Имя материала: Задачи и тесты по финансовой математике

Автор: Капитоненко Валерий Владимирович

6.1.2. портфель ценных бумаг и его свойства

Оптимальный портфель из рисковых ценных бумаг. Инвестор располагает некоей суммой денег, предназначенной им для приобретения ценных бумаг на определенный промежуток времени. В конце этого промежутка он их распродает и извлекает доход за счет разницы цен. Принимая решение о видах и количествах покупаемых бумаг, инвестор стремится получить ожидаемый им доход с минимальным риском.

Эта задача решается при следующих исходных данных: известны математическое ожидание /Иу, дисперсия = Gy2 случайной эффективности Rj по каждому виду j ценных бумаг (/r = 1,л), а также — ковариации этих эффектавностей: ^= cov(Rh RJ) = M{Rt — — m,)(Rj — my).Удобно также ввести в рассмотрение коэффициенты корреляции:

 

и 9

ст,ау

с их помощью измеряется линейная связь между двумя случайными величинами Rh Rj.

Неизвестными являются доли Xj общего вложения, приходящиеся на у'-ю бумагу. Инвестор-оптимизатор выбирает эти доли таким образом, чтобы получить портфель ценных бумаг требуемой ожидаемой доходности тр с минимальным риском Vp = ср2. Математически этому соответствует известная из портфельной теории модель Марковица:

<*р = Z Z VffXiXj = X X ryGiGjXiXj -> min n

JimjXj =mp

>=1 (6.14)

n

1*7=1

Xj >0, У = !,...,/!

 

Если инвестор имеет возможность проводить операции с ценными бумагами типа коротких продаж (short sale), то в модели (6.14) требование неотрицательности переменных Xj можно снять и рассматривать их без ограничения на знак.

Расчеты по модели (6.14) для различных значений доходности тр позволяют, в том числе, выявить эффективные портфели, т. е. портфели, не улучшаемые сразу по двум рассматриваемым показателям — тр и ар Всем таким портфелям соответствует так называемая эффективная траектория. Эта линия в плоскости портфельных характеристик изображается кривой зависимости риска ар (СКО) от эффективности тр. Эта кривая имеет положительный наклон к оси абсцисс тр и возрастающую отдачу по оси ординат ар: последовательные одинаковые приросты ожидаемой доходности портфеля сопровождаются возрастающими приростами его риска (в математике такая функция называется строго выпуклой).

Оптимальный портфель с безрисковой компонентой. Формируя такой портфель, инвестор в дополнение к рисковым ценным бумагам учитывает также возможность вложений с нулевым риском и заданной эффективностью, т.е. под неслучайную ставку г0. Обозначив долю таких вложений через х0, придем к модели Тоби-на, предложенной им в порядке расширения постановки (6.14) и с теми же комментариями по поводу влияния коротких продаж на обязательность условий х- > 0:

gp = 11 VvWj = 11 Гц a, GjXjXj -> min

/=1y=l /=1y=l

АЬХ0 + £/ИуХу =

У=1

(6.15)

 

7=1

xy>0, у = 0,1,...,л

 

Для этой задачи эффективная траектория, полученная по ее решениям при различных значениях параметра тр, содержит прямолинейный отрезок с началом в точке (г0 0) и приходящий в точку касания (тс, <тс) с траекторией эффективных портфелей «укороченной» задачи (6.14). Любой портфель на прямолинейном участке этой траектории получается комбинированием безрисковой инвестиции (г0 0) с вложением в касательный портфель (тс, ас) и является оптимальным решением задачи (6.15). (Теорема об инвестировании в два фонда.) Этот вывод сохраняется и при снятии требования неотрицательности для части или всех переменных в (6.15), но уже по отношению к криволинейной эффективной траектории задачи (6.14) с тем же набором не ограниченных знаком переменных.

Функция полезности. Для описания инвестора в финансовой теории используется понятие функции полезности дохода: U(R). Руководствуясь оценками полезности доступных рисковых альтернатив, инвестор выбирает наилучшую из них, т.е. ту, что имеет наивысшую ожидаемую полезность:

max{MU(K) / R є Ж}.

