Имя материала: Задачи и тесты по финансовой математике

Автор: Капитоненко Валерий Владимирович

Раздел 2 потоки платежей

 

2.1. Основные понятия и формулы

В приложениях зачастую приходится иметь дело не с одним платежом, как в предыдущей главе, а с их временной последовательностью, иначе говоря — потоком. Соответственно, вместо приведения платежа, с учетом фактора времени возникает задача о приуроченной к некоторой временной дате стоимостной оценке всего потока. Эти обобщающие (вторичные) числовые характеристики должны быть финансово эквивалентны, в определенном смысле, всему потоку и используются для решения широкого круга практических задач с участием финансового фактора.

Предлагаемые жизнью потоковые конструкции весьма разнообразны и определяются различными сочетаниями вариантов регулярности и случайности по датам платежей, их направлению (приходы—расходы) и размеру. В настоящей главе ограничимся правилами алгебраических действий с детерминированными потоками и теми задачами, которые решаются с их использованием.

В следующих главах этот материал будет дополнен рассмотрением приложений из области кредитов, инвестиций и ценных бумаг.

 

2.1.1. Потоки платежей в схеме сложных процентов

Обобщающие характеристики финансового потока. Наращенная сумма (S) — сумма наращений всех платежей потока на дату его окончания. Современная величина (А) — сумма современных величин всех платежей потока.

Разумеется, для знакопеременного потока его обобщающие характеристики вычисляются как алгебраические суммы. В общем случае приведенную величину потока можно рассматривать для произвольного момента времени, а не только в начале, как для А, или конце потока, как для S.

Поток платежей, все члены которого — положительные величины, а интервалы времени между двумя последовательными платежами постоянны, называют финансовой рентой. Ниже приводятся формулы для потока с выплатами в конце периода, так называемые ренты постнумерандо. Если платежи приходятся на начало каждого периода (рента пренумерандо), то обобщающие характеристики нетрудно получить, опираясь на формулы предыдущего случая с учетом временного сдвига.

Общая постоянная рента — последовательность р одинаковых выплат на протяжении года в течение всего срока ренты п (число лет) с AW-разовым ежегодным начислением процентов по одной и той же годовой ставке / (десятичная дробь). Наращенная сумма £ и современная величина А общей ренты составят:

5-А.

Р

1+—

v /и,

in,

(2.1)

тп

R     { т.

Р

т

где R — годовая сумма платежа.

Простая годовая рента — выплаты производятся один раз в конце каждого года, проценты начисляются раз в году (р = т = 1). Обобщающие характеристики;

 

Г(і+/)л-і1

S = R±            і;

/ (2.2)

Гі-а+о-І

І = Л-і=            =1.

Множители s(n, і) = [(1 + 0я - 1]//, а(л, /) = [1 - (1 + /Г"]// в (2.2) называют коэффициентом наращения и соответственно приведения годовой ренты.

Вечная рента (п = оо). Современная величина бессрочной ренты равна:

R

(2.3)

 

Переменные потоки платежей {rt}: платежи изменяются во времени. Обобщающие характеристики получают, как правило, путем прямого счета.

Частные случаи:

• рента с постоянным абсолютным приростом платежей: Rt+l-Rt = a, т.е. {R, = /?! + (/-      /=1,2,п}

S= А+

(1 + /У-1

па

(2.4)

 

/4 =

„   <Л (1-у")  nay" .. /)    і і

(2.5)

 

• рента с постоянным темпом роста платежей: -J±L=q> т.е.

{Л, = Л|-9'-1,/=1)2,...,«}; [<! + /)"-0+ *)"].

5" = Л

а-к)

 

1

1+к l+i (2.6)

а-к) '

где £ = 1 — q — темп прироста

 

Непрерывные потоки платежей. В ряде случаев более адекватное описание финансовых явлений достигается, когда поток платежей рассматривается как непрерывный процесс.

Частные случаи:

• постоянная непрерывная рента с начислением процентов раз в год. Обобщающие характеристики для такой ренты получаются из формул (2.1), в которых т = 1, с помощью предельного перехода при р -> оо.

A = R

1п(1+/) 1п(1+/)

Аналогичным путем находятся приведенные значения непрерывной ренты при капитализации процентов т раз в году;

• постоянная непрерывная рента с непрерывным начислением процентов.

S = ]Rtbtdt=-ebn-)

5 (2.8) Л =-.(1-6-*").

