таких решений, которые дают максимум вероятности неразорения: Вер(7? + W> > 0) -» max.

Риск актива — это вероятность его пропажи либо возврата не в полном объеме. В частном случае кредита говорят о кредитном риске.

Риск обязательств определяется вероятностью их непогашения или погашения не в полном объеме.

Депозитный риск. Так называется вероятность досрочного отзыва депозитов.

 

Показатели риска в виде отношений

Подобные характеристики применяют в связи с влиянием, которое оказывает на риск один из показателей А в зависимости от соотношения его величины с числовым значением другого показателя В. Чтобы снизить риск, коэффициент, равный отношению этих показателей, ограничивают некоторым приемлемым пороговым значением

К=Д/П<£или>£,

где знак неравенства выбирается в зависимости от смысла сравниваемых показателей. В качестве примеров показателей — отношений, являющихся факторами риска финансово-хозяйственной деятельности, уместно сослаться на понятия финансового и операционного рычагов. Существенной составляющей этих понятий являются отношение заемного и собственного капитала и, соответственно, постоянных издержек к переменным.

При превышении убытков над величиной собственного капитала (СК) возникает риск разорения. Распространенными мерами такого риска являются следующие отношения:

К - Максимум потерь          Ожидаемые потери    ,g ^

1          СК       '    2"    СК "

Для избежания риска эти коэффициенты ограничивают сверху специально подобранными числами \% (<

Если ожидаемые потери в формуле К2 рассчитываются как математическое ожидание убытков, то для коэффициента К{ за оценку максимума потерь целесообразно принять величину риска (VAR) при заданном уровне значимости р.

В финансовом менеджменте чаще применяют обратные отношения, которые называют коэффициентами покрытия рисков и ограничивают снизу числами £ (> £).

Именно такой смысл имеет известный показатель покрытия расходов по обслуживанию заемного долгосрочного капитала:

Доход до выплаты процентов и налогов

ti         . (6.11)

Проценты за пользование заемным капиталом

 

Этот коэффициент показывает, во сколько раз валовой доход предприятия превосходит сумму годовых процентов по долгосрочным ссудам и займам.

Еще один показатель такого рода, известный как коэффициент Кука, определяется отношением

„           Собственные средства

и2 =-   • (0.12)

Активы, взвешенные с учетом риска

 

Здесь в роли весов выступают риски — вероятности потери соответствующего актива, поэтому знаменатель в (6.12) имеет смысл ожидаемых по активам потерь.

 

Показатель дюрации и его применение для оценки рисков

Риск, связанный с изменением процентной ставки. Для потока платежей {Cl5 С2,СТ} фактором риска, влияющим на его текущую стоимость Р, является процентная ставка (ставка дисконтирования). Колебания уровня ссудного процента г могут привести к неблагоприятным изменениям этой стоимости, что сопряжено с риском потери капитала и, в том числе, невыполнения обязательств. В качестве меры, оценивающей этот риск, широко применяется обобщенная характеристика последовательности платежей, которая называется дюрацией. Согласно определению, дюрация — это

я = І>—^—, (6.13)

/=і  Р( + гу

где Р = £с,(+гу'.

 

Формально правая часть равенства (6.13), взятая со знаком минус, является эластичностью приведенной стоимости потока по отношению к (1 + г). Например, если поток платежей представлен выплатами по купону и номиналом к погашению, то данный показатель будет характеризовать процентное изменение цены облигации по сравнению с процентным изменением (1 + г). При необходимости значение (6.13) можно пересчитать в числовую характеристику чувствительности на процентную ставку. Риск платежеспособности. Если обозначить

С,

/>(1 + /-)'

то формула дюрации приводится к виду

 

что позволяет толковать данный показатель как средний срок платежа. Исходя из этого, в качестве меры расхождения сроков поступлений по активам (А) и выплат по пассивам (П), оценивающей риск платежеспособности, в финансовой практике используют показатель разницы средних сроков:

п-

GAP^D.-D,

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 |