Вид функции полезности выбирается таким образом, чтобы ее математические свойства соответствовали основанным на реальных данных представлениям об отношении инвестора к доходу и риску. Самое важное из этих свойств, которое выполняется для различных типовых зависимостей, — вогнутость этой функции. Подобное течение кривой U(R) моделирует поведение нерасположенных к риску, у которых с ростом дохода полезность растет, но потери воспринимаются ощутимее выигрышей. Можно сформулировать это свойство и так: прирост полезности денег уменьшается с увеличением их количества.

В портфельной теории широкое распространение получила квадратичная функция полезности (возрастающий участок параболы U(R) = aR + ЬЯ2 с ветвями вниз, а > 0, b < 0) и выводимая из нее функция полезности карты кривых безразличия: MU(R) = = U(m, а). Теоретический анализ оптимизационной задачи завершается постулатом о выборе инвестором из множества эффективных портфелей такого, который доставляет максимум функции полезности U(m9 а). Геометрически это решение приводит в точку касания соответствующей кривой безразличия с траекторией эффективных портфелей.

Рыночный портфель. В том случае, когда претендентами для задачи (6.14) являются все виды торгуемых акций, касательный портфель(/яс, ас) будет иметь ту же структуру, что и равновесный портфель рынка. В связи с этим его отождествляют с рыночным портфелем, а прямолинейный участок эффективной траектории называют линией рынка капитала (capital market line — CML). Этот термин отражает полученный в теории вывод, что все инвесторы разделяют свой капитал между двумя фондами: безрисковым и рыночным портфелем. При этом выбор пропорции, т.е. конкретной точки на прямолинейном участке эффективной траектории, определяется отношением к риску индивидуального инвестора.

Заметим, что данный вывод не охватывает всех возможных случаев в зависимости от допустимости продаж без покрытия (short sale) и величины требуемой доходности тр. Например, при запрете подобных продаж и тр> тс эффективные портфели перейдут на криволинейный участок траектории с нулевой долей вложения в безрисковую компоненту.

Бета-коэффициент. Эта характеристика ценной бумаги j задается формулой

cov(Rj,Rc) rJcaj Ру -     —2      -—   > (6Л6)

 

а ее числовое значение определяет вклад данной бумаги в дисперсию (риск) рыночного портфеля:

DM(RC/Rj) _    Относительная     Ковариация _

DRC        рыночная стоимость Дисперсия портфеля

Доля (по стоимости)

=          акций J -Ру.

в рыночном портфеле

Заметим, что данное свойство можно перефразировать, определив вклад какой-либо акции А в риск содержащего ее портфеля, необязательно рыночного. Этот вклад определяется относительным весом хА акций А в портфеле и их ковариацией с доходностью портфеля Rp можно также сказать — их средней ковариацией с акциями в портфеле:

cov(^, Rp) = Yxj cov(RA9 Rj), Ixj = 1.

Квадратичная регрессия случайной доходности акции j в зависимости от случайной доходности рынка определяется линейной функцией

M(Rj/Rc) = ^-(Rc -mc)+mj, (6.17)

 

с угловым коэффициентом, равным, как следует из определения (6.16), «бета» вклада этой акции, т.е. Ру-.

Пользуясь соотношением (6.16), можно определить «бета» для произвольного портфеля ценных бумаг, при этом «бета» портфеля равна взвешенной сумме «бета» его бумаг.

Модель оценки капитальных активов (capital assets pricing model — САРМ). Данная модель описывает равновесную взаимосвязь между ожидаемым доходом mj бумаги j и ее вкладом Ру- в риск рыночного портфеля:

/и, = г0 + Ру(/ис-г0). (6.18)

Альфа-коэффициент. Реальные ценные бумаги могут отклоняться от прямой (6.18), отвечающей модели идеального конкурентного рынка. Соответствующие ЭТИМ ОТКЛОНеНИЯМ НеВЯЗКИ OLj

между фактическими значениями ожидаемой доходности т^ и модельными оценками ту называются «альфа» вклада:

а, = "to - ('о* Р,К " 'о))-          (6.19)

Наблюдаемые всплески (ау. > 0) и провалы (ау < 0) означают, что фактическая доходность выше или ниже теоретической, которая располагается на прямой (6.18), называемой линией рынка ценных бумаг (security market line —SML). Этому соответствуют недооцененные для всплесков, а для провалов переоцененные рынком бумаги. В первом случае следует ожидать роста цены, а во втором — ее снижения, что соответствует принятию гипотезы о соответствии фактической ожидаемой доходности ее прогнозу по модели (6.18).Поэтому одна из практических рекомендаций сводится к приобретению дешевых, по сравнению с теорией, бумаг (а, > 0) и соответственно продаже тех, которые стоят дороже, чем их теоретически справедливая цена (а,- < 0).