 

Объединение и замена рент. Для подобных изменений в случае равноправных участников должны выполняться требования финансовой эквивалентности конструируемой (новой) последовательности платежей базовым условиям. Они сводятся к так называемому уравнению эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к какому-либо моменту времени, приравнена к сумме платежей искомой последовательности, приведенных к той же дате.

Простейшим примером такой замены является разовый платеж, приходящийся на начало потока и равный его современной величине. Его инвестирование по ставке / полностью обеспечивает все платежи потока, а порожденная им на дату замыкающего платежа сумма приводит в точности к наращенной стоимости всей последовательности платежей:

S = A(1+Q". (2.9)

Для сложных процентов способы приведения знакопеременных потоков принципиально не отличаются от единообразных правил действия с потоками однонаправленных платежей.

2.1.2. Потоки платежей в схеме простых процентов

В большинстве случаев в финансовых операциях, предусматривающих последовательные платежи, используется сложная процентная ставка. Однако это не единственно возможный способ начисления процентов, иногда начисление осуществляется по простым процентным ставкам.

Согласно их основному свойству в этой схеме проценты за период начисляются лишь на основной (инвестированный) капитал, так что проценты на проценты предыдущих (прошлых) периодов не начисляются. Это свойство требует разделения накопительного счета на две компоненты: счет капитала, который определяется только вносимыми суммами, и процентный счет, учитывающий начисленные на инвестированнный капитал проценты. При этом сами проценты начисляются и накапливаются последовательно по периодам от одного вложения до следующего. Из-за этого, с точки зрения финансовой алгебры, простой процент оказывается сложнее, чем сложный.

Для простого процента также рассматриваются стандартные обобщающие характеристики, основанные на суммировании будущих или текущих стоимостей отдельных платежей потока:

{Л„/ = /|,/2, ...,/„}. Стандартные обобщающие характеристики:

 

J= І     +/(/-/*)), t>tk

 

Если платежи R производятсяр раз в году на протяжении п лет и количество начислений процентов в году совпадает с количеством платежей, то формулы наращенной суммы S и современной величины А примут вид:

 

f

S = RN 1 +

(N-l)i

2p J

 

(2.11)

A = RIld+it/p)-

 

где N = np — общее число платежей.

В частном случае для годовой ренты имеем:

5 = +

(п -1)/.

 

(2.12)

 

В отличие от сложного процента для простой ставки равенство (2.9) не выполняется, т.е. наращенная сумма S в этом случае не получается как результат начисления простого процента на начальный вклад, равный стандартной текущей стоимости А. В общем случае понятие финансовой эквивалентности в схеме простых процентов определяется особенностями их начисления с учетом поступлений и изъятий.

Основные модели и правила. Модель мультисчета — ей соответствует финансовый поток, порождаемый открытием п накопительных счетов.

Коммерческое правило: все вложения и изъятия относят только к основному счету, а процентный счет при этом не изменяется.

Актуарное правило: изъятие всегда начинается с процентного счета.

С изъятием связана еще одна сложность. Что делать, если снимаемая сумма больше основной? С формальной точки зрения можно выполнить все расчеты, если допустить отрицательные значения для основного капитала. Содержательно это означает, что вкладчик становится должником банка. На практике такая возможность реализуется в так называемом конкоррентном счете. Такой счет позволяет его владельцу иметь временный отрицательный баланс (овердрафт). Однако процентная ставка, которая в этом случае становится для банка ставкой по кредиту, обычно больше, чем ставка по положительному балансу, т. е. депозитной ставки.

В общем случае определение текущей стоимости зависит от применяемой модели: современным эквивалентом всех будущих платежей потока является такая сумма А, что ее инвестирование сегодня в соответствии с выбранным правилом (актуарное, коммерческое, мультисчет) полностью обеспечивает (воспроизводит) все платежи потока.

Так, для модели мультисчета текущая стоимость потока совпадает со стандартной текущей стоимостью А (2.10). Этот факт — естественное следствие полной независимости, которой обладают отдельные платежи потока в мультисчетной модели.

Необходимость в определении современной величины ренты с простыми процентами возникает, например, во внешнеторговых операциях, когда оплата покупки производится с помощью портфеля векселей, сроки которых равномерно распределены во времени. В этой операции, отвечающей модели мультисчета, современная величина равна текущей стоимости этого портфеля (2.10) и характеризует сумму, которую получит экспортер при одновременном учете всех векселей.

 

Страница: | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 |