Рыски: общий, рыночный, индивидуальный. Общий риск актива Л, будь то ценная бумага или портфель, можно разделить на две части: обусловленную влиянием рыночного портфеля (конъюнктуры рынка ценных бумаг) и ту, что не зависит от рынка и связана с изменением прочих факторов:

°z2ssVa2-°c+°a2, (6-2°)

где сс2 — риск рыночного портфеля;

fiA — «бета» актива Л, Р^2 • ас2 — рыночный (или систематический) риск актива Л;

а/ — индивидуальный (или несистематический) риск актива А.

Разделение риска (6.20) вытекает из формулы разложения дисперсии (6.7) случайной доходности актива А по влиянию доходности рыночного портфеля Rc. За счет диверсификации вложения можно уменьшить индивидуальный риск вплоть до получения сильно диверсифицированного актива, не имеющего этого риска (аА2 = 0) и доходность которого зависит только от рыночных ситуаций.

Рыночный портфель содержит все торгуемые на рынке бумаги, т.е. предельно диверсифицирован и по структуре тождественен касательному портфелю С. Его риск отвечает минимальному значению критерия оптимизационной задачи (6.14) и, следовательно, неуменьшаем. Согласно модели САРМ (6.18), инвесторы вознаграждаются за рыночный риск, но их нерыночный (несистематический) риск не компенсируется.

Рыночная модель. Эта модель основана на гипотезе о наличии линейной статистической связи между доходностью обыкновенной акции заданный период времени (например, месяц) и доходностью по рыночному индексу:

Rj^aj + bj-Rj+Єр (6.21)

где Rj — доходность ценной бумаги j за данный период;

Rf — доходность на рыночный индекс / за этот же период (аналог доходности рыночного портфеля Rc (Rc» Rf));

aj — коэффициент смешения;

bj - коэффициент наклона; его величина согласно гипотезе линейности и уравнению регрессии (6.17) равна значению беты: bj = Ру;

ej — случайные с нулевым средним отклонения от детерминированной линейной связи; предполагается, что для разных бумаг они удовлетворяют условию отсутствия корреляции

М(е, ■ ej) = О,

если / * j.

Из этой модели, в частности, вытекает, что для любых двух бумаг ij (і ф j) ковариация будет равна:

^-РгРу-Г/, (6.22)

где Vj - дисперсия доходности по рыночному индексу (аналог дисперсии рыночного портфеля (стс2« Vj)).

 

Последнее соотношение позволяет существенно снизить размерность задачи определения ковариационной матрицы, необходимой для определения оптимального портфеля.

Процентная ставка, скорректированная с учетом риска. При вычислении обобщенных характеристик потоков случайных платежей временную последовательность их математических ожиданий приводят по скорректированной процентной ставке:

''скор = г0 + РА(/ис - r0) = rQ + cov(/?A, Лс) • (тс - г0)/ас2 = = г0+Х. соу(Ла,Лс),

где Рд - бета-коэффициент актива, являющегося источником финансовых поступлений; RA - доходность этого актива;

X = (тс — г0)/ас2 - рыночная цена риска.

Таким образом, премия инвестору за риск вложений, добавляемая к безрисковой ставке г0, составляет величину

я = РА(тс - г0)= «бета» • премия рынку за риск.

Платеж, скорректированный с учетом риска. Этот способ состоит в замене ожидаемого значения М(Е) случайного платежа Е безрисковым эквивалентом по формуле

 

£<жор = ЩЕ) ~ rEC ' a£ * (mc ~ ґо)/°с =

M(E) - co(E, Rc) • (mc - r0)/ac2 = M(E) - X cov(£, Rc)

(6.24)

и сохранением ставки r0 для приведения скорректированных таким образом значений. В записи (6.24) добавлены следующие обозначения: гЕС - коэффициент корреляции платежа Е и доходности рыночного портфеля Rc,ge — риск (СКО) платежа Е.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 |